pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

Теорема 18.2. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функ­

ций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из

них

Справедливо и обратное утвержdение: E'CJJИ разность б.м.ф. п: и f3 есть бесконечно малая высше1 о порядка, чем а или fJ, ·1 о а и (3

x-txo

Теорема 18.З. Сумма конечного числа бесконечно малых функций

разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Замена суммы б.м.ф. ее главной частью называется отбрасывани­ ем бесконечно малых вь~сшего порядка.

Пример 18.5. Н~йти предел lim Зх.+ 7х2

x-to sш2х

150

Вычисление пределов

Для раскрытия неопределённостей вида gчасто бывают полез­

ным применять принцип замены бесконечно малых ~квива.пентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как И'i­ вес·rно, siн х ,...., .r при .r -+ О, tg х ,...., .r при х -+ О. Приnсдем еще примl'ры эквивалентных б.м.ф.

Ниже приведены важне11.шие эквивалентности, которые исполь­

зуются при вычислении пределов:

151

Q Решение: Так как tg 2х "' 2х, sin Зх ,..., Зх при х -+ О, то

152

сливается с прямой у = х (рис. 115). На рисунках 116-118 проиллю­

стрированы некоторые из важнейших эквивалентностей, о которых го­

ворилось выше.

у

_________:!,,

7Г

2

у

1

Q Решение: ln 1,032 = ln(l + 0,032) ~ 0,032 Для сравнения результата

§ 19. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

19.1. Непрерывность функции в точке

Пусть функция у = f (х) определена в точке х0 и в некоторой окрестности этой точки. Функция у = f(x) называется непрер'Ывной

в то-ч.ке хо, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е.

153

Равенство (19.1) означает выполнение трех условий:

1)функция f (х) определена в точке х0 и в ее окрестности;

2)функция f(x) имеет предел при х -t хо;

3)преде.п функции в точке х0 равен значению функции в этой точке, т. е. выполняется равенство (19.1).

Это означает, что при нахождении предела непрерьtвноi1 функции f(x) можно переi:Jти к пределу под знаком функции, то есть в функцию f(x) вместо аргументах подставить его предельное зна'Ч.ение хо .

х-+0

и предел поменялись местами (см. (19.2)) в силу непрерывности функ­

ции е.1:.

Пример 19.1. Вычис.пить А= lim ln{l + х).

= ln ( lim (1 + х)~) = ln е = 1. 8

х-+0

Отметим, что ln(l + х) ,...., х при х -t О.

Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опи­ раясь на понятия приращения аргумента и функции.

(или дf или д/(хо)): ду=f(т)-f(хо) или ду=f(хо+Лх)-f(хо) (см.

рис. 119).

Очевидно, приращения дх и ду могут быть как положительными,

так и отрицательными чис.пами.

154

Запишем равенство (19.1) в новых обозначениях. Так как условия

х ---+ Хо и х - х0 ---+ О одинаковы, то равенство (19.1) принимает вид

lim (f(x) - /(хо))= О или

х-+хо

(19.3)

§Полученное равенство (19.3) является ещЕ> одним определением не-

прерывности функции в точке: функция у= /(х) называется не­

nрерывноii. в точке хо, если она определена в точке хо и ее окрестно­

сти и выполняется равенство (19.3), т. е. бесконечно малому прираще­

нию аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Исследуя непрерывность функции в точке, примЕ>няют либо перное

(равенство (19.1)), либо второе (равенс-rво (19.3)) определение.

Пример 19.2. Исследовать на ш'прерывность функцию у = siп :r.

а РешРние: Функция у = sin .r; опредЕ>Л('Па при нсех :r Е JR.

Возьмем прои~вольную точку :r и найдЕ:'м приращРНИЕ' Лу:

ведение ограниченной функции и б.м.ф. есть б.м.ф.

Согласно определению (19.3), функция у= sinx непрерывна в точ-

Аналогично доказывается, что функция у = cos х также непре­

рывна.

19.2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке

Функция у= f(x) называется непрерывной в интервале (а, Ь), если

она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция у = f(x) называется непрерывной на отрезке [а, Ь], если она непрерывна в интервале (а, Ь) и в точке х = а непрерывна спра-

ва (т. е. lim f (х) = !(а)), а в точке х = Ь непрерывна слева (т. е.

х-+а+о

lim f(x) = f(b)).

х-+Ь-0

19.З. Точки разрыва функции и их классификация

§Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называют­ ся точками разрыва эmou функции. Если х = х0 - точка

разрыва функции у = J(x), то в ней не выполняется по крайней ме-

155

ре одно из условий первого определения непрерывности функции, а

именно:

1.Функция определена в окрестности точки х0, но не определена

всамой точке хо.

разрыв (см. рис. 121), т. к. эта функция не имеет предела при х-+ 2:

ует lim f (х), но этот предел не ра-

а g(xo) = g(O) = 2.

156

~Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва перво­

го и второго рода. Точка разрыва х0 называется точ:коfi. разрыва

первого рода функции у= f(x), если в этой точке существуют конеч­ ные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т. е.

а) если А1 = А2, то точка х0 называется то-чкоfl устранимого раз­ рыва; 6) если А1 -:f:. А2, то точка х0 называется то-ч,коfi коне'Чного раз­ рива. Величину IA1 - A2 I называют ска-ч,ком функцuu в точке разрыва

первого рода.

~Точка разрыва х0 называется m.oчкofi. разрыва второго poiJa

функции у = f(x), если по крайней мере один из односторонних

пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

1.Обратимся к функциям, рассмотренным выше (см. рис. 120).

У= ж~2, Хо =2 - точка разрыва второго рода.

2.Для функции

Хо = 2 является точкой разрыва первого рода, скачок функции равен

11 - 01=1.

3. Для функции

хо = О является точкой устранимого разрыва первого рода. Положив

функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке

157

19.4.Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций

Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из

соответствующих теорем о пределах.

Теорема 19.1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю)

Q Пусть функция f(x) и ip(x) непрерывны на некотором множествЕ'

Х и х0 - любое значение из этого множества. Докажем, например,

функция у = f(u) непрерывна в точке и0 = tp(x0 ). Тогда сложная функция f (ср(х)), состоящая из непрерывных функций, непрерывна в

точке хо.

Q В силу непрерывности функции и = ср(х), lim <р(х) = ср(хо) = ио, x--tzo

т. е. при х --+ хо имеем и -t ио. Поэтому вследствие непрерывности

функции у= f(u) имеем:

Теорема 19.3. Если функция у= f(x) непрерывна и строго монотон­ на на [а; Ь] оси Ох, то обратная функция у= ср(х) также непрерывна и

монотонна на соответствующем отрезке [с; d] оси Оу (без доказатель-

ства). •

158

Так, например, функция tgx = sinx, в силу теоремы 19.1, есть cosx

функция непрерывная для всех значений х, кроме тех, для которых cosx =О, т. е. кроме значений х = ~ + 1Гn, п Е Z.

Функции arcsinx, arctgx, arccosx, arcctgx, в силу теоремы 19.З, не­

прерывны при всех значениях х, при которых эти функции определены.

lil

неnрер'Ьl.ВНЫ при всех зна-чени.ях х, iJ~ которых они опре­

делены.

Е§1 Как известно, эле.ментарноii называется такая функция, которую

можно задать одной формулой, содержащей конечное число ариф­ метических действий и суперпозиций (операции взятия функции от функции) основных элементарных функций. Поэтому из приведенных выше теорем вытекает: вс.яка.я элементарная функци.я непрерыв­

на в ка;нсдоii. точке, в кomopoii. она определена.

Этот важный результат позволяет, в частности, легко находить

пределы элементарных функций в точках, где они опрt'делсны.

Пример 19.4. Найти lim 2ctg"'.

:t---+f

Q Решение: Функция 2ctgx непрерывна в точке х =~'поэтому

19.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств.

Теорема 19.4 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрез­

ке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наимень­

шего значений.

Изображенная на рисунке 123 функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь], принимает свое наибольшее значение М в точке х1 , а наименьшее т - в точке х2. Для любого х Е [а; Ь] имеет место нера­ венство т:::; f(x) :::; М.

Следствие 19.1. Если функция непрерывна на отрезке, то она огра­

ничена на этом отрезке.

159