Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ВАШ КОРР КУРС Геометрия Ковал Лосева

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

4 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

2. Система задач для аудиторных занятий

Задача 1. Ребро куба равно 4. Найдите AB ×CD .

Задача 2. Перпендикулярны ли векторы a(2;3;6) и b(3;2;−1)?

Задача 3. При каком значении т векторы a(6;0;12) и b(− 8;13;m) перпендикулярны? Задача 4. Найдите угол между векторами a(1;1;0) и b(1;0;1).

Задача 5. Найдите cos Ð АВС, если А(1;-3;4), В(2;-2;5), С(3;1;3).

Задача 6. Пусть в тетраэдре ABCD точки K и L – середины ребер АВ и CD. Отрезок

KL называем средней линией тетраэдра.
Докажите, что:	а) справедливо равенство
KL = 1 (AC + BD); б)	KL ≤ 1 (AC + BD); в) отрезки
2	2
АС, BD, KL параллельны одной плоскости; г) все
средние линии тетраэдра пересекаются в одной
точке и делятся ею	пополам; д) через эту точку

проходит отрезок АА1, где А1 – центр масс грани

BCD.

Задача 7. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов всех его ребер.

Задача 8. Найдите длину векторов 3a − b и 2a + 3b, если a = (2;0;−3); b = (5;−1;2). Задача 9. М – середина ребра ВС тетраэдра РАВС, О - середина АМ. Выразите вектор PO через векторы PA = a, PB = b; PC = c .

Ответ: PO = 14 (2a + b + c) .

Задача 10. Найдите угол между векторами: 1) a=(0;0;2) и b =(1;0;-1); 2) x =(3;2;-2) и

y =(0;4;4).

Задача 11. Длины векторов a и b равны, а угол между ними 120°. Найдите угол между

векторами 2a + b и b .

Задача 12. Найдите косинус угла между прямыми, на которых лежат скрещивающиеся медианы двух граней правильного тетраэдра.

3. Задания для самоконтроля

1. Даны векторы a=(-1;3;7) и b =(6;2;-8). Найдите координаты векторов: а) 2a+3b ,

б) 12 a − 14 b , в) 0,5a-1,5b .

2.Даны векторы a=(1;2;-3), b =(0;3;1), c =(2;5;2) и m =(4;0;-7). Найдите числа a, b и c

такие, чтобы выполнялось равенство m = aa + bb + cc .

3.Найдите косинус угла между векторами a = (1;2;2) и b = (2;3;6) .

4.При каких значениях х перпендикулярны векторы a =(1;2;3) и b =(х;3;1)?

5.Дано векторы a=(3;4;0) и b =(-1;2;0). Найдите число λ, при котором вектор a+λb перпендикулярен вектору a.

6. Напишите уравнение плоскости, перпендикулярной вектору n = (5;0;−3) и проходящий через точку А(2;-1;4).

7.Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку А(1;-3;5) и параллельна плоскости 2х-3у+z+10=0.

8.М – точка пересечения медиан грани АВС тетраэдра РАВС, РА=3, РВ=6, РС=9 и

ÐАРВ=Ð ВРС=Ð СРА=α. Найдите РМ.

Ответ: 14 + 22cosα

9.Точка К – середина ребра АС правильного тетраэдра ABCD. Найдите косинус угла между прямыми АВ и KD.

10.Все вершины правильного тетраэдра лежат на сфере. Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки сферы до вершины тетраэдра есть величина постоянная.

Занятие № 9

Тема занятия: «Геометрические тела»

Цели:

-Обучающие:

v сформировать понятия геометрического тела, поверхности тела;

v сформировать умения решать стереометрические задачи на измерение геометрических величин, построение сечений многогранника;

vнаучить использовать свойства многогранников при решении задач.

-Развивающие:

vразвивать приемы обобщения, логического мышления, пространственного воображения;

vразвивать пространственное мышление студентов путем построения изображений геометрических тел, их элементов, разбиением тел на составляющие;

vсовершенствовать навыки математического моделирования физических объектов и конструкций.

1. Краткое содержание теоретического материала

Телом называется фигура в пространстве, обладающая двумя свойствами:

1)у нее есть внутренние точки, и любые две из них можно соединить ломанной (или отрезком), которая целиком проходит внутри фигуры, т.е. состоит из внутренних точек;

2)фигура содержит свою границу, и ее граница совпадает с границей ее внутренности.

Граница тела называется его поверхностью.

Многогранники

Многогранником называется ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников.

Теорема Эйлера и род многогранника. Леонард Эйлер первым обратил внимание на топологические свойства (связь между числами граней, вершин и ребер) многогранников и занимался их изучением. Он показал правильность своей теоремы для каждой группы выпуклых многогранников: параллелепипедов, призм, пирамид, а поэтому его доказательства громоздкие.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение Г+В–Р=2, (*)

где Г – число граней, В – число вершин, Р – число ребер данного многогранника. Замечание. Теорема Эйлера доказана для выпуклых многогранников. Во времена Эйлера не существовало этого понятия. Позже многие ученые обращались к доказательству этого красивого факта. Было замечено, что равенство Эйлера справедливо не только для выпуклых многогранников, но и для некоторых невыпуклых многогранников, например для призмы, изображенной на рис.1, а. Для нее Г=6, В=8, Р=12, т.е. Г+В-Р=2. Это многогранники так называемого нулевого рода. Наглядно их поверхность, сделанную из эластичного материала, можно натянуть на сферу. Все выпуклые многогранники относятся к многогранникам нулевого рода. Их поверхность не имеет «дыр» в отличие от многогранников с одной «дырой» (рис.1, б), с двумя дырами (рис. 1, в),… с р «дырами». Многогранник с одной «дырой» называются многогранником первого рода, с двумя «дырами» – второго рода, …, с р «дырами» – многогранником р-го рода.

Рис. 1.

Для произвольного многогранника р-го рода доказана обобщенная теорема Эйлера. Обобщенная теорема Эйлера. Для произвольного многогранника рода р справедливо следующее соотношение:

Г+В–Р=2–2р.

Теорему Эйлера историки математики называют первой теоремой топологии – раздела математики, который занимается изучением свойств фигур, тел и поверхностей, не меняющихся при деформациях, допускающих любые растяжения и сжатия, без разрывов. Такие свойства называются топологическими.

Правильные многогранники

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Теорема. Существует не более пяти типов правильных многогранников.

В таблице описаны виды правильных многогранников, а также их свойства и отношение между элементами.

Таблица

Название многогранника Свойства многогранника и отношение между его элементами

Тетраэдр – правильный

Г=4,

В=4,

Р=6,

N1=3,

N2=3,

S=a2

;

четырехгранник

а2

; R =

; r =

Гексаэдр – правильный

Г=6,

В=8,

Р=12,

N1=4,

N2=3,

S=6a2;

шестиугольник (куб).

V=а3 ; R =

a 3

; r

= a .

Октаэдр – правильный

Г=8,

В=6,

Р=12,

N1=3,

N2=4,

S=2a2

;

восьмигранник.

; R =

; r

Додекаэдр – правильный

S=3a2

Г=12,

В=20,

Р=30,

N1=5,

N2=3,

25 +10

;

двенадцатигранник.

а 3 (15 + 7

a 250 +110

;

R =

3(1 +

Икосаэдр – правильный

5а

(3 +

Г=20, В=12, Р=30, N1=3, N2=5, S=5a2

; V=

;

двадцатигранник.

10 + 2

r = a

(3 +

) .

R =

;

Изображение правильных многогранников показано на рис.2. По числу граней их называют тетраэдр (четырехгранник), гексаэдр (шестигранник или куб), октаэдр (восьмигранник), додекаэдр (двенадцатигранник), икосаэдр (двадцатигранник).

или

Рис. 2

Основные виды многогранников (призма и пирамида)

Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников.

Многоугольники называются основаниями призмы, а параллелограммы – боковыми гранями. Стороны боковых граней и оснований называются ребрами призм. Концы ребер называются вершинами призмы. Боковыми ребрами

называются ребра, не принадлежащие основаниям.

Свойства призмы:

1)основания призмы параллельны и равны;

2)боковые ребра параллельны и равны;

3)боковые грани – параллелограммы;

Высотой призмы называется перпендикуляр, опущенный из точки верхнего основания на плоскость нижнего основания.

Диагональным сечением призмы называется сечение ее плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Прямой призмой называется призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Призма, не являющаяся прямой, называется наклонной призмой.

Правильной призмой называется прямая призма, у которой в основании лежит правильный многоугольник.

Теорема. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту.

Рассмотрим формулы для вычисления объема призмы.

1) через площадь перпендикулярного сечения:

Объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на плоскость перпендикулярного ему сечения.

2) через площадь боковой грани:

Пусть Q – площадь боковой грани KLL1K1 треугольной призмы, d – расстояние от противоположного ребра ММ1 до этой грани. Тогда объем этой призмы можно найти по формуле

V= 12 Qd.

Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника – основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания – вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются

боковыми ребрами.

Боковые ребра пирамиды образуют боковую поверхность, а вместе с основанием – полную поверхность пирамиды. Боковые ребра, которые проходят через смежные вершины основания, называются смежными, а те, что проходят через противолежащие вершины основания, – противолежащие. Боковые грани, которые проходят через смежные стороны основания, называются смежными, а те, что проходят через противолежащие стороны – противолежащими.

Правильной пирамидой называется пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды совпадает с центром этого многоугольника.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная, из вершины пирамиды, называется апофемой.

Свойства правильной пирамиды:

1)Боковые ребра равны;

2)Боковые грани равны;

3)Апофемы равны;

4)Двугранные углы при основании равны;

5)Двугранные углы при боковых ребрах равны;

6)Каждая точка высоты правильной пирамиды равноудалена от всех вершин основания;

7)Каждая точка высоты правильной пирамиды равноудалена от всех боковых граней;

8)Каждая точка высоты правильной пирамиды равноудалена от всех боковых ребер.

Диагональным сечение пирамиды называется сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра пирамиды, не лежащих в одной грани.

Теорема: если пирамида пересечена плоскостью параллельной основанию то:

1)боковые ребра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части;

2)сечение – многоугольник, подобный основанию;

3)площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины.

Теорема (о сечении пирамиды плоскостью, параллельной основанию).

Плоскость, которая пересекает боковые ребра пирамиды во внутренних точках и параллельна ее основанию, пересекает пирамиду по многоугольнику, гомотетичному основанию пирамиды.

Теорема. Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельна ее основанию, отсекает подобную пирамиду.

По теореме, плоскость, параллельная плоскости основания пирамиды и пересекающая ее боковые ребра, отсекает от нее подобную пирамиду. Другая часть представляет собой многогранник, который называется усеченной пирамидой. Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями, остальные грани называются боковыми гранями. Основания усеченной пирамиды представляют собой подобные (более того, гомотетичные) многоугольники, боковые грани – трапеции.

Усеченная пирамида называется правильной, если она составляет часть правильной пирамиды. Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды, проведенная к ребру основания, называется апофемой.

В правильной усеченной пирамиде:

- боковые ребра равны; - боковые грани равны; - апофемы равны;

- двугранные углы при каждом основании равны; - двугранные углы при боковых ребрах равны;

- каждая точка прямой, проходящей через центры ее оснований, равноудалена от всех вершин каждого основания, равноудалена от плоскостей боковых граней, равноудалена от прямых, на которых лежат боковые ребра.

Теорема (о равновеликость треугольных пирамид с равными высотами и равновеликими основаниями).

Треугольные пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами имеют равные объемы.

Теорема (об объеме пирамиды). Объем пирамиды равен третьей части произведения площади ее основания на высоту.

Следствие. Отношение объемов подобных многогранников равняется кубу коэффициента подобия.

Теорема (об объеме усеченной пирамиды).

Объем усеченной пирамиды с высотой Н и плоскостью оснований S1, S2 вычисляется по формуле:

V= 13 H (S1 + S1 × S2 + S2 ).

Тела вращения

Пусть дана плоская фигура. Из каждой точки этой фигуры отложены равные и параллельные между собой отрезки по одну сторону от плоскости фигуры. Полученная пространственная фигура называется цилиндром.

Отрезки, которые откладываются при построении, называются

образующими цилиндра.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны площади основания.

Цилиндр, основанием которого является круг, называется

круговым.

Sбок = 2πrh ; Sцил = 2πr2 + 2πrh; V = πr 2 h .

Конус

Круговым конусом называется тело, которое состоит из круга – основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга – вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

Sбок=π rl; Sконуса=π rl+π r2; Vкоунса= 13 π r2h; Vусеч.конуса= 13 π r(R2+Rr+r2).

Шар. Сфера

Шаром называется тело, состоящее из всех точек пространства, которые находятся от данной точки на расстоянии, не больше данной величины.

Vшара= 43 π r3; Sсферы=4π R2.

2. Система задач для аудиторных занятий

Задача 1. Точки PQR взяты на ребрах куба ABCDA1B1C1D1 следующим образом: точка Р СС1, Q DD1, R A1B1. Постройте сечение куба плоскостью PQR.

Решение. Построим точки P1Q1R1 – проекции точек PQR на плоскость АВС. Так как по условию точка Р лежит на ребре куба СС1, то проектируя ее в направлении, параллельному боковому ребру куба, получим точку Р1, совпадающую с точкой D. Проведем далее в плоскости АА1В1 через точку R прямую r ׀׀ АА1 и найдем точку R1 – точку пересечения прямых r и AB. Так как RR1 ׀׀ AA1 и АА1 ׀׀ QQ1, то прямые RQ и R1Q1 лежат в одной плоскости (она определяется прямыми RR1 и QQ1). Найдем точку Х – точку пересечения прямых PQ и P1Q1; Х PQ, следовательно, она лежит в секущей плоскости. Аналогично находим точку Y – точку пересечения прямых RQ и R1Q1. Точка Y, как и точка Х, принадлежит искомому следу. След секущей плоскости PQR на плоскости АВС – прямая XY.

Найдем точку N – точку пересечения плоскости PQR с ребром АА1. проекция искомой точки – точка N1 – совпадает с точкой А. Проведем прямую N1R1 до пересечения с прямой XY – их точка пересечения – точка Z. Проводим прямую RZ, которая пересекает ребро АА1 в точке N; N PQR.

Прямая RZ пересекает продолжение ребра ВВ1 в точке К. Секущая плоскость PQR пересекает грань ВВ1С1С по прямой КР (так как К PQR, P PQR). Точка S – точка пересечения прямой КР и ребра

В1С1.

Задача2. Дан куб ABCDA1B1C1D1

и точки P, Q и R такие, что

АР= 13 АА1, B1Q= 12 B1C1, а точка R

– центроид грани DD1C1C. Постройте сечение куба плоскостью PQR.

Ответ: Полученный многоугольник PKQLF является искомым сечением.

Задача3. На ребрах А1В1 и D1D

куба ABCDA1B1C1D1 взяты

соответственно точки P и S, а в

гранях DD1C1C и AA1D1D

соответственно точки Q и R. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку S параллельно плоскости

PQR.

Задача 4. Постройте сечение четырехугольной призмы АВCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через три точки: K, L, M, лежащие на боковых ребрах призмы.

Задача 5. Постройте сечение треугольной призмы АВСА1В1С1 плоскостью MKL, если точка М(М1) принадлежит ребру АА1, точка К(К1) – грани А1АВВ1, а точка L(L1) расположена выше призмы.

Задача 6. В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите боковую поверхность призмы, если периметр сечения равен p, а боковые ребра равны l.

Задача 7. Найдите объем наклонной треугольной призмы, если площадь боковой грани равна S, а расстояние от этой грани до противолежащего ребра равно d. Задача 8. Найдите объем правильной треугольной призмы, у которой диагональ боковой грани равна d, а сторону основания видно из противоположной вершины второго основания под углом α.

Ответ: d 3 sin2 α2 3(2cosα −1) .

Задача 9. Боковое ребро пирамиды разделено на 3 равные части и через точки деления проведено две плоскость, параллельные основанию пирамиды. Площадь основания 900см2. Определите площади образованных сечений.

Ответ: 400 (см2) и 100 (см2).

Задача 10. Боковое ребро пирамиды разделено на четыре равные части и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Площадь основания равна 400 см. кв. Найдите площадь сечения.

Ответ: 225 см3.

Задача 11. Высота правильной треугольной пирамиды равна h, двугранный угол при боковом ребре равен 2α. Найдите объем пирамиды.

Ответ: V =	3	h3 sin(α − 300 )sin(α + 300 )	.
Ответ: V =			.
		cos2 α

Задача 12. Докажите, что площадь любой грани тетраэдра меньше суммы площадей трех остальных граней.

Указание. Проекции на плоскость грани тетраэдра трех оставшихся его граней полностью покрывают эту грань. Известно также, что площадь проекции треугольника на плоскость, ему не параллельную, меньше площади самого треугольника.

Задача 13. Ребро правильного октаэдра равно а. Найдите расстояние между двумя противолежащими вершинами октаэдра.

Ответ: a2 .

Задача 14. Плоскость пересекает сферу. Диаметр сферы, проведенный в одну из

точек линии пересечения, равняется 42 дм и образует с плоскостью угол 45°. Найдите длину линии пересечения.

Ответ: 4π дм.

Задача 15. Радиусы двух шаров 25 дм и 29 дм, а расстояние между их центрами 36 дм. Найдите длину линии, по которой пересекаются эти поверхности.

Ответ: 4π дм.

Задача 16. В равностороннем конусе радиус основания R. Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которой α.

Ответ: 2R2 sinα .

Задача 17. Образующая усеченного конуса образует с плоскостью большего основания угол α. Радиусы оснований R и r (R>r). Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса.

Ответ: π (R2 − r 2 ) . cosα

Задача 18. На нижнем основании цилиндра лежит хорда, равная 6 см, удаленная от его оси на 4 см. Вычислите объем цилиндра, если расстояния от центра верхнего основания до конца этой хорды равно 13 см.

Ответ: 300πcm3

3. Задания для самоконтроля

1. Основанием пирамиды MABD служит квадрат ABCD со стороной, равной а. Грань АМВ является правильным треугольником и перпендикулярна плоскости основания. Найдите расстояние между BC и MD.

Указание: расстояние между ВС и MD равно высоте BN треугольника АМВ. Необходимо учесть, что BC||AMD, а BN есть расстояние между ВС и

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.202580 Кб1Варианты ККР БЖД.docx
#
01.07.202584 Кб1варианты контрольных заданий с 1 по 44.docx
#
01.07.2025326 Кб1варианты по англ.doc
#
13.04.201528 Кб89Варіант 1.docx
#
13.04.201570 Кб7Василь Стус незавершений проект.docx
#
13.04.20154 Мб24ВАШ КОРР КУРС Геометрия Ковал Лосева.pdf
#
01.07.2025129 Кб3ВВЕД. В СПЕЦ..doc
#
31.08.2019318 Кб2Введение курсовая 2.doc
#
27.10.2018121 Кб3Введение в HTML.doc
#
01.07.2025121 Кб3Введение в журналистику_лекции_обновл.docx
#
17.08.2019234 Кб24Введение в комментарий Сулам.doc