0 |
0 |
V = π ∫(f ( y))2 dy = π ∫(у + 4)dy =8π . |
|
−4 |
−4 |
Длина дуги в декартовых координатах
Длина дуги AB (рис. 4.4.18) графика непрерывно дифференцируемой функции у = f (x) , x [a; b], вычисляется по формуле
l= b∫
1 + (f ′(x))2 dx .
уa
|
|
|
y=f (x) |
|
В |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
0 |
а |
b |
||||
|
|
|
Рис. 4.4.18. |
|
|
|
Длина дуги кривой, заданной параметрически
Если уравнение кривой AB задано в параметрической форме
|
х = ϕ(t) |
, где α ≤ t ≤β и ϕ(α) = a; |
ϕ(β) = b , |
|
|
||
y = ψ(t) |
|
|
|
тогда длина дуги AB находится следующим образом:
l = β∫
(ϕt′)2 + (ψt′)2 dt .
α
Длина дуги кривой в полярных координатах
Если уравнение непрерывной кривой AB задано в полярных координатах ρ = ρ(ϕ) , где α ≤ ϕ≤β, то длина дуги будет равна
l = β∫
(ρ′(ϕ))2 +(ρ(ϕ))2 dϕ .
α
Пример 4.4.7
Найти длину кардиоиды ρ = a(1 + cos ϕ) , a >0 (рис. 4.4.19).
|
|
|
|
у |
|
l′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.4.19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
(−a sin ϕ)2 |
+ a 2 |
|
|
|
π |
|
|
|
π |
2cos2 ϕ dϕ = |
l = 2l′ = 2∫ |
(1 + cos ϕ)2 dϕ = 2 ∫ 2a2 +2a2 cosϕdϕ = 2 2 а ∫ |
||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
π |
ϕ dϕ = 4a 2sin |
ϕ |
|
π = 8a . |
|
|||
|
|
|
= 2 2a∫cos |
|
|
||||||
|
|
|
0 |
|
2 |
2 |
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
Площадь поверхности тела вращения
Пусть функции f (x) и f ′(x) непрерывные на отрезке [a;b], кривая AB является графиком функции y = f (x) ≥ 0 . Тогда площадь Р поверхности, образованной вращением кривой AB вокруг оси Ox (рис. 4.4.20) равна
b
P = 2π ∫ f ( x)
1 + (f ′(x))2 dx .
у |
a |
B |
|
|
y=f (x) |
|
|
|
A |
|
|
0 |
a |
b |
х |
Рис. 4.4.20
.
Пример 4.4.8
Вычислить площадь поверхности шарового пояса образованного вращением дуги полуокружности у = 
R2 − x2 , где − R < a ≤ x ≤b < R , вокруг оси Ox .
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что производная |
f |
′ |
|
′ |
= |
|
− |
2 |
х |
|
, найдем |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(x) = у |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 R2 − x2 |
|
|
||||||||
|
|
′ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
R |
||||
1+(f (x)) |
|
= 1 |
+ |
|
|
|
= |
|
. |
|||||||
|
|
R2 − x2 |
R2 − x2 |
|||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
R2 − x2 |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
||
P = 2π∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx = 2π∫Rdx = 2πR(b − a) . |
||||||||
|
R2 − x2 |
|
|
|||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|||||
ЗАМЕЧАНИ Е 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если кривая AB задана параметрическими уравнениями: |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
х |
= ϕ(t) |
, |
|
α ≤ t ≤β |
|
|
|||||||
|
|
|
|
= ψ(t) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
то площадь поверхности вращения определяется формулой
β
P = 2π ∫ψ(t)
(ϕ′(t))2 + (ψ′(t))2 dt .
α
ЗАМЕЧАНИ Е 2
Если кривая AB задана уравнением в полярных координатах:
ρ = ρ(ϕ) , α ≤ ϕ ≤ β ,
то площадь поверхности вращения определяется формулой
β
P = 2π ∫ρ(ϕ)
ρ2 (ϕ)+(ρ′(ϕ))2 dϕ .
α
Приложение определенного интеграла к решению физических и механических задач
Некоторые приложение определенного интеграла иллюстрируются на примерах.
32