pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

Равные векторы называют также свободн'ЫМи.

~Три вектора в пространстве называются компланарными, если

они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые колли­

неарны, то такие векторы компланарны.

5.2. Линейные операции над векторами

liJ Под линейными операциями над векторами понимают операции

сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на

число.

Пусть ii и Б - два произвольных вектора. Возьмем произволь­

ную точку О и построим вектор ОА = ii. От точки А отложим вектор

АБ = Ь. Вектор ОБ, соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммоii. векторов ii и Ь: ОБ= ii + Б (см. рис. 2).

/~~

о а+Ь в

Рис. 2

Это правило сложения векторов называют правилом треугольника. Сумму двух векторов можно построить также по правилу паралле­

лограмма (см. рис. 3).

/~

о ,,

,,,,'

Рис. 3

На рисунке 4 показано сложение трех векторов ii, Ь и ё.

ь

·1 ·~о

Рис. 4

40

Под разностью векторов а и Б понимается вектор ё = а - Б такой, что Б + ё =а (см. рис. 5).

Б~

оь

Рис. 5

Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах а и

Б, одна направленная диагональ является суммой векторов а и Б, а

другая - разностью (см. рис. 6).

Б

Рис. 6

Можно вычитать векторы по правилу:_ а - Б =а+ (-Ь), т. е. вычи­

тание векторов заменить сложением вектора а с вектором, противопо­

ложным вектору Б.

~Произведением вектора а на скаляр (число) Л называется

вектор Л ·а (или а· Л), который имеет длину IЛI ·liil, коллинеарен

вектору а, имеет направление вектора а, если Л > О и противоположное

направление, если Л <О. Например, если дан вектор _д_, то векторы

Из определения произведения вектора на число следуют свойства

этого произведения:

1)если Б = Л ·а, то Б 11 а. Наоборот, если Б 11 а, (а =f. О), то при некотором Л верно равенство Б = Ла;

2)всегда а = lal ·а°, т. е. каждый вектор равен произведению его

модуля на орт.

Линейные операции над векторами обладают следующими свой­

ствами:

Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных

операциях с вектором так, как это делается в обычной алгебре: ела-

41

гаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители.

5.3. Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве задана ось l, т. е. направленная прямая. Проекv,иеiJ. то'Чкu М на ось l называется основание М1 перпенди­

куляра ММ1 , опущенного из точки на ось.

Точка М1 есть точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей

через точку М перпендикулярно оси (см. рис. 7).

Если точка М лежит на оси l, то проекция точки М на ось совпа­ дает с М.

Пусть АВ - произвольный вектор (АВ -j. О). Обозначим через А1

иВ1 проекции на ось l соответственно начала А и конца В вектора АВ

ирассмотрим вектор AiB1.

Пpoeкv,ueiJ. вектора АВ на ось l называется положительное число IA1B1I, если вектор А1В1 и ось l одинаково направлены и отрицатель­

ное число -IA1 B11, если вектор А1В1 и ось l противоположно направле­

ны (см. рис. 8). Если точки А1 и В1 совпадают (А1В1 =О), то проекция

вектора АВ равна О.

Проекция вектора АВ на ось l обозначается так: пр1 АВ. Если

АВ =о или АВ l. l, то ПР1 АВ =о.

Угол <р между вектором а и осью l (или угол между двумя векто­

рами) изображен на рисунке 9. Очевидно, О~ <р ~ 7r •

•

Рис. 9

42

Рассмотрим некоторые основные свойства проекчий.

Свойство 1. Проекция вектора ii на ось l равна произведению мо­

дуля вектора а на косинус угла ip между вектором и осью, т. е. пр1 а=

= lal ·cos tp.

о Если 'Р = (~l) < ~· то ПР1 а

= +lii1I = ial ·cosip.

на), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю,

если этот угол - прямой.

Следствие 5.2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

Свойство 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту

же ось равна сумме их проекций на эту ось.

О Пусть, например, d = а+Б+ё. Имеем пр1 d = +ld1I = +la1l+lb1l-lё1I,

Свойство 3. При умножении вектора а на число Л его проекция на

ось также умножается на это число, т. е.

пр1(Л ·а)= л ·пр1 а.

Таким образом, линейные операции над векторами приводят к со­

ответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.

43

5.4.Разложение вектора по ортам кооРдинатных ocei,:i.

Модуль вектора. Направляющие косинусы

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат

Oxyz. Выделим на координатных осях Ох, Оу и Oz единичные век­

торы (орты), обозначаемые i, J, k соответственно (см. рис. 12).

z

Мз

х

Рис. 12

Выберем произвольный вектор а пространства и совместим его на­

чало с началом координат: а= ОМ.

Найдем проекции вектора а на координатные оси. Проведем через

конец вектора ОМ плоскости, параллельные координатным плоско­ стям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответ­

ственно через М1 , М2 и М3. Получим прямоугольный параллелепи­

пед, одной из диагоналей которого является вектор ОМ. Тогда прх а=

= IOM1I, пpyii = IOM2I, пpzii = IOMзl· По определению суммы не­

скольких векторов находим а = ОМ1 + М1 N + N М.

Обозначим проекции вектора а= ОМ на оси Ох, Оу и Oz соответствен­

но через ах, ау и az, т. е. IOM1I =ах, IOM2I =ау, IOMзl = az. Тогда из

Эта формула является основной в векторном исчислении и называ­

ется раэли.нсенuем вектора no ортам координатных oceiJ.

44

Числа ах, ау, az называются координаrпами вектора а, т. е. коор­

динаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные

оси.

Векторное равенство (5.3) часто записывают в символическом ви­

де: а= (ах; ау; Zz).

Зная проекции вектора а, можно легко найти выражение для моду­ ля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного

параллелепипеда можно написать IOMl2 = IOM112 + IOM212+ IOMзl2 ,

~т. е. модул:ь вектора равен квадратному корню из суммы

квадратов его nроекциii. на оси координат.

Пусть углы вектора а с осями Ох, Оу и Oz соответственно равны

а, /3, 'У· По свойству проекции вектора на ось, имеем

Числа cosa, cos{J, cos1 называются 'Наnрав.ляющими коси'Нусамu век­

тора а.

Подставим выражения (5.5) в равенство (5.4), получаем

lal2= lal2 · cos2а+ lal2·cos2/3 + lal2·cos2'У·

Сократив на lal2 f:. О, получим соотношение

1 cos2 а + cos2 fJ + cos2 'У = 1, 1

т. е. сумма квадратов наnрав.11.Яющих косинусов ненулево­

го вектора равна единице.

Легко заметить, что координатами единичного вектора е являются

числа cosa, соs(З, cos'Y, т. е. е = (cosa;cos,8;cos1).

Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его мо­

дуль и направление, т. е. сам вектор.

5.5. Действия над векторами, заданными проекциями

Пусть векторы а= (ах; ау; az) и Б = (Ьхi Ьу; Ьz) заданы своими про­

екциями на оси координат Ох, Оу, Oz или, что то же самое

а = ах · z+ ау · J+ az · k, Б = Ьх · l + Ьу · J+ Ьz · k.

45

Линейные операции наА векторами

Так как линейные операции над векторами сводятся к соответству­ ющим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можно

записать:

1. а± Ь = (ах ± Ьх)z + (ау ± Ьу)} + (az ± Ьz)k, или кратко а± Ь =

= (а" ±Ь"; ау ±Ьу; az ±Ьz). То есть при сло:жении (ви-ч,итании) векторов их одноименнuе координати складиваются (вы-ч,итаются).

2. Лii = Лах·z+Лау-}+Лаz·k или короче Ла = (Лах; Лау; Лаz)· То есть

при умно:жении вектора на скаляр координаты вектора умножаются

на этот скаляр.

Равенство векторов

Из определения вектора как направленного отрезка, который мож­ но передвигать в пространстве параллельно саиому себе, следует, что

два вектора а и Б равни тогда и только тогда, когда выполняются ра­

венства: ах = Ьх, ау = Ьу, az = Ьz, т. е.

Коллинеарность векторов

Выясним условия коллинеарности векторов а и Б, заданных своими

li! Таким образом, проекции коллинеарних векторов пропорциональ­

ни. Верно и обратное утверждение: векторы, имеющие пропорцио-

нальные координаты, коллинеарны.

КоорАинаты точки

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система ко­

ординат Охуz. Для любой точки М координаты вектора ОЛf называют­ ся координатами то-ч,ки М. Вектор ОМ называется радиус-вектором

точки М, обозначается f, т. е. ОМ = r. Следовательно, координаты

точки - это координаты ее радиус-вектора

f= (x;y;z) или f=x·z+y·J+z·k.

Координаты точки М записываются в виде M(x;y;z).

46

КооРдинаты вектора

Найдем координаты вектора а = АВ, если известны координаты

точек A(x1;Y1;z1) и B(x2;y2;z2). Имеем (см. рис. 13):

АВ = ОВ - ОА = (х2 · z+ У2 · J+ z2 · k) - (х1 ·z+ У1 ·J+ z1 ·k) =

= (х2 - x1)i + (у2 - У1)] + (z2 - z1)k.

Следовательно, координаты вектора равны разностям соответству­

ющих координат его конца и на-чала: АВ = (х2 - Х1; У2 - У1; z2 - z1).

А

в

§б. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

ИЕГО СВОЙСТВА

6.1.Определение скалярного произведения

~Скал.ярним произведением двух ненулевых векторов а и Б на­

зывается число, равное произведению длин этих векторов на ко­

синус угла между ними.

Обозначается аБ, а. Б (или (а, Ь)). Итак, по определению,

(6.1)

где <р = (а, Ь).

Формуле (6.1) можно придать иной вид. Так как lal cos <р = пр6 а,

(см. рис. 14), а lbl cos<p = праЬ, то получаем:

(6.2)

т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из

них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с пер­

вым вектором.

47

б.2. Свойства скалярного произведения

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством:

аБ =Ба.

Q аБ = lal ·lbl ·cos(a, Б), а Ба= 1.§.l·lal ·cos(b,a). И так как lal ·lbl = lbl ·lal,

2. Скалярное произведение обладает сочетательным свойством от­

носительно скалярного множителя: (Ла) ·Б = Л(аЬ).

3. Скалярное произведение обладает распределительным свойст­

вом: а(Б + ё) = аБ + аё.

Q а(Ь + ё) = ial ·пра(Б + ё) = lal -(пра Б + пра;ё) = Jal праБ + lal ·пра с=

Справедливо и обратное утверждение: если аБ = о и а =F о f:. Б, то а 1- Б.

Q Так как 'Р = (а, Б) = ~, то cos 'Р = cos ~ = О. Следовательно,

а · Б = lal ·lbl ·~= О. Если же а · Б = о и lal =F о, lbl =F О, то cos(a, Б) = о.

Отсюда 'Р = (ii, Ь) = 90°, т. е. а 1- Б. В частности:

48

б.З. Выражение скалярного произведения

через координаты

Пусть заданы два вектора

Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как мно­

гочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произве­

дения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов z, ],

k:

'1'. е.

1 ii ·Ь = ажЬж + ауЬу + azЬz.,

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме npouзвeдeнuil ux однои.менних координат.

Пример 6.2. Доказать, что диагонали четырехугольника, задан­

ного координатами вершин А(-4; -4; 4), В(-3; 2; 2), С(2; 5; 1), D(З; -2; 2), взаимно перпендикулярны.

Q Решение: Составим вектора АС и ВD, лежащие на диагоналях дан­

ного четырехугольника. Имеем: АС = (6; 9; -3) и BD = (6; -4; О). Най­

дем скалярное произведение этих векторов:

АС· BD = 36 - 36 - О= О.

Отсюда следует, что АС .l. ВD. Диагонали четырехугольника АБСD

49