5.4Действия с обобщенными функциями.

1.Умножение на гладкую функцию.

Рассмотрим обобщенную функцию ′( ); (∞)( ). Хотим построить ′( ). := .

1, ( ) = 1, ( ).

определяем как < , >:=< , >. Доказали для регулярных функционалов. Принадлежит ли множеству ′( )? Является ли линейным непрерывным?

Уже доказывали, что : ( ) → ( ) – линейный непрерывный, : ( ) → C

– линейный непрерывный, так что и – линеный непрерывный ( ) → C как их композиция.

Примеры : Рассмотрим сингулярный функционал. ( ) – ?

< , > = < , > = (0) (0) = (0) < , > = < (0) , >.

Таким образом, ( ) и (0) действуют одинаково = ( ) = (0) .

Утверждение : отображение ′ : −→( ) – линейный непрерывный оператор

′( ) → ′( ).

Доказательство. Линейность:

Рассмотрим ′( 1 1 + 2 2) = ( )( 1 1 + 2 2).

< ( )( 1 1 + 2 2), > = < 1 1 + 2 2, > =

= 1< 1, > + 2< 2, > = < 1 ( ) 1 + 2 ( ) 2, >,

Непрерывность:

64

{ } ′( ); → 0 в ′( ). Должно быть, что ′ → 0 в ′( ).

То есть < ∂ , > = < ∂ , > = ∫ ∂ .

Ω

0, т.к. 0(∞)(Ω)

Но это верно только если ограничена и = ∂ (1). В общем случае придется вспомнить материал колобка и то, что делалось для плохой области с плохим носителем, что можно провести шарик фиксированного радиуса между носителем функции и границей области, что можно рассмотреть область ̃ , содержащую носитель, ограниченную и с хорошей границей. Для нее интеграл по границе действительно ноль и выкладка выше верна.

Доказательство. Индукция. База – | | = 0. Переход – дифференцирование по .

ΩΩ

Теперь можем определить ∂ так: пусть ′( ).

Тогда ( ) ∫ ∂ := (−1)| | ∫ ∂

ΩΩ

∂′( )? Линейный непрерывный функционал? Представим как композицию

линейных непрерывных отображений.

∂

( ) −→∂ ( ) −→< , ∂ > C.

∂ = (−1)| | ∂ – линейный непрерывный ( ) → C. Свойства :

65

(a) ∂ линеен в ′( ) : ∂ ( 1 1 + 2 2) = 1∂ 1 + 2∂ 2

< ∂ ( 1 1 + 2 2), > = (−1)| | < 1 1 + 2 2, ∂ > = = (−1)| | 1< 1, > + (−1)| | 2< 2, > = < 1∂ 1, > + < 2∂ 2, >

(b)∂ непрерывен в ′( ) .

→ 0 в ′( ) = ∂ → 0 в ′( ) ?

( ) < ∂ , >→ 0?

Т.к. → 0 в ′( ) , то ̃ < , ̃ >→ 0.

̃ := ∂ . < ∂ , > = (−1)| | < , ∂ >→ 0.

{

, ≥ 0

Пример : = 1, ( ) = , то есть ( ) = +.

0, < 0

:= R. ( )( ) = ?

−∞

Третья производная: < ′′′, > = < ′, > = − < , ′ > = − ′(0).

3.Дифференцирование произведения:

Утверждение : Пусть (∞)( ); ′( ). Тогда ∂ ( ) = + ∂ .

Доказательство.

< ∂ ( ), > = − < , > = − < , > = − < , ( ) − > = = − < , ( ) > + < , > = < ∂ , > + < , > = < ∂ , > + < , >

66

Пример : (∞)(R {0}).

– однородная степени − : ( ) = − ( ), > 0.

( ) = | 1| · ( 0), 0 = | | 1 (единичная сфера).

Что такое пространство ? Посмотрим, что есть, когда ( ) = 0.

67