Основы механики твердого деформируемого тела

по наличию цепных усилий – таковые имеются в обеих конструкциях, а по характеру деформирования. Для гибких оболочек гипотезу о малости перемещений принимать нельзя и задачу приходится решать в геометрически нелинейной постановке. К абсолютно гибким оболочкам относятся конструкции, в которых невозможны деформации изгиба и кручения. Ниже изучаются только жесткие оболочки.

2.2. Уравнения равновесия. На рис. 2.5a изображен малый элемент, выделенный из оболочки главными нормальными сечениями. Внутренние силы взаимодействия, заменяющие влияние отброшенных частей тела, порождают напряжения, показанные на этом же рисунке. Ось a3 локальной системы координат направлена по нормали n к срединной поверхности оболочки. Длина волокна CC (рис. 2.5b), принадлежащего слою, который находится на расстоянии a3 от срединной поверхности, выражается через длину dαi дуги координатной линии следующим образом:

С помощью этой формулы можно установить связь между напряжениями и усилиями. Последние относят к единице длины срединной поверхности оболочки по линии αi. Усилия показаны на рис. 2.5c, d. Как и в кривом брусе, изгибающие моменты считаются положительными, если они приводят к увеличению кривизн κ1 и κ2. По определению (dF = CC · da3),

По этим формулам и нужно вычислять усилия в оболочках, имеющих большие кривизны (или малые радиусы R1 и R2). Но если Ri ≥ 30h, что характерно для оболочек, используемых в строительных конструкциях, то a3/Ri ≤ 1/60. Такой величиной по сравнению с единицей допустимо пренебречь и тем самым упростить формулы для усилий. Кроме того, при

a3/Ri → 0 справедливы равенства T12 = T21 ≡ T , M12 = M21 ≡ M , обусловленные законом парности касательных напряжений. Итак,

Условия равновесия оболочки составляются для усилий. Как и в плитах, объемные силы присоединяют к поверхностной нагрузке q1, q2, q3. Рассматриваемый элемент срединной поверхности изображен на рис. 2.6. Оси a1

и a2 декартовой системы координат касаются линий α1 и α2 в точке 0. Согласно формулам (2.1),

Подготовительная работа завершена, и можно приступить к составлению условий равновесия элемента оболочки, проецируя приложенные к нему силы на оси ai (i = 1, 2, 3) и беря моменты всех нагрузок относительно осей, которые получаются при параллельном переносе репера ai в центр элемента. Выкладки, связанные с выводом уравнений равновесия, довольно громоздки, поэтому их проводят в несколько этапов.

Последнее слагаемое мало, и в дальнейшем его можно не учитывать. Аналогично вычисляются проекции на ось a1 касательных сил T21 ≡T и T21+dT21. Таким образом,

Подобным же образом выражается через параметры A1 и A2 угол ϕ2. Следовательно,

Дальнейшее просто.

Пр(N2) = −(N2 +dN2)cb · sin ϕ2 = −(N2 +dN2)[A1 +(∂A1/∂α2)dα2]ϕ2dα1.

Подчеркнутые члены, как имеющие высший порядок малости, отбрасывают-

Проекции сил T12 и T12 +dT12 на ось a1 находят аналогично:

c) Проекции на ось a1 сил Q1 и Q2. На рис. 2.9 изображен профиль элемента при взгляде со стороны оси a2. Так как sin ϕ ≈ ϕ ≈ tgϕ = 0a/R1 =

= A1dα1/R1, то

Пр(Q1) = (Q1 +dQ1)[A2 +(∂A2/∂α1)dα1] ·

· dα2 · sin ϕ = Q1A2dα2(A1dα1/R1),

Пр(Q2) = [−Q2 0a+(Q2 +dQ2)cb] sin(ϕ/2) =

Остается сложить правые части всех равенств, входящих в четыре формулы (*), и приравнять полученную сумму к нулю. Аналогично составляются уравнения a2 = 0, a3 = 0 и еще три уравнения моментов. Выкладки, связанные с выводом указанных уравнений, опускаются. Но прежде, чем привести окончательный результат, следует отметить, что из-за равенств T12 = T21 и M12 = M21 сумма моментов всех нагрузок, приложенных к элементу, относительно оси a3 обращается в нуль тождественно. (Ось a3 проходит через центр элемента и направлена по нормали к его поверхности.) Стало быть, нетривиальных условий равновесия у оболочки будет только пять. Вот эти уравнения:

Условия равновесия (2.6) содержат восемь усилий, так что задача о напряженном состоянии оболочки статически неопределима.

2.3. Геометрические уравнения. В этом пункте речь пойдет об условиях совместности перемещений и деформаций в окрестности произвольной точки тела. Но сначала потребуется установить зависимости между деформациями ε1, ε2, γ и перемещениями u1, u2, u3 для точек срединной поверх-