ALGEBRA

2. Пусть k / {β1, β2, ..., βr} . Рассмотрим матрицы:

Покажем, что все определители матриц Ds, s = 1, 2, . . . , m, равны нулю.

Eсли s {α1, α2, . . . , αr} , то, в силу теоремы the:39, det(Ds) = 0, как определитель

матрицы, имеющей две одинаковые строки.

Eсли же s / {α1, α2, . . . , αr} , то det(Ds) = 0,

как минор (r + 1)-го порядка матрицы A

(rangA = r).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Покажем, что определители матриц Ds, s = 1, 2, . . . , m, равны нулю.

Eсли s {α1, α2, . . . , αr} , то, в силу теоремы 45, det(Ds) = 0, как определитель матри-

цы, имеющей две одинаковые строки. Eсли же s / {α1, α2, . . . , αr} , то

det(Ds) = 0,

как минор (r + 1)-го порядка матрицы A

(rangA = r).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Покажем, что определители матриц Ds, s = 1, 2, . . . , m, равны нулю.

Eсли s {α1, α2, . . . , αr} , то, в силу теоремы 45, det(Ds) = 0, как определитель

матрицы, имеющей две одинаковые строки.

Eсли же s / {α1, α2, . . . , αr} , то det(Ds) = 0,

как минор (r + 1)-го порядка матрицы A

(rangA = r).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Разложим det (Ds) по элементам последней строки:

det (Ds) =

= asβ1Asβ1 + asβ2Asβ2 + · · · + asβrAsβr + askAsk = 0,

где Ask = (−1)r+1+r+1Mks = D 6= 0,

так как D - базисный минор.

Тогда

ask = λβ1asβ1 + · · · + λβrasβr, s = 1, 2, . . . , m, As

где λβj = − Dβj , j = 1, 2, . . . , r.

(4.22)

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Заметим, что

Asβj = (−1)r+1+jMβsj, s = 1, 2, . . . , m,

не зависят от s, т.к. при вычислении Mβsj вы-

черкивается (r+1)-я строка, состоящая из элементов s строки матрицы A и столбец с номером j ( числа λβj зависят от элементов k-го

столбца матрицы A, но мы зафиксировали k-й столбец).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Системе уравнений (4.22) соответствует одно уравнение в матричном виде, в котором k-й столбец равен линейной комбинации базисных столбцов

a¯k = λβ1a¯β1 + · · · + λβra¯βr.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 55. Eсли число столбцов матрицы больше ее ранга, то совокупность всех столбцов матрицы линейно зависима.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Пусть число столбцов матрицы больше ее ранга.

Тогда, один из не базисных столбцов равен линейной комбинации базисных столбцов (теорема 54 о базисном миноре).

По теореме 1, совокупность этих столбцов образует линейно зависимую подсистему столбцов. В силу теоремы 2, вся система столбцов линейно зависима.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 56. Определитель квадратной матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда её столбцы линейно зависимы.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit