Интегральные операторы.

Рассморим отношение :

→ . - линейный оператор (функционал, если = R, C)

-

непрерывный,

если

→ = →

(‖ − ‖ → 0 = ‖ − ‖ → 0)

‖

−

′

‖

→

‖

−

‖

→

0 =

:

0

= ( ), ( ) (1 ≤ < ∞)

∫

Скалярное произведение: ( , ). Например, в 2( ) : ( , ) =

( ) ( )

Теорема Рисса. - линейный непрерывный функционал в

= ! :

= ( , )

‖ ‖ = ‖ ‖

Определение: (нормированное).

1.

- компакт. , - открытые. Тогда 1, . . . , :

=1

2.

- компакт, если { } = { } : → (секвенциальная компактность)

Оба определения равносильны.

компактом. =

{ } - о.н.с. = { : ‖ ‖ ≤ 1}

( ,

′

) = 0;

‖

‖ ≤

1;

( = ′)

̸

‖ − ′‖2 = ‖ ‖2 + ‖ ′‖2 = 2

Т.е. последовательность не фундаментальна в C = не сходится.

- компактный оператор ( → ),

если для любого ограниченного

- компакт:

{ } :

‖ ‖ ≤

=

{ } : - сходится.

- компактный =: - непрерывный. Пример: = , dim = ∞

Сопряженный оператор *:

( ) - множество линейных непрерывных операторов.

( ) =

! *

( ) :

, ( , ) = ( , * ).

‖

‖

=

‖

*

‖

– компактный

* – компактный.

Теорема Фредгольма (Альтернатива Фредгольма). − =

(*) - уравнение

относительно . - комп. в гильберотовом . Альтернатива Фредгольма:

сепарабельном пространстве

= в существует о.н.с. из собственных векторов .

Собственные числа { } R,

−→→∞

0

Кратность с.ч. = dim{ | = }. Она конечна ( ̸= 0).

- комплексное, т.е. C : ̸= 0:

=

о.н.с: ( , ′) = ′

с.ч.

с.в.

∞

{ } - полная о.н.с. в

= =

∑

( , ) ( - ряд Фурье).

=1

= 2( )

R

( )( ) = Ω∫

ядро инт.

(*)

( , ) ( )

оператора

Теорема.

=

п.в.

Ω | ( , )| ≤ 0

п.в.

∫

|

( , )

≤

1

∫

|

Ω

( )

a) интеграл (*) абсолютно сходится для п.в.

, если

2

b) ( )( ) 2( ),

‖ ‖2 2

≤ 0 1 ‖ ‖2 2 ,

‖ ‖ ≤ √

0 1

Доказательство.

∫

| ( , )| )2

a) Рассмотрим (

Ω

Неравенство Гельдера:

∫

| | 2

≤ ∫

| |2

∫

| |2

В нашем случае:

Ω

1

Ω

Ω

1

| ( )|

( ) := | ( , )|

2

,

( ) := | ( , )|2

(Ω∫

| ( , )| · | ( )| )2 ≤

Ω∫

| ( , )|

Ω∫

| ( , )| · | ( )|2

≤

∞ п.в.

2(Ω))

∫

0

( )<

(т.к.

b) ? ( ) < ∞ ?

Ω

Ω∫

( ) =

Ω∫

(Ω∫

| ( , )| · | ( )|2 ) =

=

Ω∫

(Ω∫

| ( , )| · | ( )|2 ) ≤ 1 Ω∫

| ( )|2 = 1 ‖ ‖2

|( )( )| = Ω∫

| ( , ) ( )| ;

|( )( )|2 ≤ 0 ( )

Ω∫

|( )( )|2 ≤ 0 Ω∫

( ) ≤ 0 1

Ω∫

| |2

( , )

( , ) =

,

где | ( , )| ≤ 0,

<

| − |

( ) = Ω∫

( , )

( )

| − |

Лемма 1.

- огр = Ω∫

≤ равномерно по на

| − |

min ≤

sup | − | = =

, Ω

∫

| |

=

| |

=

(

| | = | 1| · − −1)

∫0

∫

( )

1

( , )

| |=

(

)

−

0

= | 1

|

−

( < )

= | 1| ∫

− −1 = | 1| ·

0

−

−

Теорема.

- интегральный

оператор со

слабой

особенностью, - ограничено

= - ограниченный в 2( ) (не превосходит по модулю некой константы).

Доказательство.

Ω∫ || − | |

Ω∫

| − | + Лемма.

Ω∫

| ( , )| ≤ 0

≤ 0

( , )

|( )( ) − ( ′ )( )| 0 (равномерно на

) (

‖ − ′ ‖ 2 → 0)

( ) =

{

0, >

2

;

0 ≤ ≤ 1;

= 1 − .

1, <

←→

| ( , )|

←→

| ( , )|

(

−

)

| − |

| − |

|

|

непрерывное ядро.

‖ − ‖2 ≤

0 1

( ,

0 = 1 ≥ Ω∫

зависит от

|| − | |

(или )

)

∫

( , )

∫

( , )

1 (2 ) −

|

|

≤

|

|

=

0| |

– см. док-во леммы предыдущего §

| − |

| − |

−