ALGEBRA

Составим, далее, слагаемое det B, состоящее из тех же элементов, которые следуют в том же порядке, как в (4.9):

где

µ = N(1, 2, . . . , k − 1, m, k + 1, . . . , m − 1, k, m + 1, . . . , n),

ν = N(β1, β2, . . . , βk−1, βk, βk+1, . . . , βm−1, βm, βm+1 . . . βn) = t.

Так как (−1)µ = − 1, то слагаемое (4.9) det(A) и слагаемое (4.10) det(B) отличаются только знаком. Теорема доказана.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 43. Пусть A Mnn(R) и матрица B получена из матрицы A перестановкой двух строк. Тогда для любого слагаемого det(A) существует слагаемое det(B) отличающиеся от слагаемого det(A) только знаком.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Пусть в матрице A поменяли местами k-ю и m-ю строки, k < m. Полученную матрицу обозначим через B.

Запишем любое слагаемое det(A) в форме (4.6):

где

s = N(1, 2, . . . , k − 1, k, k + 1, . . . , m − 1, m, m + 1, . . . , n) = 0, t = N(β1, β2, . . . , βk−1, βk, βk+1, . . . , βm−1, βm, βm+1 . . . βn).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Составим, далее, слагаемое det B, состоящее из тех же элементов, которые следуют в том же порядке, как в (4.11):

det(A) и слагаемое (4.12) det(B) отличаются только знаком.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 44. Пусть A Mnn(R) и матрица B получена из матрицы A перестановкой двух столбцов. Тогда для любого слагаемого det(A) существует слагаемое det(B) отличающиеся от слагаемого det(A) только знаком.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Пусть в матрице A поменяли местами k-й и m-й столбец, k < m. Полученную матрицу обозначим через B.

Запишем любое слагаемое det(A) в форме (4.7):

где

t = N(1, 2, . . . , k − 1, k, k + 1, . . . , m − 1, m, m + 1, . . . , n) = 0,

s = N(α1, α2, . . . , αk−1, αk, αk+1, . . . , αm−1, αm, αm+1 . . . αn).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Составим, далее, слагаемое det B, состоящее из тех же элементов, которые следуют в том же порядке, как в (4.13):

(−1)µ · (−1)νaα1 1aα2 2 · · · aαk−k−11aαmkaαk+1k+1 · · ·

· · · aαmm−−11aαkmaαmm+1+1 · · · aαnn,

(4.14)

где

ν = N(1, 2, . . . , k − 1, m, k + 1, . . . , m − 1, k, m + 1, . . . , n),

µ = N(α1, α2, . . . , αk−1, αk, αk+1, . . . , αm−1, αm, αm+1 . . . αn) = s.

Так как (−1)ν = − 1, то слагаемое (4.13) det(A) и слагаемое (4.14) det(B) отличаются только знаком.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 45. (одинаковые столбцы). Eсли матрица имеет два одинаковых столбца, то определитель матрицы равен нулю.

Геометрическая интерпретация

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. При перестановке двух одинаковых столбцов, с одной стороны, матрица, а, следовательно, и определитель матрицы, не изменятся. С другой же стороны, по теореме 42, определитель матрицы меняет знак, т.е. det(A) = − det(A), и потому det(A) = 0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 46. Пусть все элементы, какого - либо столбца матрицы A M1n(Rn) представляют собой сумму двух слагаемых и

пусть соответственные столбцы матриц A1 M1n(Rn) и A2 M1n(Rn) состоят из этих слагаемых:

A = (a¯1, a¯2, . . . , a¯k−1, a¯k + α¯k, a¯k+1, . . . , a¯n), A1 = (a¯1, a¯2, . . . , a¯k−1, a¯k, a¯k+1, . . . , a¯n), A2 = (a¯1, a¯2, . . . , a¯k−1, α¯k, a¯k+1, . . . , a¯n).

Тогда det(A) = det(A1) + det(A2).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit