pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

Глава IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

jЛекции 10-121

§12. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ

ВПРОСТРАНСТВЕ

12.1.Основные понятия

Поверхность и ее уравнение

~Поверхность в пространстве, как правило, можно рассматривать

как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса R с центром в точке 0 1 есть гео­ метрическое место всех точек пространства, находящихся от точки 0 1 на расстоянии R.

Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве позволя­

ет установить взаимно однозначное соответствие между точками про­

странства и тройками чисел х, у и z - их координатами. Свойство,

общее всем точкам поверхности, можно записать в виде уравнения, свя­

зывающего координаты всех точек поверхности.

~ Уравнением данноii. поверхности в прямоугольной системе

координат Oxyz называется такое уравнение F(x, у, z) = О с тремя

переменными х, у и z, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты то­

чек, не лежащих на этой поверхности. Переменные х, у и z в уравнении

поверхности называются текущими координатами точек поверх­

ности.

Уравнение поверхности позволяет изучение геометрических

свойств поверхности заменить исследованием его уравнения. Так, для того, чтобы узнать, лежит ли точка M 1 (x 1 ;y1 ;z1 ) на данной поверхно­

сти, достаточно подставить координаты точки М1 в уравнение поверх­

ности вместо переменных: если эти координаты удовлетворяют урав­

нению, то точка лежит на поверхности, если не удовлетворяют - не

лежит.

Уравнение сферы

Найдем уравнение сферы радиуса R с центром в точке 0 1(х0; Уо; z0 ). Согласно определению сферы расстояние любой ее точки М(х; у; z) от

центраО1(ХоiУо;zо) равно радиусу R,т. е. О1М = R. НоО1М = I01MI,

где 01М = (х - хо; у - уо; z - zo)- Следовательно,

J(x - хо)2 +(у - уо)2 + (z - zo)2 = R

90

Это и есть искомое уравнение сферы. Ему удовлетворяют координаты любой ее точки и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на данной сфере.

Если центр сферы 0 1 совпадает с началом координат, то уравнение

сферы принимает вид х2 + у2 + z2 = R2 •

Если же дано уравнение вида F(x; у; z) =О, то оно, вообще говоря,

определяет в пространстве некоторую поверхность.

Выражение «вообще говоря» означает, что в отдельных случаях уравнение F(x; у; z) =О может определять не поверхность, а точку, ли­

нию или вовсе не определять никакой геометрический образ. Говорят,

«поверхность вырождается».

Так, уравнению 2х2 + у2 + z 2 + 1 =О не удовлетворяют никакие действительные значениях, у, z. Уравнению О· х2 +у2 + z2 =О удовле­

творяют лишь координаты точек, лежащих на оси Ох (из уравнения следует: у= О, z =О, ах - любое число).

Итак, поверхность в пространстве можно задать геометрически и

ана.питически. Отсюда вытекает постановка двух основных задач:

1.Дана поверхность как геометрическое место точек. Найти урав­

нение этой поверхности.

2.Дано уравнение F(x; у; z) =О. Исследовать форму поверхности,

определяемой этим уравнением.

Уравнении линии в пространстве

Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересе­

чения двух поверхностей (см. рис. 66) или как геометрическое место

точек, общих двум поверхностям.

Если F1 (x;y;z) =О и F2 (x;y;z) =О - уравнения двух поверхно­

стей, определяющих линию L, то координаты точек этой линии удо­

влетворяют системе двух уравнений с тремя неизвестными:

F1 (х; у; z) =О,

(12.1)

{F2(x;y;z) =О.

~Уравнения системы (12.1) называются уравнениями линии в

пространстве. Например, {уz=O= о, есть уравнения оси Ох.

Линию в пространстRе можно рассматривать как траекторию дви­

жения точки (см. рис. 67). В этом случае ее задают векторньtм урав-

ненuем

91

z

или nараметри'Ческими уравнениями

{х = x(t),

у = y(t), z = z(t)

проекций вектора (12.2) на оси координат.

Например, параметрические уравнения вuнтовоt~ лuнuu имеют

вид

{х = Rc~st,

у= Rsшt,

z = 2~t.

Если точка М равномерно движется по образующей кругового ци­ линдра, а сам цилиндр равномерно вращается вокруг оси, то точка М

описывает винтовую линию (см. рис. 68).

12.2. Уравнения плоскости в пространстве

Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в про­

странстве Oxyz можно задать разными способами. Каждому из них

соответствует определенный вид ее уравнения.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку

перпенАИкулярно Аанному вектору

Пусть в пространстве Oxyz плоскость Q задана точкой

М0(хо; уо; zo) и вектором n = (А; В; С), перпендикулярным этой плос­

кости (см. рис. 69). Выведем уравнение плоскости Q. Возьмем на ней

произвольную точку М(х; у; z) и составим вектор

МоМ = (х - xo;y-yo;z - zo).

92

z

h

у

х

При любом расположении точки М на плоскости Q векторы n и

М0М взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение

равно нулю: n ·МоМ = О, т. е.

Координаты любой точки плоскости Q удовлетворяют уравнению (12.3), координаты точек, не лежащих на плоскости Q, этому уравне­

нию не удовлетворяют (для них n · М0М =/.О).

~Уравнение (12.3) называется уравнением плоскости, npoxo-

ilящei& через данную точку Мо(хо; Уо; zo) nepneнiluкy.tt.Яpнo вектору n = (А; В; С). Оно первой степени относительно текущих координат х, у и z. Вектор n = (А; В; С) называется нормальным

вектором nлоскосmи.

Придавая коэффициентам А, В и С уравнения (12.3) различные

значения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей

через точку М0. Совокупность плоскостей, проходящих через данную

точку, называется св.язкоil n.лocкocmeil, а уравнение (12.3) - уравнени­

ем связки плоскостей.

Общее уравнение плоскости

Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными

х, у и z:

93

Полагая, что по крайней мере один из коэффициентов А, В или С не

равен нулю, например В =j:. О, перепишем уравнение (12.4) в виде

Сравнивая уравнение (12.5) с уравнением (12.3), видим, что урав­ нения (12.4) и (12.5) являются уравнением плоскости с нормальным

вектором n = (А; В;С), проходящей через точку М1(О; - ~;О).

~Итак, уравнение (12.4) определяет в системе координат Oxyz не­

которую плоскость. Уравнение (12.4) называется общим уравне­

нием n.11.ocкocmu.

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1. Если D = О, то оно принимает вид Ах+ Ву+ Cz = О. Этому

уравнению удовлетворяет точка 0(0; О; О). Следовательно, в этом слу­

чае плоскость проходит -ч,ерез ?tа'Чало координат.

2. Если С = О, то имеем уравнение Ах + Ву + D = О. Нормальный вектор n = (А; В; О) перпендикулярен оси Oz. Следовательно, плос­

кость параллельна оси Oz; если В= О - параллельна оси Оу, А= О -

параллельна оси Ох.

3. Если С = D = О, то плоскость проходит через 0(0; О; О) парал­

лельно оси Oz, т. е. плоскость Ах+ Ву = О проходит -ч,ерез ось Oz. Аналогично, уравнениям Ву + Cz = О и Ах + Сz = О отвечают плоско­ сти, проходящие соответственно через оси Ох и Оу.

4. Если А = В =О, то уравнение (12.4) принимает вид Cz +D = О,

т. е. z = -§. Плоскость параллельна плоскости Оху. Аналогично,

уравнениям Ах + D = О и Ву + D = О отвечают плоскости, соответ­

ственно параллельные плоскостям Oyz и Oxz.

5. Если А= В= D =О, то уравнение (12.4) примет вид Cz =О, т. е. z =О. Это уравнение плоскости Оху. Аналогично: у= О - уравнение плоскости Oxz; х =О - уравнение плоскости Oyz.

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют

единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости Q, проходящей

через три данные точки М1 (х1; у1; z1), М2(х2; Y2i z2) и Мз(хз; Узi zз), не

лежащие на одной прямой.

Возьмем на плоскости произвольную точку М(х; у; z) и составим

векторы М1М = (х-х1;у-у1; z-z1), М1М2 = (х2 -х1;У2 -у1; z2 -z1),

М1 Мз = (хз - х1; Уз - У1; zз - z1). Эти векторы лежат на плоскости Q,

следовательно, они компланарны. Используем условие компланарно­

сти трех векторов (их смешанное произведение равно нулю), получаем

94

М1М · М1М2 · М1М3 =О, т. е.

Уравнение (12.6) есть уравнение плоскости, проход.яще-it -через mpu дан-

НЬt.е ffiO'ЧKU.

Уравнение плоскости в отрезках

Пусть плоскость отсекает на осях Ох, Оу и Оz соответственно

отрезки а, Ь и с, т. е. проходит через три точки А(а; О; О), В(О; Ь; О) и С(О; О; с) (см. рис. 70).

Подставляя координаты этих точек в уравнение (12.6), получаем

х -а у z

-а Ь О =О.

-а О с

Раскрыв определитель, имеем Ьсх - аЬс + abz +асу = О, т. е. Ьсх +асу+

z

с

в

у

Уравнение (12.7) называется уравнением n.л.оскости в отрез­

ках на осях. Им удобно пользоваться при построении плоскости.

Нормальное уравнение плоскости

Положение плоскости Q вполне определяется заданием единично­

го вектора ё, имеющего направление перпендикуляра ОК, опущенного

на плоскость из начала координат, и длиной р этого перпендикуляра

(см. рис. 71).

95

Пусть ОК = р, а о:, /3, "! - углы, образованные единичным век­

тором ё с осями Ох, Оу и Oz. Тогда ё = (coso:;cos/3;cos1). Возьмем на плоскости произвольную точку М(х; у; z) и соединим ее с началом координат. Образуем вектор f =ОМ= (x;y;z).

При любом положении точки М на плоскости Q проекция радиус-

Уравнение (12.8) называется нормальн:ым уравнением плоскости

в векторно11 форме. Зная координаты векторов f и ё, уравнение (12.8)

~Уравнение (12.9) называется нормальным уравнением nл.ос­

костu в кoopiJuнamнoit форме.

Отметим, что общее уравнение плоскости {12.4) можно привести к

нормальному уравнению (12.9) так, как это делалось для уравнения

прямой на плоскости. А именно: умножить обе части уравнения (12.4)

противоположным знаку свободного члена D общего уравнения плос­

кости.

12.3. Плоскость. Основные задачи

Угол междУ АВУМЯ плоскостями. Условия параn~ьности и перпенАикулярности АВУХ плоскостей

Пусть заданы две плоскости Q 1 и Q2:

А1х + В1у + C1z + D1 =О,

А2х + В2у + C2z + D2 = О.

~Под угл.ом ме;нсiJу nл.оскостямu Q1 и Q 2 понимается один из двугранных угЛ:ов, образованных этими плоскостями.

Угол 1Р между нормальными векторами n 1 = {А1; В1; С1) и n2 =

(А2; В2; С2) плоскостей Q1 и Q2 равен одному из этих углов (см.

рис. 72). Поэтому cos 1Р = I n1I. 12 I или

Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части.

Если плоскости Q1 и Q2 перпендикулярны (см. рис. 73, а), то та­ ковы же их нормали, т. е. n1 .l n2 (и наоборот). Но тогда n1 ·n2 = О,

96

Вывод этой формулы такой же, как вывод формулы расстояния от

точки Мо(хо;у0) до прямой Ах+ Ву+ С= О (см. с. 73).

Расстояние d от точки М0 до плоскости Q равно модулю проек­

ции вектора М1М0, где М1 (х1 ; у1; z1) - произвольная точка плоскости

IAxo+Byo+Czo-Ax1 -Ву1 -Cz1I

v'А2+в2+с2

А так как точка M1 (x1 ;y1 ;z1 ) принадлежит плоскости Q, то

Ax1+By1+Cz1+D=O, т.е. D=-Ax1-BY1-Cz1.

Поэтому d = IAxoJ+ Вуо + Czo + DI . Отметим, что если плоскость Q

А2 + в2 + с2

задана уравнением х cos а + у cos (З + z cos 'У - р = О, то расстояние от

4 Конспект лекций по высшей математике. Полный курс

97

точки Мо(хо; Yoi zo) до плоскости Q может быть найдено по формуле

d = Jxo cosa + Уо cos/3 + zo cos1 - pJ.

L

z

а

х х

Рис. 74 Рис. 75

12.4. Уравнения прямой в пространстве

Векторное уравнение прямой

~Положение прямой в пространстве вполне оп_ределено, если задать

какую-либо точку М0 на прямой и вектор S, параллельный этой

прямой. Вектор S называется наnравл.яющим вектором np.ямoii..

Пусть прямая L задана ее точкой М0(х0; у0; z0 ) и направляющим векто­

ром S = (т; п;р). Возьмем на прямой L произвольную точку М(х; у; z).

Вектор М0М, лежащий на прямой L, параллелен направляюще­

му вектору S, поэтому М0М = tS, где t - скалярный множитель,

называемый параметром, может принимать различные значения в за­

висимости от положения точки М на прямой (см. рис. 75).

~Полученное уравнение называется векпwрным уравнением np.ямoii..

Параметрические уравнения прямой

Замечая, что f = (x;y;z), fo = (xo;yo;zo), tS = (tm;tn;tp), уравне­

ние (12.11) можно записать в виде

xl + yJ + zk = (хо+ tm)l + (Уо + tn)J + (zo + tp)k.

98

99