t5

t3

2

31

7

11

= 2

−

= 2

−

= 7

.

5

3

5

3

15

1

Теорема 4.4.4

Если f (x) – четная функция, т.е.

f (−x) = f (x) , то

a

a

∫ f (x)dx = 2∫ f (x)dx .

−a

0

a

0

a

Действительно, ∫ f (x)dx = ∫ f (

)d

+ ∫ f (х)dх. Сделаем подстановку в первом интеграле

−a

−a

0

x = −t

x = −a t = a

. Тогда

x = 0 t = 0

−a

а

а

0

0

a

a

a

a

Следовательно,

∫

f (t)dt = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx = 2∫ f (x)dx .

−а

0

0

0

4.4.5. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Пусть u(х) и v(х) – дифференцируемые функции. Тогда (u v)

′

′

′

. Интегрируя

= u v +uv

обе части тождества в пределах от a до b , получим:

b

′

b

b

b

b

′

′

∫(u v)

dx = ∫u vdx + ∫uv dx = ∫vdu + ∫udv ,

a

a

a

a

a

b

так как ∫(uv)′dx = uv +C , то ∫(uv)′dx =

(uv)

ba . Получили формулу,

a

b

b

∫udv = uv

ba − ∫vdu ,

a

a