ВАШ КОРР КУРС Геометрия Ковал Лосева

5. Изображение окружности:

Изображением окружности с центром в точке О1 является эллипс с центром в точке О, принадлежащий плоскости проекции α

Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный каждой из них.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Оно равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямыми.

Обобщенная теорема о трех перпендикулярах

Любая прямая на плоскости, перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и наклонной.

И наоборот: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскости (угол φ).

Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется угол между прямой пересечения этих плоскостей с

плоскостью, перпендикулярной линии пересечения данных плоскостей (угол φ‘).

Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и площадью проекции.

2. Система задач для аудиторных занятий

Задача 1. Через точку О пересечения диагоналей квадрата АВСD проведен к его плоскости перпендикуляр МО длиной 15 см. Найдите расстояние от точки М до сторон квадрата, если его сторона равна 16 см.

Ответ: 17 см.

Задача 2. Отрезок AS, равный 12 см, перпендикулярен плоскости треугольника АВС, в котором АВ=АС=20 см, ВС=24 см. Найдите расстояние от точки S до прямой ВС.

Ответ: 20 см.

Задача 3. К плоскости прямоугольника ABCD, площадь которого 180 см2, проведен перпендикуляр SD, SD=12 см, ВС=20 см. Найдите расстояние от точки S до сторон прямоугольника.

Ответ: 12 см, 12 см, 15 см, 434 см.

30

Задача 4. Катет АС прямоугольного треугольника равен а, угол В равен φ. Через вершину прямого угла проведен к плоскости этого треугольника перпендикуляр МС длиной а. Найдите расстояние от концов перпендикуляра до гипотенузы.

Ответ: a cosϕ; a1+ cos2 ϕ .

Задача 5. В треугольнике АВС стороны АВ=13 см, ВС=14 см, АС=15 см. Из вершины А проведен к его плоскости перпендикуляр AD длиной 5 см. Найдите расстояние от точки D до стороны ВС.

Ответ: 13 см.

Задача 6. К плоскости ромба ABCD, у которого Ð А=45°, АВ=8 см, проведен перпендикуляр МС длиной 7 см. Найдите расстояние от точки М до сторон ромба.

Ответ: 7 см, 7 см, 9 см, 9 см.

Задача 7. Постройте общие перпендикуляры к прямым АВ и CD на изображении куба.

Задача 8. Через сторону АС равностороннего треугольника АВС проведена плоскость α. Угол между высотой BD треугольника и этой плоскостью равен φ. Найдите угол между прямой АВ и плоскостью α.

Задача 9. Через центр О правильного треугольника АВС проведен к его плоскости

перпендикуляр МО. АВ=а 3 . Угол между прямой МА и плоскостью треугольника равен 45°. Найдите угол между плоскостями: 1) АМО и ВМО; 2) ВМС и АВС.

Ответ: 1) 60°; 2) arctg 2.

Задача 10. Плоскости равносторонних треугольников АВС и ABD перпендикулярны. Найдите угол:

1)между прямой DC и плоскостью АВС; между плоскостями ADC и BDC.

Ответ: 1) 45°; 2) arccos 15 .

31

Задача 11. Докажите теорему о площади проекции многоугольника для случая, когда многоугольником является треугольник, у которого ни одна из сторон не параллельна плоскости проекции.

Задача 12. Ребро куба равно а. Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину основания под углом 30° к этому основанию и пересекающей все боковые ребра.

Ответ: 23a2 .

3

Задача 13. Стороны прямоугольника равны 20 и 25 см. Его проекция на плоскость подобна ему. Найдите периметр проекции.

Ответ: 72 см или 90 см.

Задача 14. Равнобедренный треугольник с высотой 16 см перегнули по средней линии MN, параллельной основе АС, так, что вершина В удалена от плоскости четырехугольника ACNM на 4 см.

а) Найдите угол между плоскостями AMC и MBN;

б) Постройте линейный угол двугранного угла BMNC и найдите угловую меру, если ортогональная проекция вершины В на плоскость четырехугольника AMNC лежит за его пределами;

в) Сравните угловые меры двугранного угла BMNC и угла BMA; г) Найдите расстояние от точки В до прямой АС;

д) Найдите расстояние от прямой MN до плоскости АВС;

е) Постройте линию пересечения плоскостей АМВ и BNC.

3. Задания для самоконтроля

1. Ребро куба равно 10 см. Найдите расстояние между прямыми а и b.

32

2. Через вершину А треугольника АВС проведена прямая а, перпендикулярная плоскости треугольника. Найдите расстояние между прямыми а и ВС, если АВ=13 см, ВС=14 см, АС=15 см.

Ответ: 12 см.

3. К плоскости квадрата ABCD проведен перпендикуляр KD. Сторона квадрата равна 5 см. Найдите расстояние между прямыми: 1) АВ и KD; 2) KD и АС.

Ответ: 1) 5 см; 2) 5 22 см.

4. Угол между плоскостями α и β равен 30°. Точка А, лежащая в плоскости α, удалена от линии пересечения плоскостей на 12 см. Найдите расстояние от точки А до плоскости β.

Ответ: 6 см.

5. Через центр О квадрата ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр SO. Угол между прямой SC и плоскостью квадрата равен 60°, АВ=18 см. Найдите угол между плоскостями АВС и BSC.

Ответ: arctg 6 .

6. Квадрат со стороной 42 см перегнули по прямой, которая проходит через середины М и N сторон DC и ВС, так, что вершина С удалена от плоскости

AMN на 1 см.

а) найдите угол между плоскостями ADM и СMN;

б) постройте линейный угол двугранного угла BMNC и найдите его угловую меру, если ортогональная проекция вершины С на плоскость пятиугольника ABNMD лежит за его границами;

в) сравните угловые меры двугранного угла BMNC и угла CNB; г) найдите расстояние от точки С до прямой BD;

д) найдите расстояние от прямой MN до плоскости BDC;

е) постройте линию пересечения плоскостей BNC и DMC.

Ответ: а) 30°; г) 2 × 2 + 3 см; д) 2 - 3 см.

7. Вершины А и D параллелограмма ABCD лежат в плоскости α, а две другие – вне этой плоскости, АВ=15 см, ВС=19 см. Проекции диагоналей параллелограмма на плоскость α равны 20 см и 22 см. Найдите расстояние от стороны ВС до плоскости α.

Указания: воспользуйтесь теоремой о сумме квадратов диагоналей параллелограмма.

Ответ: 12 см.

8. Точка М удалена от каждой стороны равнобедренной трапеции на расстояние, равное 12 см. Основания трапеции равны 18 см и 32 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости трапеции.

Ответ: точка М лежит в плоскости трапеции.

9. Через вершину А прямоугольника ABCD проведена наклонная АМ к плоскости прямоугольника, составляющая угол 50° со сторонами AD и АВ. Найдите угол между этой наклонной и плоскостью прямоугольника.

Ответ: 32°57’.

33

10. Концы отрезка АВ=25 см лежат на гранях двугранного угла, равного 60°. Из точек А и В опущены перпендикуляры АС и BD на ребро двугранного угла, АС=5 см, BD=8 см. Найдите СD.

Ответ: 24 см.

Занятие № 7

Тема занятия: «Декартовая система координат в пространстве»

Цели:

-закрепить школьные знания студентов о прямоугольной системе координат в пространстве;

-систематизировать знания об уравнениях фигур в пространстве;

-закрепить навыки решения задач на составление уравнений геометрических образов в пространстве.

1. Краткое изложение теоретического материала

т.О – начало координат; Ох – ось абсцисс; Оу – ось ординат; Оz – ось аппликат. xy, xz u yz – координатные плоскости

Расстояние между двумя точками

34

Фигура F задается данным уравнением в прямоугольных координатах, если точка принадлежит фигуре F тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют данному уравнению. Это означает, что выполняются 2 условия:

1)если точка принадлежит фигуре F, то ее координаты удовлетворяют уравнению;

2)если числа x, y, z удовлетворяют данному уравнению, то точка с такими координатами принадлежит фигуре F.

Уравнение сферы Сферой называется множество точек пространства, удаленных от данной точки на

заданное положительное расстояние. При этом данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – ее радиусом.

Сфера радиуса R с центром в точке А (a;b;c) задается уравнением (по определению)

(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2 .

Если центр сферы совпадает с началом координат, то a=b=c=0 и уравнение сферы имеет вид: x2 + y2 + z2 = R2 .

Уравнение плоскости

Теорема. Плоскость в пространстве задается в системе прямоугольных координат x, y, z уравнением вида Ax+By+Cz+D=0, при условии, что А2+В2+С2>0.

Верно и обратное утверждение: уравнение Ax+By+Cz+D=0 при условии, что А2+В2+С2>0 задает в пространстве плоскость в системе прямоугольных координат.

Уравнение прямой

Прямая в пространстве – линия пересечения двух плоскостей.

ìA1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0; íîA2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.

Если прямая АВ, проходящая через точки А (x1;y1;z1) и B (x2;y2;z2), не параллельна ни одной координатной плоскости, то ее уравнение имеет вид:

2. Система задач для аудиторных занятий

Задача 1. Сторона куба равна 10. Найдите координаты его вершин.

36

Задача 2. Найдите периметр треугольника АВС, если А(7;1;-5), В(4;-3;-4), С(1;3;-2).

Ответ: 14 + 26 .

Задача 3. Лежат ли три точки А, В, С на одной прямой, если А(3;2;2), В(1;1;1),

С(-1;0;0)?

Ответ: Да.

Задача 4. Какая из точек – А(2;1;5) или В(-2;1;6) – лежат ближе к началу координат? Ответ: Точка А.

Задача 5. Даны точки К(0;2;1), Р(2;0;3) и Т(-1;y;0). Найдите такое значение у, чтобы выполнялось условие: КТ=РТ.

Ответ: -3.

Задача 6. Найдите координаты середин сторон треугольника АВС, если А(2;0;2),

В(2;2;0), С(2;2;2).

Ответ: А1(2;2;1), В1(2;1;2), С1(2;1;1).

Задача 7. Найдите длину медианы АМ треугольника АВС, если А(2;1;3), В(2;1;5),

С(0;1;1).

Ответ: АМ=1.

Задача 8. Какие из приведенных ниже уравнений являются уравнениями сферы:

Задача 9. Напишите уравнения плоскости, проходящей через: а) ось Ох и точку А(1;1;1);

б) точки О(0;0;0); А(1;2;-3) и В(2;-2;5).

Задача 10. Плоскость и сфера заданы уравнениями 4х+3у–4=0 и x2+y2+z2–2x+8y+8=0. Принадлежит ли центр сферы данной плоскости?

Задача 11. Составьте уравнение прямой проходящей через точки А(1;3;2) и

В(-5;7;4).

Задача 12. Прямая и сфера заданы уравнениями x +2 2 = y 1− 3 = z 4+1 и x2+y2+z2=13.

Найдите их точки пересечения.

Задача 13. Найдите расстояние от вершины D тетраэдра ABCD до его грани АВС,

если АС=СВ=10, АВ=12, DA=7, DB= 145 , DC= 29 .

Ответ: 3.

Задача 14. Найдите длину ребра AD тетраэдра ABCD, если АВ=АС=ВС=10,

DB=229 , DC= 46 и расстояние от вершины D до плоскости грани АВС равняется

6.

Ответ: 214 или 206 .

3. Задания для самоконтроля

1. Даны точки К(0;1;1); Р(2;-1;3) и Т(-1;у;0). Найдите такое значение у, чтобы выполнялось условие: КТ=РТ.

2. Даны точки А (1;2;3) и В (3;-6;7). Найдите координаты середины отрезка АВ.

37

3. Найдите координаты точки, которая лежит на оси Оу и равноудалена от точек А(4;-1;3) и В (1;3;0).

4. Найдите точки, равноудаленные от точек А(0;0;1), В(0;1;0), С(1;0;0) и удаленной от плоскости yz на расстояние 2.

осью Ох.

8.Составьте уравнение плоскости, параллельной плоскости ху и проходящей через точку А(2;3;4).

9.Точки О(0;0;0); А(3;0;0); В(0;4;0) и О1(0;0;5) – вершины прямоугольного параллелепипеда. Составьте уравнения плоскостей всех его граней.

10.Составьте уравнения прямой, проходящей через точки А(1;1;2) и В(-3;2;7).

11. На каком расстоянии от основания куба расположен параллельный основанию отрезок длиною b, если один конец отрезка лежит на диагонали куба, другой – на скрещивающейся с ней диагонали боковой грани? Длина ребра куба а.

Ответ: (2a ± 5b2 − a2 ) ÷ 5 .

12. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, АВ=ВС=а, АА1=2а. Найдите длину отрезка МК, параллельно грани АВВ1А1, если М AD1, K DB1, AM:AD1=2:3.

Ответ: a 35 .

Занятие № 8

Тема занятия: «Векторы в пространстве и векторный метод решения стереометрических задач»

Цели:

-обобщить и углубить школьные знания студентов о векторах, действиях над ними;

-продолжить изучения векторного метода решения планиметрических и стереометрических задач;

-сформировать умения применять векторы и векторный метод при решении геометрических задач.

38

1. Краткое изложение теоретического материала

Скалярное умножение векторов Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их

модулей и косинуса угла между ними: a × b = a × b × cos(a,^b) .

Свойство 1: a × b = b × a для "a,b.

Свойство 2: (xa) ×b = x(a × b)для "a,b, x . Свойство 3: (a + b) × c = a × c + b × c для "a,b,c.

Два частных случая:

1)a = b; a × a = a2 = a 2 .

2)a × b = 0 тогда и только тогда, когда векторы a и b перпендикулярны. Если a или b есть нулевой вектор, то он по определению, перпендикулярен любому вектору.

Если a=(а1;а2;а3); b =(b1 ;b2 ;b3), то a ×b = a1 ×b1 + a2 ×b2 + a3 ×b3 .

39