Основы механики твердого деформируемого тела

предположении, что деформации изгиба и кручения отсутствуют. Усилия и перемещения, возникающие на краях конструкции в указанном безмоментном состоянии, используются для формулировки граничных условий на втором этапе расчета, когда интегрируется полная система уравнений оболочки, учитывающая уже и изгиб с кручением. Поверхностная нагрузка на этом шаге решения задачи отбрасывается, ибо она была учтена при построении безмоментного решения. Наконец, усилия и перемещения, найденные на двух первых этапах вычислений, складываются.

В рассматриваемом примере описанная схема реализуется так. Сперва получают решение (3.16)–(3.17) безмоментной задачи:

(Ни на что не влияющее перемещение ux не приводится.) На втором этапе используются условия равновесия (3.22) и формулы (3.24), (3.25), являющиеся следствием кинематических и физических соотношений полной системы уравнений цилиндрической оболочки при осесимметричной нагрузке. В случае qx = qn = 0 названные равенства приводят к разрешающему уравнению (3.28) с нулевой правой частью. Решением задачи являются перемещения и усилия (3.31), причем

un = C1f1 + C2f2.

На краю x = 0 оболочки f1 = 0, f2 = 1 и un = C2. Если этот край оперт шарнирно (см. рис. 3.13), то полное радиальное перемещение, складывающееся из перемещений un(0) и (3.34)3, должно равняться нулю, что дает C2 = −pR2/(Eh). При шарнирном опирании отсутствует и изгибающий момент M1, а потому C1 = 0. Тогда при обозначении A = pR2/(Eh) (см. также формулы (3.31))

un = −Af2, N2 = −pRf2, M1 = 2ADβ2f1, Q1 = 2ADβ3(f2 −f1). (3.35)

Объединение решений (3.34) и (3.35) приводит к искомому решению задачи, совпадающему с результатом (3.33).

В данном примере второй способ решения задачи никаких преимуществ по сравнению с первым способом не дает. Он оказался даже более громоздким. Нет особого смысла в разделении состояния оболочки на безмоментное и краевой эффект и тогда, когда и там, и там для отыскания усилий и перемещений нужно применять численные методы. Но если безмоментная задача поддается аналитическому решению, а интегрирование полной системы уравнений краевого эффекта требует численного подхода, то разграничение названных состояний может оказаться полезным. Наиболее ярко проявляются преимущества разделения двух обсуждаемых состояний оболочки тогда,

когда удается построить приближенное аналитическое решение уравнений краевого эффекта.

Пусть цилиндрическая оболочка, изображенная на рис. 3.13, загружается на этот раз весом заполняющей ее жидкости. Указанная нагрузка осевой симметрией не обладает, поэтому при учете краевого эффекта опереться на решение типа (3.31) не удастся. Придeтся обратиться к полной системе уравнений (3.11), (3.12), (2.16). Что же касается усилий и перемещений безмоментного состояния, то они были получены в п. 3.7 и даются формулами (3.19) и (3.21).

Интегрирование системы (3.11), (3.12) и (2.16) выполняется при qn = 0 на основе допущений, учитывающих быстрое затухание усилий краевого эффекта по координате x и сравнительно медленное их изменение по углу

θ. Эти допущения таковы.

1.С краевым эффектом в цилиндрических оболочках связаны усилия

M1, Q1, N2 и N = N0, тогда как усилия M2, Q2, M и T так же, как и в осесимметричной задаче, отсутствуют.

2.При отыскании усилий и перемещений краевого эффекта переменная

θфиксируется, т. е. рассматривается как константа.

Опираясь на положения 1–2, нетрудно перейти от уравнений (3.11), (3.12) и (2.16) к соотношениям (3.22)–(3.24), а затем и к разрешающему уравнению (3.28) с нулевой правой частью. Иначе говоря, решение задачи берется в форме (3.31). Как и в примере, рассмотренном до этого, un(0) = C2, а в безмоментном состоянии на краю оболочки (см. формулу (3.21)3 при x = 0)

un(ρ) = ρR3(1 + sin θ)/(Eh).

При шарнирном опирании сумма перемещений un(0) и un(ρ) должна рав-

По закону Гука M2 = νM1. О характере зависимости полученных усилий от координаты x можно судить по рис. 3.14.

При N1 = 0 из формул (3.24) и (3.36) следует, что

где ϕ(θ) – функция интегрирования, которую можно определить, учитывая, что при x = 0 сумма перемещений (3.37) и (3.21)1 должна равняться нулю. После того, как функция ϕ(θ) будет установлена, останется объединить решения (3.36), (3.37) и (3.19), (3.21).

Втом, что усилия (3.36) дают лишь приближенное решение задачи, можно убедиться при их подстановке в условия равновесия (3.11): второе и четвертое уравнения окажутся нарушенными. Но на такое нарушение условий равновесия идут, ибо, как показывают более скрупулезные исследования, погрешность при отыскании напряжений в приопорных зонах незначительна,

аза пределами указанных зон ее вообще нет.

Взаключение следует сказать, что подходы к анализу краевого эффекта в оболочках другого типа остаются такими же, что и для цилиндрических оболочек. Более подробно этот вопрос здесь не обсуждается.

3.10. Пологие оболочки. Оболочка называется пологой, если ее стрела подъема f не превышает 0, 1 ÷ 0, 2 наименьшего из размеров оболочки в плане (рис. 3.15). В пологих оболочках можно пренебречь разницей между длиною дуги срединной поверхности и ее проекцией на плоскость 0xy, т. е. принять (см. формулы (2.1)) A1 = A2 = 1. Кроме того, делается допущение о постоянстве главных радиусов R1 и R2 кривизны срединной поверхности оболочки в пределах ее плана, т. е. при 0 ≤x ≤A, 0 ≤y ≤B.

Впологих оболочках продольные силы намного больше поперечных сил,

арадиусы R1 и R2 значительно превышают размеры A и B. Это позволяет в тех условиях равновесия, в которые входят усилия N1 и N2, пренебречь

слагаемыми Qi/Ri. При сделанных допущениях и замене переменных α1, α2 на координаты x и y, а индексов 1, 2, 3 на индексы x, y, z условия равновесия (2.6) принимают вид:

Как видно из этих равенств, формулы для усилий Mx, My и M получились такими же, что и в плитах (см. формулы (1.10)). Подстановка данных усилий в уравнение (3.42) приводит к соотношению

которое также напоминает одну из зависимостей теории плит. Речь идет об уравнении Софи Жермен (1.9). При бесконечно больших R1 и R2 равенства (3.44) и (1.9) совпадают, но если радиусы кривизны срединной поверхности конечны, то уравнение (3.43) в отличие от соотношения (1.9) не является разрешающим, ибо содержит две неизвестные функции.

Еще одно уравнение, связывающее прогиб w с функцией напряжений ϕ, получают, заменяя в условии совместности деформаций (3.40) величины εx, εy , γ и κx, κy на их выражения через функции ϕ и w соответственно. Для этого используются формулы (3.41) и (3.43). После несложных упрощений получается равенство

Остается из системы (3.44)–(3.45) исключить функцию ϕ. Применение бигармонического оператора к обеим частям уравнения (3.44) с учетом равенства (3.45) дает:

Таким образом, задача о напряженно-деформированном состоянии пологой оболочки сводится к интегрированию линейного дифференциального уравнения восьмого порядка. В общем случае решение можно получить лишь численно. Для некоторых важных в практическом отношении задач имеются решения в рядах. Однако вычисления, связанные с интегрированием уравнения (3.46), многодельны и, когда это возможно, их следует избегать. По этому поводу можно сказать следующее. Степень пологости оболочки характеризуется не только отношением стрелы f к наименьшему размеру плана, но и отношением размера f к толщине оболочки h. Исследования показывают, что при

в оболочке, так же как и в пластине, деформации изгиба и кручения охватывают все тело конструкции. В этом случае нет иного выбора, как интегрировать уравнение (3.46). Но если

f /h > 20,

то напряженно-деформированное состояние пологой оболочки можно разделить на безмоментное и краевой эффект и тогда необходимость в уравнении (3.46) отпадает. Объясняется это тем, что безмоментное состояние статически определимо, так что усилия Nx, Ny и T можно найти из условий равновесия (3.38). Дело сводится к решению системы двух линейных дифференциальных уравнений, каждое из которых имеет первый порядок.

При f /h < 5 задачу о напряженно-деформированном состоянии оболочки, как правило, приходится решать в геометрически нелинейной постановке. Но следует всегда помнить, что устанавливаемые грани между различными типами оболочек, в том числе и те, что даются формулой (3.47), условны. Они зависят от многих обстоятельств и, в частности, от внешнего воздействия. Так, при симметричной нагрузке расчет пологой оболочки по линейной теории возможен и в случае, когда f /h < 5.

ГЛАВА 4. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

4.1. Плоское напряженное и плоское деформированное состояния.

Использовать технические теории для анализа напряжений и деформаций в твердом теле удается далеко не всегда. Нельзя, например, опереться на них при расчете дамб, плотин, подпорных стенок, оснований сооружений. Не применить упрощенные теории и при исследовании зон местных напряжений. Приходится прибегать к помощи полной системы уравнений механики твердого деформируемого тела. Эта система сложна для решения, но если тело выполнено из линейно-упругого материала, то от полной системы можно перейти к системе разрешающих уравнений, имеющих наиболее простой вид в случае, когда перемещения малы и задачу можно решать в геометрически линейной постановке (см. главу I.7). В рамках линейной упругости предполагается оставаться и в дальнейшем. Интегрировать систему разрешающих уравнений проще, чем полную, однако на аналитические решения все равно рассчитывать не приходится. Единичные случаи, когда напряжения и перемещения могут быть представлены в квадратурах, не в счет. Уже не раз отмечалось, что при первом знакомстве с механикой к численным методам решения краевых задач обращаться нецелесообразно. Да пока в этом и нет необходимости, ибо существует целый класс задач, допускающих аналитическое решение. Речь идет о некоторых двумерных задачах теории упругости.

На рис. 4.1 изображен поперечный разрез цилиндрического тела, к которому приложена нагрузка, параллельная плоскости 0xy и по оси 0z не меняющаяся. Если размер l тела в направлении оси 0z, по крайней мере, на порядок превышает наибольший из характерных размеров сечения, то можно считать тело бесконечно длинным. Точки такого тела не в состоянии перемещаться вдоль оси 0z, а потому каждое поперечное сечение тела деформируется только в своей плоскости. Другими словами,

w = 0, u = u(x, y), v = v(x, y).

Из геометрических уравнений Коши (I.5.7) в этом случае следует:

а значит (закон Гука), и τyz = τxz = 0. Однако напряже-

ния σz в нуль не обращаются, что видно по третьей из формул (I.6.7). Отличие напряжений σz от нуля объясняется эффектом Пуассона. Таким образом, в рассматриваемом теле

а остальные перемещения, деформации и напряжения не зависят от координаты z. Такое состояние тела называют плоским деформированным.

Пусть теперь наименьший из характерных размеров сечения тела на порядок или более того превышает размер l. Сказанное надо понимать так, что на рис. 4.1 изображен тонкий диск, загруженный по ребру. На основаниях диска нагрузки нет, а потому нет на них и напряжений σz , τzx и τzy . Из-за малости толщины диска естественно предположить, что отсутствуют указанные напряжения и во внутренних точках диска, а если они там даже и имеются, то не достигают заметных по сравнению с напряжениями σx, σy , τxy значений. Таким образом,

причем ненулевые напряжения и деформации от координаты z не зависят. Деформация εz (эффект Пуассона) отличается от нуля. Не равно нулю и перемещение w. Состояние, характеризуемое формулами (4.2), называют плоским напряженным, а краевую задачу для упругого тела, находящегося в плоском напряженном либо в плоском деформированном состоянии, –

плоской задачей теории упругости.

4.2. Полная система уравнений плоской задачи. Названная система следует из уравнений общей теории упругости при учете равенств (4.1)– (4.2) и того обстоятельства, что перемещения u, v, ненулевые компоненты тензоров деформаций и напряжений не зависят от координаты z. Кроме того, принимается во внимание отсутствие нагрузки вдоль оси 0z.

a) Условия равновесия. Уравнения равновесия Навье (I.2.6) сводятся к двум равенствам:

Эти соотношения должны выполняться как в задаче о плоском напряженном состоянии, так и в задаче о плоской деформации. В первом случае третье из уравнений Навье отпадает из-за того, что имеют место равенства (4.2), а во втором – по причине соблюдения условий (4.1) и независимости напряжений σz от аппликаты z.

общую для любой плоской задачи теории упругости. Кроме того, при плоском напряженном состоянии соблюдается равенство εz = ∂w/∂z, позволяющее найти перемещение w по найденной до того деформации εz . Однако толщина тела, испытывающего плоское напряженное состояние, мала, а точки, принадлежащие плоскости, которые делят эту толщину пополам, вообще не перемещаются вдоль оси 0z, так что перемещения w большими быть не могут и ими допустимо пренебречь. Таким образом, соотношение w ≡0 принимается не только для плоскодеформируемого тела, но и для плосконапряженного и в обеих рассматриваемых задачах из шести условий сплошности (I.5.9) нетривиальными останутся только первые три уравнения. При этом второе и третье уравнения накладывают ограничения только на деформацию εz и потому малоинтересны. Существенно лишь условие

c) Физические уравнения. В случае плоского деформируемого состояния третья из формул закона Гука (I.6.6) дает:

При плоском напряженном состоянии уравнения (I.6.6) имеют вид:

Упрощаются и уравнения Коши на поверхности тела, даваемые в общем случае формулами (I.2.8). Они одинаковы для обеих рассматриваемых плоских задач: