Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matphys_tex.pdf

Скачиваний:

168

Добавлен:

16.04.2015

Размер:

933 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2111 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

4.4Принцип максимума.

Теорема. - огр область; ( ). Для

любого шара : есть свойство среднего.

Тогда, если

: ( *) =

max ( ),

то ( )

≡

( *). То есть, если на области

min

достигается максимум, то функция - константа.

Доказательство. Будем строить константу, расплываясь по области.

( *) = max ( )

. Если

min :

→ −.

* - точка максимума. Напишем в ней теорему о среднем:

( *) = | | ·

∫

( ) ( ).

| − |=

Тогда максимальное значение ≡ среднему по сфере

= ( ) = ( *)

из сферы.

Если не так, то есть * :

( *) < ( *)

′( *)

(окрестность на сфере, достаточно малая, чтобы значение также

( ) =

было на

меньше значения в *) такая, что:

′( *) =

( )

≤

( *)

= ( *)

−

( *) > 0

∫

− 2 , где

( ) ( ) ≤ ( *) − 2

| ′( *)|

(

)

′( *)

Разобьем сферу на две части: ∩ ′

′

и ′

Пусть ′. Т.к. - точка максимума, то

∫

( ) ( ) ≤ ( *) | ( )|

∫

= +

∫

( ) ( )

′

′( *)

( *)

Тогда

∫

≤

| − 2 |

′

2. Пытаемся распространить на всю область:

Рассмотрим две точки. По определению области их можно соединить путем.

: [0; 1] → . - компакт в , поэтому за конечное количество шагов доберемся

по шарам до конечной точки.

Для каждой точки пути строим шар, содержащий ее, и содержащийся в :

( ) ( ( ), ( ))

Эти шары образуют открытое покрытие :
Эти шары образуют открытое покрытие :		( ( ), ( ))
		[0;1]

	( ( ), ( ))
Извлекаем конечное подпокрытие:	( ( ), ( ))
=1

Таким образом, можем добраться за конечное число шагов до любой точки

= можем распространиться с шара на всю плоскость.

Следствие (слабый принцип максимума).

( ) ∩ (2)( ), = 0, - огр обл в R = maxmin ( ) = maxmin ( )

Доказательство. min( ) = − max(− ), поэтому рассматриваем максимум. max ≥ max (max на подмножестве не больше, чем на самом множестве).

Ω	*	: ( *) = max
Если неравенство строгое, то
		Ω

Есть условие среднего, тогда, по принципу максимума, функция - константа на всей области.

4.5Постановка краевых задач. Теоремы единственности.

Рассмотрим - ограниченную гладкую поверхность в R i - internal, e - external

Задачи Дирихле:

Внутренние ( )

Внешние ( )

= в

(2)( ) ∩ (

)

(2)( ) ∩ ( )

∞

Правильное

поведение на

( ) = (

)

−2

′( ) = {

| |

| 1|2 ), = 2

(

≥ 3

−1

| |

Теорема 1 (единственности). Решение задачи единственно.

Доказательство. Пусть 1,

- решения . = 1 − 2.

1 =

2 =

= = 0

2 =

= = 0

(2)( ) ∩ ( )

По принципу максимума для : maxmin ( ) = maxmin ( ) = 0. Таким образом, ≡ 0.

Аналогично для :

Теорема 2 (единственности). Решение задачи единственно.

Доказательство. Пусть 1, 2 - решения . = 1 − 2.

(2)		∩	На :		= 0	= 0		∞
	( )		(	)			поведение на		.
					+ правильное

Принцип максимума не подходит, поскольку область не ограничена. := ∩ (0, ). Существует : (0, ), поскольку ограничена. Принцип максимума для :

maxmin ( ) = maxmin ( ) = 0. Фиксируем :

Ω ∂Ω

\|	( )	\| ≤	∂Ω = \| ( )\| =	\|		\|	=: ( )
	( )		max	max	( )		=: ( )

Так как есть правильное поведение, то :						\| ( )\| ≤			=
Так как есть правильное поведение, то :						\| ( )\| ≤		\| \| −2	=	−2
Таким образом, ( ) −→ 0.			\| ( )\| ≤ ( ) → 0 = ( ) = 0.
	→∞

Замечание : При ≥ 3 достаточно правильное поведение: ( ) −→ 0, ≥ 3

| |→∞

При = 2 - без доказательства.

4.6Постановка задачи Неймана. Теоремы единственности.

∂

= - условие Неймана. Задачи Неймана:

∂

Внутренние ( )

Внешние ( )

= в

∂

(2)

∂

(2)

∂

( )

∩

( )

∩

(

)

∂

lim

(

−

( )) = ( )

равномерно по

Правильное поведение на ∞

∂ ( )

→0

(Правильная нормальная производная)

правильная нормальная производная

:= { − ( ) } – параллельная поверхность для .

∂ ( )

∂

Теорема 1 ( ). 1. Если 1, 2 (2)( ) - решения , то 1 − 2 ≡

2.Если (2)( ) - решение , то ∫ = ∫

Доказательство.

1 − 2 = ( )

(2)(

= 0 в ,

∂ = 0.

∂

– произвольная:

∫

+ ∫

− ∫

∂

0 =

∂

≡0

:= = Ω∫

| |2 = 0 = ( ) ≡ 0

= .

2. Была лемма: - огр

= Ω =

∂ .

= ,

∂

∫

∂

Теорема 2 ( ). При ≥ 3 решение задачи единственно.

При = 2 решения могут отличаться только на константу.

Доказательство.

1 − 2 = ( )

(2)( ),

= 0 в ,

∂ = 0.

∂

∞

– правильное поведение на

= ∩ (0, ),

(0, ).

∫

= − ∫

| |2 +

∂ .

∂

∂Ω

= 0 в ;

∂ = ;

∂

= 0

∂

∫

( ),

∂

→ ∞

≥ 3:

( ) =

∂ ( ) ≤ −

| ( )|

∂

| | −2

−

∫

∂

≤ ∫

( ) ≤

1 −1

−→→∞ 0

∂

−2

−1

2 −3

| | =

| 2| −3 =

−2

∫

| ( )|2

= 0 = ( ) = 0 = ( ) ≡

| ( )| → 0 = ≡ 0

= 2:

| ( )| ≤

∂

≤

∂

| |2

( )

∫

∂

≤ 2 | |

−→→∞ 0

( ) =

−1

∂

Упражнение: Получаем, что при = 2 нет единственности для . Есть ли условия на и

, чтобы решение существовало? (Можно взять ≡ 0 или ( ) −→ 0)

| |→∞

4.7Решения задачи в шаре.

Рассмотрим = = (0, ). =

Теорема. Решение задачи существует и единственно для задачи

= 0

Явная формула:

( ) = | 1| ·

Для любой ( ).

∫ 2 − | |2

| − | ( ) ( )

Доказательство. Докажем в два этапа:

1.Будем предполагать, что решение существует из (2)( )

2.Докажем существование решения для любой функции ( )

							=
1. Пусть существует	(2)(			) :			= 0 в

По формуле интегрального представления:									− ∫
	∫		−			∂			− ∫	∂		−
( ) =		(			)	∂		( ) ( )		∂	(		) ( ) ( )
( ) =		(			)			( ) ( )			(		) ( ) ( )

Зафиксируем . ( ) = ( ′ − ) (будет далее):

∫	=0	−	=0	∫	(∂	−	∂ )
			=		∂		∂
Ω

= ( ); = ( ) = ( ′ − ), где ′ - инверсная точка , т.е. | | · | ′| = 2 и и′ лежат на одном луче, выходящем из точки ноль.

′

(∞)(

)

= 0

∫

∂ ( ′ − ) · ( ) ( )

( ′ − ) · ∂ ( ) ( ) = ∫

∂

≥ 3 : ( ) = | | −2

( ′ − ) ( − ).

| ′ − | | − | ;

′ R

| ′− |

Подобные треугольники:

′

| |

;

| − |

| ′|

Получаем:

| |

| − |

| | | ′− |

( , ) = (

)

−2

( ′ − )

| |

В интегральном представлении:

∫

∂

∫

2−

∂

−

( ) =

(

)

∂

( ) ( )

∂

(

) ( ) ( )

(

| | ) − ( ′− )

−2

∂

∫

( −

)

( ) ( ) =

(

)

∫

( ′ −

)

( )

∂

| |

∂

∫

∂

( ′

−

) ( ) ( )

∂

( ) =

2 − | |2

( ) ( )

| 1| · ∫

( ) =

∫

[(| |)

| − |

−2

∂ ( ′ − ) −

∂ ( − )] ( ) ( )

∂

( , )

≥ 3 :	( ) =	1
		\| 1\|( −2)\| \| −2

∂

· ( )

∂

∑

∂ | − |

∂

−

∂

=1 |

∑

∂

−

(

) =

∂

−

−1

−

2 ·

| | · | − |

√∑| − |

∑

∑ | | · | − |

−2

( ′

)

(

)

( , ) =

−

)

· =1

′

−

(

| ·

−

| |

∑

Из подобия треугольников следует, что

| |

′

−

−2

( ′ − )

( − )

( , ) =

(

)

(

| |

)

· =1

−

| ·

−

| |

∑

( , ) =

| |2 ·

( =1 ′ − 2 ) − =1 + 2

∑

| 1| | − |

′ = , > 0,

′

| |

( , ) =

2 − | |2

| 1| | − |

Теорема. Пусть (2)(

);

= 0 в

∫

( )

∫

( ) =

( , ) ( ) ( ) =

− | |

( ) ( )

−

- формула Пуассона.

Оправдание формулы Пуассона:

Теорема. Для ( )

! решение задачи .

( ) :=

( , ) ( ) ( )

∫

Потом проверим, что - решение задачи.

1.(2)( ) ∩ ( )?

2.= 0 в шаре?

3. =

Базовые свойства ядра ( , ):

1.( , ) (∞)(по в (0, )), | | = .

2.( , ) = 0, | | < (| | = ).

3.( , ) > 0 в шаре: | | < , | | < .

( , ) 0 (| | → ) равномерно по , если и отделены (т.е. | − | ≥ > 0).

∫

4.( , ) ( ) ≡ 1, | | <

( ) ≡ 1, ( ) (2)(

= 0

∫

( ) =

( , ) ( ) ( )

Доказательство. (Теоремы): - решение задачи?

1. (∞)( )

∂ 1 . . . ∂ ( ) =

∫

∂ 1

. . . ∂ ( , ) ( ) ( )

(

)

( )

непр

по

∫

( , )) ( ) ( ) = 0

( , ) ( ) ( ) =

(

| |

( ) = ∫

| 1| −| |−|

| ( ) ( ), | | <

( ) =

{

( ),

| |

Формула Пуассона,

Т.о.

( )

−→

( *).

( )

→

> 0

> 0 :

( )

( *)

−

< =

−

Фиксируем

> 0

= ,

−

< =

( )

−

( *)

̃:

( ) − ( *) =

∫

( , ) ( ) ( ) − ∫

( , ) ( *) ( )

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2111 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.03.2025125 Кб3math.doc
#
01.05.20251 Мб1Matje_Iskusstvo_drevnego_Egipta-1.doc
#
01.05.20252 Мб8Matje_Trudy_po_Egiptu.doc
#
21.03.201610 Мб383matlab_manual.rtf
#
01.05.20251 Мб2matmet.doc
#
16.04.2015933 Кб168matphys_tex.pdf
#
02.09.201932 Кб23Matritsa_Pervichnogo_SWOT-Analiza_Gruppa_25 (1)...docx
#
01.04.2025168 Кб8matstat_1.docx
#
13.08.2019399 Кб19Maykl_Yapko_-_Gipnoz_dlya_psikhoterapii_depress...docx
#
15.04.2015432 Кб171Mchp_2014_-_Vse_Voprosy_K_Ekzamenu.docx
#
01.05.2025278 Кб6MChP_Lektsii_Talimonchik_2012.docx