pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

виде матрицы-столбца

С-(~~)..

Сп

§Система уравнений называется совмесmноit, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместноit, если она не имеет ни одного

решения.

Совместная система называется оnределенноil, если она имеет

единственное решение, и неопределен:ноil, если она имеет болеf' одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется 'Частнь~м

решением системы. Совокупность всех частных решений называется

общим решением.

Решить систему - это значит выяснить, <'Овместна она или не­ совместна. Если система совместна, найти f'f'общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если

они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, сисrемы

эквивалентны, если каждое решение одной из них является решf'нием

другой, и наоборот.

\il Эквивалентные системы получаются, в частности, при элемFнmар­

ных преобразованиях системы при условии, что преобразования

выполняются лишь над строками матрицы.

Система линейных уравнений называется oднopoiJнo'ii, если все сво­ бодные члены равны нулю:

~~~~~.+_~~~~~+_ ..• ~-~~~~~-~:·.

является решением системы. Это реше.ние называется нулевым или

тривиальным.

4.2.Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли

Пусть дана произвольная система т линейных уравнений с п не­

известными

а11Х1 + а12Х2 + ···+ a1nXn = Ь1,

а21Х1 + а22Х2 + · · · + = Ь2,

. a2nXn

.. . .. .. .. ... .. ........ .... .. ..... ..

{

am1X1 + ат2Х2 + ···+ amnXn = Ьm.

30

Исчерпывающий ответ на вопрос о совместности этой системы дает

теорема Кронекера-Капелли.

Теорема 4.1. Система линейных алгебраических уравнений совместна

тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы

Примем ее без доказательства.

Правила практичесжого разыскания всех решений совместно/;! си­

стемы линРйных уравнений вытекают из следующих тРорРм.

Теорема 4.2. Если ранг совместной системы равен числу неизвест­

ных, то система имеет единственное решение

Теорема 4.3. Если ранг совместной системы меньше числа неизвест­

ных, то система имеет бесчисленное множество решений

Правило решения произвольной системы линейных уравнений

1. Найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если r(A) -::j:. r(A), то система нРсовместна.

2. Если r(A) = r(A) = r, система совместна. Найти какой-либо ба­

зисный минор порядка r (напоминание: минор, порядок которого опре­ деляет ранг матрицы, называРтся базисным). Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (оста.пьные урав­ нения отбросить). Нf'известные, коэффициенты которых входят в ба­

зисный минор, называют главнъ~ми и оставляют слева, а остальные

п - 1· неизвестных называют свободными и переносят в правые части

уравнений.

3.Найти выражения главных неизвестных через свободные. Полу­

чено общее решение системы.

4.Придавая свободным неизвестным произвольные значения, по­ лучим соответствующие значения главных неизвестных. Таким обра­

зом можно найти частные решения исходной системы уравнений.

Пример 4.1. Исследовать на совместность систему

х+ у= 1,

{Зх +Зу= -2.

31

Q Решение:

А= (; ;) , r(A) = 1,

А=(~~ !2), r(A)=2. (л=/~ -~/~о).

Таким образом, r(A) ~ r(A), следовательно, система несовместна. 8

например, х1 =О, х2 =О, получаем одно из частных решений: х1 =О,

4.3.Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера

Пусть дана система п линейных уравнений с п неизвестными

{а11Х1 + а12Х2 + ···+ a1nXn = Ь1,

~~~~~.~.~~~~~-~-:::~.~~~~~-~.Ь.2_'

an1X1 + an2X2 + ···+ annXn = Ьn

или в матричной форме А · Х = В.

Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель

этой матрицы

д=

32

называется определителем системы. Если определитель системы от­ личен от нуля, то система называется невырожденноil,.

Найдем решение данной системы уравнений в случае д =/:- О.

Умножив обе части уравнения А· Х =В слева на матрицу А-1 ,

получим А-1 ·А· Х = А-1 ·В. Поскольку А-1 ·А= Е и Е · Х = Х, то

(4.1)

Отыскание решения системы по формуле (4.1) называют маrпри-ч­

ным способом решения системы.

Матричное равенство (4.1) запишем в 1:1иде

то ест~,

Но А11Ь1 + А21Ь2 + ···+ Ап1Ьп есть разложение опредt>лителя

по элементам первого столбца. Определитель д1 получается из опре­ делителя д путем замены первого столбца коэффициt>нтов столбцом

из свободных членов.

и = ~

так, х1 д.

Аналогично: х2 = ~, где д2 получен из д путем замены второго

столбца коэффициентов столбцом из свободных членов; хз = ~,...

-~·

... ,Хп- Д

2 Конспектлекций по высшеА математике. Полный курс

33

называются форму.л.амu Кра.мера.

Итак, невырожденная система п JJИнейных уравнений с п неиз­

вестными имеет единственное решение, которое может быть найдено

матричным способом (4.1) либо по формулам Крамера (4.2).

4.4. Решение систем линейных уравнений методом

Гаусса

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов реше­ ний линейных алгебраических систем является .метод Гаусса, состоя­

щий в последовательном исключении неизвестных.

Пусть дана система уравнений

а11х1 + ai2X2 + · · · + a1nXn = Ь1,

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На пер­

вом этапе (прямой ход) система приводится к, ступен"tаmо.му (в част­

ности, треуго.л:ьно.му) виду.

Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид

{а11х1 + ai2X2 + ···+ a1kXk + ···+ ainXn = Ь1,

az2X2 + · · · + a2kXk + · · · + a2nXn = Ь2,

...............................

akkXk + '''+ aknXn = bk,

где k ::;; п, aii =f. О, i = 1,k. Коэффициенты aii называются главными

элементами системы.

На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определе­

ние неизвестных из этой ступенчатой системы.

34

Опишем метод Гаусса подробнее.

Прямой ход.

Будем считать, что элемент а11 1- О (если а11 = О, то первым в

системе запишем уравнение, в котором коэффициент при х1 отличен

от нуля).

Преобразуем систему (4.3), исключив неизвестное х1 во всех урав­

нениях, кроме первого (используя элемРнтарные преобразования си­

стемы). Для этого умножим обе части пРрвого уравнения на - ~ и

а11

сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе

части первого уравнения на -~ и сложим с 1ретьим уравнением си­

а11

стемы. Продолжая этот процесс, получим 7квива..11ентную сис·1ему

ЗдРСЬ а~~)' Ь~1 ) (i,j = 2,rn) повые ·шачения коэффицие11·1011 и llJн-1.HhlX

частей, которые получаю1ся послР пРрвого шага.

Аналогичным образом, считая главным элементом а~~) 1- О, ис­

ключим неизвестное х2 из всех уравн<:>иий <·истемы, кроме 11ервого и второго, и так далее. Продолжаем этот процесс, пока это возможно.

Если в процессе приведения системы (4.3) к ступенчатому виду по­ явятся нулевые уравнения, т. е. равенства вида О = О, их отбрасывают. Если же появится уравнение вида О = Ь" а Ь, :f:. О, то это свидетель­

ствует о несовместности системы.

Второй этап (обратн:ый ход) заключается в решении ступенча­ той системы. Ступенчатая система уравнений, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений. В последнем уравнении "!той си­

стемы выражаем первое неизвестное Xk через остальные неизвестные

(xk+ 1, ... , Xn)· Затем подставляем значение Xk в предпоследнее урав­

нение системы и выражаем Xk-l через (хkн, ... , Xn); затем находим

Xk-2, .. . , Х1. Придавая свободным неизвестным (xk+t, ... , Xn) нроиз­

вольные значения, получим бесчисленное множество решений системы.

За.ме"tания: 1. Если ступенчатая система оказывается треуголь­ ной, т. е. k = n, то исходная система имеет единственное решение. Из

последнего уравнения находим Xn, из предпоследнего уравнения Xn- 1 ,

далее поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные

(xn-2, ... ,x1).

2. На практике удобнее работать не с системой (4.3), а с расши­

ренной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над

35

ее строками. Удобно, чтобы коэффициент а11 был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на а11 -:/:- 1).

Пример 4.4. Решить систему методом Гаусса:

Q Решение: В результате элементарных преобразований над расши­

ренной матрицей системы

исходная система свелась к ступенчатой:

Пример 4.5. Решить систему ме'J:одом Га;усса:

Х1 + Х2 + Х3 = 3,

2х1 + 3х2 + 2хз = 7,

{ Зх1 + х2 + хз = 5,

5х1 - Xz - Х3 = 3.

Q Решение: Произведем элементарные преобразования над строчками

расширенной матрицы системы:

36

Полученная матрица соответствует системе

4.5. Системы линейных однородных уравнений

Пусть дана система линейных однородных уравнений

{а11Х1 + а12Х2 + · · · + a1nXn =О,

~~~~~-~-~~~~~-~:::-~-~~~~~-~-~'

am1X1 +am2X2 + · · · +amnXn = Q.

Очевидно, что однородная система всегда совмЕ:>стна (r (А) = r (А)),

она имеет нулевое (тривиальное) решение х1 = Х2 = ···= Xn = О.

При каких условиях однородная система имеет и ненулевые реше­

ния?

Теорема 4.4. Для того, чтобы система однородных уравнений имела

ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основ­ ной матрицы был меньше числа п неизвестных, т. е. r < п.

Q Необходимость.

Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевид­

но, r ~ п. Пусть r = п. Тогда один из миноров размера n х n отличен

от нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет

= д = = -:/;

единственное решение: Xi ~ О, д~ О, д О. Значит, других, кро-

ме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение,

то r < n.

Достаточность.

Пусть r < n. Тогда однородная система, будучи совместной, явля­ ется неопределенной. Значит, она имеет бесчисленное множество реше­

Пусть дана однородная система п линейных уравнений с n неиз-

вестными

~.1~~1.~-~1·2·~~-~·······~.~~~-~~-~-~:

{

an1X1 + an2X2 + · · · + annXn =О.

37

Глава 11. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ

АЛГЕБРЫ

/ Лекции 4-6 1

§5. ВЕКТОРЫ

5.1. Основные понятия

Величины, которые полностью определяются своим численным

значением, называются ска.л.ярньtми. Примерами ска.пярных величин являются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса.

Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определя­

ются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие

величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.

~Вектор -- это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отре-

зок, имеющий определенную длину и определенное направление.

символом АВ или а. Вектор ВА (у него н·ачало в точке В, а конец в

точке А) называется nроmи.воnоли.нсн'ЫМ вектору АВ. Вектор, про­

тивопоJюжный вектору а, обозначается -а.

Д.линоtJ. или модулем вектора АВ называется длина отрезка и обо­

значается IABI. Вектор, длина которого равна нулю, называется ну.ле­

вьtм вектором и обозначается О. Нулевой вектор направления не имеет.

Вектор, длина которого равна единице, называется едини-чньtм век­ тором и обозначается через ё. Единичный вектор, направление которо­

го совпадает с направлением вектора а, называется ортом вектора а

и обозначается cfJ.

~Векторы а и Б называются коллинеарными., если они лежа! на

одной прямой или на параллельных прямых; записывают а 11 Ь.

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или

противоположно.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

~ Два вектора а и Б называются равн'ЫМи. (а= Ь), если они колли-

неарпы, одинаково направлены и имеют одинаковые ,л:лины.

Из определения равенства векторов следу-

39