Примеры выполнения заданий лабораторной работы

1^. При каких значениях  и  коллинеарны векторы: а) p = {3; – 1; 2} и q = {6; ; 1}; б) m = {; 3; – 4} и n = {0; – 1; }? Определить, являются ли найденные коллинеарные векторы p и q и соответственно векторы m и n сонаправленными.

Решение.

а) Условием коллинеарности векторов p = {3; – 1; 2} и q = {6; ; 1} является p_x/q_x = p_y/q_y = p_z/q_z, т.е. должно выполняться 3/6 = – 1/ = 2/1. Следовательно, имеем: 3/6 = 2; – 1/ = 2. Решением этих уравнений является: =4; =– 0,5. При этом получаем: p = {12; – 1; 2}; q = {6; – 0,5; 1}. Поскольку отношения p_x/q_x = p_y/q_y = p_z/q_z принимают значения 12/6 = – 1/(– 0,5) = 2/1 и положительны (равны 2), то коллинеарные векторы p = {12; – 1; 2} и q = {6; – 0,5; 1} сонаправлены.

б) Поскольку среди координат 2-го вектора, т.е. вектора n, имеется 0, то условием коллинеарности векторов m = {; 3; – 4} и n = {0; – 1; } является m_xn_y = n_xm_yи m_yn_z = n_ym_z, т.е. должно выполняться 3(– 1) = 03 и 3 = (– 1)(– 4). Следовательно, имеем: – 3 = 0; 3 = 4. Решением этих уравнений является: =0; =4/3. При этом получаем: m = {0; 3; – 4}; n = {0; – 1; 4/3}. Составляем отношения соответствующих координат векторов m = {0; 3; – 4} и n = {0; – 1; 4/3}, исключая отношение нулей: m_y/n_y = m_z/n_z. Поскольку эти отношения принимают значения , т.е. отрицательны (равны –3), то коллинеарные векторыm = {0; 3; – 4} и n = {0; – 1; 4/3} противоположно направлены, т.е. не являются сонаправленными.

Ответ: а) =4; =–0,5; векторы p = {12; – 1; 2} и q = {6; – 0,5; 1} сонаправлены;

б) =0; =4/3; векторы m ={0; 3; – 4} и n ={0; – 1; 4/3} несонаправлены.

2^. Определить, при каком значении  векторы a = {4; 1; } и b = 2i – j + 2k: а) имеют равные модулю; б) перпендикулярны друг другу.

Решение.

а) Дано: a = {4; 1; }; b = 2i – j + 2k = {2; – 1; 2}. Находим модули этих векторов: |a| = ; |b| = . Из условия |a| = |b| получаем: 16+1 +² = 4² + 1 + 4, откуда 3² = 12, или ² = 4, т.е.  =  2. Т.о., получаем 4 комбинации векторов a = {4; 1; } и b = 2i – j + 2k, модули которых равны:

1) a = {4; 1; 2}, b = {4; – 1; 2}; 2) a = {4; 1; – 2}, b = {4; – 1; 2}; 3) a = {4; 1; – 2}, b = {– 4; – 1; 2}; 4); 4) a = {4; 1; 2}, b = {– 4; – 1; 2}.

б) Условием перпендикулярности векторов a = {4; 1; } и b = 2i – j + 2k = {2; – 1; 2} является равенство 0 их скалярного произведения. Находим аb = a_x∙b_x + a_y∙b_y+ a_z∙b_z = 42 + 1(– 1) + 2 = 8 – 1 + 2 = 10 – 1.

Из условия аb = 0 получаем 10 – 1 = 0, откуда  = 0,1. Т.о., векторы a = {4; 1; 0,1} и b = {0,2; – 1; 2} являются взаимно перпендикулярными.

Ответ: а)  =  2; б)  = 0,1.

3^. Даны векторы: a = 5i – 2j + k и b = i + 4j – 2k. Найти: а) модуль вектора 2a – 3b; б) скалярное произведение (a + b)(2a – b); в) cos.

Решение.

Записываем координаты заданных векторов: a = {5; – 2; 1}; b = {1; 4; – 2}.

а) Чтобы найти |2a – 3b|, сначала определяем координаты вектора 2a – 3b.

2a – 3b = {25 – 31; 2(– 2) – 34; 21 – 3(– 2)} = {7; – 16; 8}.

Следовательно, |2a – 3b| = ===3.

б) Чтобы найти (a + b)(2a – b) определяем координаты перемножаемых векторов:

a + b = {5 + 1; – 2 + 4; 1 – 2} = {6; 2; – 1};

2a – b = {25 – 1; 2(– 2) – 4; 21 – (– 2)} = {9; – 8; 4}.

Следовательно, скалярное произведение (a + b)(2a – b) = 69 + 2(– 8) + (– 1)4 = 54 – 16 – 4 = 34.

в) Из определения скалярного произведения следует, что косинус угла между векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их модулей, т.е. cos=.