a

a

Положим x = a , тогда ∫ f (t)dt = F(a) +C . Поскольку

∫ f (t)dt = 0 , то

a

a

0 = F(a) +C C = −F(a) и, значит,

x

∫ f (t)dt = F(x) − F(a) .

a

b

При x = b , получим

∫ f (t)dt

= F(b) − F(а)

или,

заменив обозначение переменной

интегрирования на x ,

a

b

ba

∫ f (x)dx = F(b) − F(a) = F(x)

Пример 4.4.1

a

1

xdx

1 d(x2 +1)

1 + x2

1

∫

= ∫

=

= 2 −1.

1 + x2

2 1 + x2

0

0

0

4.4.4. Замена переменной в определенном интеграле

Теорема 4.4.3

b

f (x) – непрерывна на [а;b]. Введем новую переменную

Пусть дан интеграл ∫ f (x)dx , где

ПустьF(x) – первообразная для f (x) , т.е.

′

F (x) = f (x) . Рассмотрим сложную функцию

F (ϕ(t)) и найдем ее производную

d

′

′

′

dt F(ϕ(t))

= F (ϕ(t)) ϕ(t) =

f (ϕ(t))ϕ (t) .

′

Значит F (ϕ(t)) – первообразная для f (ϕ(t))ϕ (t) . Тогда

β

β

b

′

∫ f (ϕ(t))ϕ (t)dt = F(ϕ(t))

α

= F(ϕ(β))− F(ϕ(α))= F(b) − F (a) = ∫ f (x)dx .

α

a

Пример 4.4.2

x +1 = t

3

x = t2 −1

2

2

∫ x

x +1dx =

dx = 2tdt

= ∫(t2 −1)t2tdt = 2∫(t4 −t2 )dt =

0

x = 0 t =1

1

1

x = 3 t = 2