Справочный материал

к 5-й лабораторной работе

1. Уравнения прямой на плоскости:

• общее уравнение прямой l: Ax + By + C = 0, где A, B, С – числа, A² + B² ¹ 0; нормальный вектор прямой N = {A; B}  l; направляющий вектор прямой а = {B; – A} || l; N  l;

• уравнение прямой, проходящей через точку М(x₀;y₀) перпендикулярно вектору N = {A; B}: A(x – х₀) + B(y – y₀) = 0;

• уравнение прямой, проходящей через точку М(x₀;y₀) с заданным направляющим вектором a = {a_x; a_y} (каноническое уравнение прямой): ;

• уравнение прямой, проходящей через две точки М₁(x₁; y₁) и М₂(x₂; y₂) при x₁ ¹ x₂ и y₁ ¹ y₂:

или = 0

(при x₁ = x₂ и y₁  y₂ уравнение прямой имеет вид x = x₁, а при y₁ = y₂ и x₁  x₂ – вид y = y₁);

• уравнение прямой с угловым коэффициентом k = tg j , где j – угол между прямой и положительным направлением оси х, отсчитываемый от этой оси против часовой стрелки: y = kx + b, число b – ордината точки пересечения прямой с координатной осью y;

• уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку М(x₀; y₀):

y – y₀ = k(x – x₀);

• уравнение прямой в отрезках, не проходящей через начало координат: , гдеа – абсцисса точки пересечения прямой с координатной осью х, b – ордината точки пересечения прямой с координатной осью y;

• нормальное уравнение прямой: хcos  + ysin  – p = 0,

где p – расстояние от начала координат до прямой,  – угол

между осью Ох и перпендикуляром к прямой из начала коор-

динат (длиной р  0); чтобы составить нормальное уравнение

прямой, заданной общим уравнением Ax + By + C = 0, доста-

точно разделить данное уравнение на , причем верх-

ний знак берется, когда С > 0, а нижний – когда С < 0; если же

С = 0, то выбор знака не имеет значения;

• полярное уравнение прямой: ()= р/cos( – ), где р  0;

• параметрические уравнения прямой с направляющим вектором a = {a_x; a_y}, проходящей через точку М(x₀; y₀):

2. Расстояние от точки Р(x₀; y₀) до прямой Ax + By + C = 0 (т.е. длина перпендикуляра, опущенного из точки Р(x₀; y₀) на прямую): .

3. Косинус острого угла a между прямыми A₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0 на плоскости (угол между векторами N₁ = {A₁; B₁} и N₂ = {A₂; B₂}): .

4. Уравнения плоскости:

• общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, С, D –числа, A² + B² + С² ¹ 0; нормальный вектор плоскости N = {A; B; С}  плоскости;

• уравнение плоскости, проходящей через точку М(x₀; y₀; z₀) перпендикулярно вектору N = {A; B; С}: A(x – х₀) + B(y – y₀) + С(z – z₀) = 0;

• уравнение плоскости в отрезках – уравнение плоскости, не проходящей через начало координат: , гдеа – абсцисса точки пересечения плоскости с координатной осью х, b – ордината точки пересечения плоскости с координатной осью y, с – аппликата точки пересечения плоскости с координатной осью z;

• уравнение плоскости, проходящей через три точки М₁(x₁; y₁; z₁), М₂(x₂; y₂; z₂) и М₃(x₃; y₃; z₃), не лежащих на одной прямой: = 0;

• нормальное уравнение плоскости: x×cos a + y×cos b + z×cos g – p = 0, где cos a, cos b, cos g – направляющие косинусы нормального вектора плоскости N = {A; B; С}, исходящего из начала координат, т.е. косинусы углов между указанным вектором N и положительными направлениями координатных осей x, y, z соответственно; чтобы найти нормальное уравнение плоскости, заданной общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, достаточно разделить данное уравнение на , причем верхний знак берется, когдаD > 0, а нижний – когда D < 0; если же D = 0, то выбор знака не имеет значения.

Уравнение плоскости Q	Ориентация плоскости Q в пространстве
Ax + By + Cz = 0	плоскость Q проходит через начало координат
By + Cz + D = 0	плоскость Q параллельна координатной оси х
Ax + Cz + D = 0	плоскость Q параллельна координатной оси y
Ax + By + D = 0	плоскость Q параллельна координатной оси z
x = a	плоскость Q  оси х (т.е. параллельна координатной плоскости yz) и пересекает ось x в точке x = a
y = b	плоскость Q  оси у (т.е. параллельна координатной плоскости xz) и пересекает ось y в точке y = b
z = с	плоскость Q  оси z (т.е. параллельна координатной плоскости xy) и пересекает ось z в точке z = с
x = 0	плоскость Q – координатная плоскость yz
y = 0	плоскость Q – координатная плоскость xz
z = 0	плоскость Q – координатная плоскость xy

5. Расстояние от точки Р(x₀; y₀; z₀) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0: .

6. Косинус острого угла j между плоскостями A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0:

,

где N₁ = {A₁; B₁; С₁} и N₂ = {A₂; B₂; С₂} – нормальные векторы 1-й и 2-й плоскости, соответственно.