15Момент инерции. Теорема Штейнера.

Моментом инерции тела (системы) относительно оси вращения Z называется физическая величина, равная сумме моментов инерции всех материальных точек системы, взятых относительно этой же оси, и определяемая суммой произведений масс всех материальных точек тела (системы) на квадраты их расстояний до данной оси:

Момент инерции твердого тела зависит от того, как распределена масса тела относительно интересующей нас оси, и является величиной аддитивной.

Главный момент инерции тела – это момент инерции относительно оси

вращения, проходящей через центр масс тела.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера:

(расчет момента инерции тела. Т.Штейнера)

Дискр.и непрер.рапсредел.масс.

1)тонкий стерж.φ,масса m равном.распред.

Момент инерц.аддитивен-равен сумме мом.частей тела.

2) тонк.круг.диск R, m относ оси через центр.

– пов.пл.мас.

Колц.слой – геом.место точка,нах.на кот.площ.dS имеют один и тот же момент инерц.относ.оси y.

Т.Штейнера: о-центр масс; r-расст.

16 Кинетическая энергия вращающегося твердого тела (ось вращения неподвижна).

Кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек на которые это тело можно разбить:

Если тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью , то линейная скорость i-ой точки равна , где , - расстояние от этой точки до оси вращения. Следовательно.

где - момент инерции тела относительно оси вращения.

В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы двух движений - поступательного со скоростью, равной скорости центра инерции тела, и вращения с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через центр инерции. При этом выражение для кинетической энергии тела преобразуется к виду

где - момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр инерции.

17Работа, совершаемая при вращении твердого тела.

Н

айдем работу, совершаемую внешней силой привращении твердого тела. Рассмотрим частный случай, когда сила направлена по касательной к окружности, по которой движется точка приложения силы. В этом случае сила F и перемещение ds точки ее приложения коллинеарны. Элементарная ра­бота dА = F_sRds = F_sRdφ. В случае а на рис. 33.1 сила действует в направлении перемещения, поэтому F_s равна модулю силы F и dА = F_sRdφ. В случае б сила и перемещение направлены в противоположные сто­роны, поэтому F_s = -F и dА = -F_sRdφ. Как сле­дует из рисунка, оба выражения для работы можно представить одной формулой dA = M_zdφ

В общем случае, когда внешняя сила направлена произвольно, ее можно разложить на три составляю­щие. Составляющие F_|| и F_┴ перпенди­кулярны к перемещению ds и поэтому работы не со­вершают. Они также не вносят вклада в М_z.

Следовательно, и в этом случае работа определяется формулой dA = M_zdφ.

Поскольку направления оси z и вектора ω совпа­дают, формулу dA = M_zdφ можно представить в виде dA = M_ωdφ, где М_ω — проекция М на направление вектора ω.