ALGEBRA

Определитель матрицы третьего порядка.

При n = 3 формула (4.7) имеет вид:

a1 a1 a1

1 2 3

−a31a22a13 − a21a12a33 − a32a23a11

Схемы для запоминания алгоритма составления слагаемых определителя матрицы третьего порядка см. на рис. 51, 52.

Геометрическая интерпретация

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

T

Тренажёр первого уровня выполнен в виде дополнительной клавиатуры. Частью дополнительной клавиатуры являются также кнопки

"умножить", "плюс" и "минус". Задача студента – ввести правильную последовательность кнопок, соответствующую вычислению

по формуле (4.8). Тренажёр сделан с учётом ассоциативности операции умножения элементов определителя матрицы.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

T

Тренажёр второго уровня наглядно поясняет вычисления определителя матрицы третьего

порядка по формуле (4.8). Вычисления производит компьютер, а обучаемый руководит

процессом вычислений. Действия обучаемого контролируются компьютером.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

T

На тренажёре третьего уровня студент уже

сам должен производить вычисления. При этом ему предоставляется минимальная по-

мощь, а процесс вычислений контролируется.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 41. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы, то есть det(A) = det(AT ).

Доказательство содержится в самом определении детерминанта в словах “из каждой строки и каждого столбца”, что равносильно ”из каждого столбца и каждой строки”.

Вывод. Согласно теореме 41, все остальные свойства определителя относительно строк можно распространить на столбцы, и наоборот.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 42. (перестановка строк). При перестановке двух строк матрицы абсолютное значение определителя матрицы не меняется, а знак определителя изменится.

Геометрическая интерпретация

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Идею доказательства посмотрим на определителе матрицы A пятого порядка.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Запишем любое слагаемое det A в форме (4.6):

(−1)s · (−1)t · a4 · b2 · c1 · d3 · e5,

где s = N(1, 2, 3, 4, 5) = 0 и t = N(4, 2, 1, 3, 5)

(элементы det A вошедшие в слагаемое det A выделены на рис. 31 синим цветом). Поменяем местами вторую и пятую строки матрицы A, полученную матрицу обозначим через B (см. рис. 32).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Составим слагаемое det(B) c выделенными синим цветом элементами, причём элементы расположим в том же порядке следования:

(−1)µ · (−1)ν · a4 · b2 · c1 · d3 · e5,

(1, 2, 3, 4, 5) – чётная, следовательно, в силу теоремы 39, перестановка (1, 5, 3, 4, 2) нечётная и (−1)µ = −1. Итак, выделенные слага-

емые определителей det(A) и det(B) отличаются только знаком.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Рассмотрим общий случай матрицы A порядка n. Поменяем местами в матрице A строки k и m, k < m. Полученную матрицу обозначим через B. Запишем любое слагаемое det(A) в форме (4.6):

где

s = N(1, 2, . . . , k − 1, k, k + 1, . . . , m − 1, m, m + 1, . . . , n) = 0, t = N(β1, β2, . . . , βk−1, βk, βk+1, . . . , βm−1, βm, βm+1 . . . βn).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit