Справочный материал

к 7-й лабораторной работе

1. Функция (числовая функция) у = у(х) – зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению х  соответствует единственное значение у; независимая переменная х называется аргументом функции.

2. Числовая последовательность – функция, областью определения которой является множество натуральных чисел; числовая последовательность обозначается как {u_n}, n  _.

3. Монотонная числовая последовательность – возрастающая последовательность (т.е. последовательность {u_n}, в которой u_n  u_{n +1} для всех п) или убывающая последовательность (т.е. последовательность {u_n}, в которой u_n  u_{n +1} для всех п).

4. Ограниченная числовая последовательность – последовательность {u_n}, для которой существует такое число С  _{, что |un|  C для всех n.}

5. Предел числовой последовательности {u_n} – _{такое конечное число А, что с ростом п величина |un – A| сколь угодно близко приближается к нулю, т.е. для любого сколь угодно маленького числа ε > 0, начиная с некоторого номера N (т.е. при n  N) будет выполняться неравенство |un – A| < ε; обозначение предела числовой последовательности:}

6. Теорема Вейерштрасса: если, начиная с некоторого номера _{N, последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.}

7. _{Сходящейся числовая последовательность – последовательность} {u_n}_{, имеющая конечный предел; неограниченно возрастающая монотонная последовательность (обозначение: ), неограниченно убывающая монотонная последовательность (обозначение: ) и последовательность, для которой предела не существует, называется расходящейся.}

8. Бесконечно большие последовательности – последовательности {u_n}, для которых _{или ; обозначение бесконечно больших последовательностей: .}

9. Бесконечно малые последовательности – последовательности {u_n}, для которых _.

10. Предел функции у = у(х) в точке х = х₀ – такое конечное число А, что для любой бесконечной последовательности точек {x_n} на оси х, сходящейся к точке х = х₀, т.е. когда _{= х0, соответствующая последовательность {}y_n = y(х_n)} сходится к точке y = А, т.е. когда = А; обозначение предела функции у = у(х) в точке х = х₀: _{= А.} Число А называется пределом функции y = y(x) при х  + ∞, если с ростом х значение функции подходит как угодно близко к А: _{= А; если же при} х  – ∞, значение функции y = y(x) стремится к числу В, то _{= В;} если А = В, то обозначение предела функции: _{= = А.}

11. Бесконечно большая – функция y= y(х), для которой =∞, где х₀ – конечное число или ∞ (т.е. один из символов + ∞, или – ∞).

12. Бесконечно малая в окрестности точки х = х₀ – функция y= y(х), для которой = 0, где х₀ – конечное число; бесконечно малая на бесконечности – функция y= y(х), для которой = 0,где  один из символов + ∞, или – ∞.

13. Бесконечно малые одного порядка в окрестности точки х₀ – бесконечно малые у₁(х) и у₂(х), предел отношения которых в точке х = х₀ равен конечному числу А ≠ 0; если = 0, тоу₁(х) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем у₂(х), что обозначается как: у₁(х) = ο(у₂(х)).

14. Эквивалентные бесконечно малые в окрестности точки х = х₀ – бесконечно малые у₁(х) и у₂(х), предел отношения которых в точке х = х₀ равен 1 (обозначение эквивалентных малых: у₁(х) ~ у₂(х)). Примеры эквивалентных малых в окрестности точки х = 0: sin α(х) ~ tg α(х) ~ arcsin α(х) ~ arctg α(х) ~ e^α(х) – 1 ~ α(х); a ^α(х) – 1 ~ α(х)·ln a; ln(1 ± α(х)) ~ ± α(х); log_a(1 ± α(х)) ~; (1 ± α(х))^a – 1 ~ ± a·α(х); 1 – cos α(х) ~ .

15. Таблица некоторых пределов функций:

№№ п/п	Пределы	Примечания
1.	= = 1	1-й замечательный предел
2.	= (1∞) = е;= (1∞) = е	2-й замечательный предел, е  2,7183
3.	= (1∞) = ;= (1∞) =
4.	== 1; ==	0 < a < + , a ≠ 1
5.	== 1;==ln a	0 < a < + , a ≠ 1
6.	==a	a ≠ 0
7.	= (∞0) = 1	– ∞ < a < + ∞
8.	= 1, в частности, =1	– ∞ < a < + ∞; неопределенность типа ∞0 при 0 < a < +  и типа 00 при –  < а < 0
9.	= 1	0 < a < 1; неопределенности нет: 10 = 1
10.	= 1	0 < a < + ; неопределенности нет: С0 = 1
11.	= 0; = +∞	0 < a < 1
12.	= +∞; = 0	1 < a < + 
13.	= + ∞	0 < a < + 
14.	= 0	–  < а < 0
15.	= – ∞	0 < a < 1
16.	= + ∞	1 < a < + 

16. Методы вычисления предела функции _:

• заменить аргумент функции х его предельным значением х₀, используя свойства непрерывных функций: ₌ у(х₀)_{, где} х₀ внутренняя или граничная точка области определения непрерывной функции у = у(х): если в результате получено конечное число А или бесконечное значение предела (+ ∞ или – ∞), то предел найден;

• если у(х₀) представляет неопределенность, то использовать методы ее раскрытия:

– для раскрытия неопределенностей вида и (при этомможно свести к, т.к. отношение бесконечно больших β₁/β₂ в силу β₁ = 1/α₁ и β₂ = 1/α₂, где α₁ и α₂ – бесконечно малые, можно заменить отношением α₂/ α₁ = β₁/β₂):

а) использовать пределы в приведенной таблице непосредственно или после выполнения определенных тождественных преобразований и замены переменной с целью выделения бесконечно малой; в частности, для некоторых выражений, содержащих тригонометрические функции, указанные операции могут привести к 1-му замечательному пределу;

б) если в числителе и (или) в знаменателе функции у(х) многочлены, то: при х  0 оставить в каждом многочлене член с переменной х в минимальной степени; при х  ∞ оставить в каждом многочлене член с переменной х в максимальной степени; при х  х₀ выделить в каждом многочлене множитель (х – х₀), представляющий бесконечно малую величину;

в) в числителе и знаменателе функции использовать эквивалентные бесконечно малые;

г) если бесконечно малой является разность, содержащая корни, то следует эту разность умножить и разделить на такое выражение, которое с учетом формул сокращенного умножения позволит вывести бесконечную малую из иррациональности;

• для раскрытия неопределенностей вида (0·∞) и (∞ – ∞) можно, если удастся, непосредственно выполнить операции умножения и вычитания, или сначала преобразовать неопределенности к виду или, а затем использовать приемыа) – г);

• для раскрытия неопределенности вида (1^∞) нужно использовать 2-й замечательный предел (см. таблицу пределов) или формулу, получаемую как следствие этого предела: у(х) = u(x)^β(x) = (1^∞) = exp[_{(β(x)·(u(x) – 1))}];

• для раскрытия неопределенности вида (0⁰) и (∞⁰) рекомендуется предварительно вычислить предел натурального логарифма функции _ln у(х) = A, а затем воспользоваться равенством у(х) = e ^{ln y(x)} = = е ^А.

Примечание: при вычислении пределов числовых последовательностей можно воспользоваться равенством: _{, если заменить п на непрерывную переменную х, а функцию un = u(n) на у(х).}

17. _{Свойства пределов:}

1. предел постоянной у(х) = С равен этой постоянной: = С.

2. = ± [для непрерывных в точке х₀ функций = у(х₀) + и(х₀)];

3. _{= · [}для непрерывных в точке х₀ функций =у(х₀) · и(х₀)]_;

4. ₌ [для непрерывной в точке х₀ функции =C·у(х₀)]_;

5. ₌ [для непрерывных в точке х₀ функций = у(х₀)/и(х₀)_{, если} и(х₀) _{≠ 0}]_;

6. _{= ()}^m [для непрерывной в точке х₀ функции =у^m(х₀)]_;

7. ₌ [для непрерывных в точкех₀ функций =у(х₀)^u(x0)].

18. Односторонние пределы: предел функции у = у(х), получаемый для любой сходящейся к х₀ последовательности _{{xn} при условии, что все xn <} x₀, называется пределом слева (обозначение предела слева точки х₀: = у(х₀ – 0) = А); предел функции у = у(х), получаемый для любой сходящейся к х₀ последовательности {x_n} при условии, что все x_n > x₀, называется пределом справа (обозначение предела справа точки х₀: = у(х₀ + 0) = В).

19. Условие непрерывности функции у = у(х) в точке х = х₀: у(х₀ – 0) = у(х₀ + 0) = у(х₀).

20. Точка разрыва 1-го рода – точка х₀, в которой правый и левый пределы функции y = y(х) конечны, но не равны друг другу, или, в случае их равенства, сама функция y = y(х) не определена в точке х₀ или ее значение в этой точке у(х₀)  у(х₀ – 0) = у(х₀ + 0).

21. Точка разрыва 2-го рода – точка х₀, в которой хотя бы один из односторонних пределов функции y = y(х) равен бесконечности (+  или – ) или не существует.