Основы механики твердого деформируемого тела

и при h l, т. е. в брусьях, действительно можно считать, что продольные волокна не давят друг на друга.

Напряжения σx отличаются от соответствующих напряжений технической теории на слагаемое (см. формулу (4.26c)1 и рис. 4.5b)

σ = q 4y3 − 3y , x h3 5h

которое при y = h/2 принимает значение q/5. Для брусьев эта величина незначительна. Например, при h = l

т. е. второе слагаемое в формуле (4.26c)1 составляет всего 6,7% от первого даже в пластине, очень далекой по своим параметрам от бруса. Касательные напряжения (4.26c)3 не отличаются от тех, что определяются формулой Журавского.

В заключение можно еще раз напомнить, что решение (4.26c) пригодно лишь для бруса узкого прямоугольного сечения, тогда как техническая теория обслуживает любые призматические стержни.

4.7. Изгиб консоли треугольного профиля. Пусть конструкция, изображенная на рис. 4.6, выполнена из материала объемного веса γ. Кроме собственного веса, консоль несет поверхностную нагрузку с интенсивностью py = qx/L. Требуется определить напряжения в пластине. Поставленную задачу удается решить, используя полином степени 3:

τxy = −a11 −2a12 y−2a21 x−γx.

В угловой точке x = y = 0 никаких напряжений нет, так что

362 Часть III

На грани y = 0 касательные напряжения приравниваются к нулю, а нормальные – к заданной интенсивности нагрузки:

1) y = 0 : τyx = 0 → 0 = −2a21 x−γx, 2) y = 0 : σy = −py → −qx/L = 6a30 x.

Напряжения (4.31a) должны удовлетворять краевым условиям на наклонной кромке пластины, которые формулируются при помощи уравнений (4.9). При qνx = qνy = 0 эти уравнения имеют вид:

Индекс указывает на то, что напряжения берутся на грани y = xtg α, а не в любой точке тела. Согласно формулам (4.31a),

поэтому (ведь x = 0всюду, кроме вершины треугольника, и l = − sin α, m = cos α)

Отсюда следует, что

2a12 = [(q ctg α)/L + γ] ctg α 6a03 = −2[(q ctg α)/L + γ] ctg2 α.

Остается подставить найденные константы в формулы (4.31a):

Напряжения σy во всех горизонтальных слоях пластины одинаковы. Они меняются по оси 0x так же, как и нагрузка py . Эпюры напряжений σx и τxy в сечении x = const представлены на рис. 4.7. Если же не учитывается поверхностная нагрузка, то

Эпюры напряжений σx и τxy отличаются от графиков, представленных на рис. 4.7a, только иными значениями ординат. Однако напряжения σy распределяются по высоте сечения иначе (рис. 4.7b).

Решение (4.34) средствами технической теории изгиба брусьев получено быть не может. Прежде всего это относится к напряжениям σy , которые согласно элементарной теории отсутствуют. На самом же деле эти напряжения существуют и имеют тот же порядок, что и напряжения σx.Так, при α = 45o в точках наклонной грани клина

σx = |σy | = (q/L + γ) x.

Не совпадают с параболическими касательными напряжениями элементарной теории и линейно меняющиеся по координате y напряжения (4.34)3. Правда, применять формулу Журавского для вычисления касательных на-

пряжений в брусьях переменного сечения и не полагается (см. формулы (II.3.3) и п. I I.5.6). Что же касаетсянапряжений σx, то они получаются одина-

наковыми как по элементарной теории, так и по формуле (4.34)1. В этом

можно убедиться, выполнив вычисления по формуле=Mσ/W и определив

x z z

тем самым крайние ординаты эпюр "σx", изображенных на рис. 4.7a и b. Естественно, момент сопротивления поперечного сечения вы-числяется с

учетом меняющейся высоты прямоугольника, т. е. как функция вида Wz = Wz (x).

ГЛАВА 5. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

ВПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ

5.1.Основные уравнения. Зачастую исследование напряжений и деформаций оснований сооружений выполняется на основе решения задачи, рассмотренной в конце XIX века французским ученым А. Фламаном. Имеется в виду задача о силе, приложенной к границе полуплоскости.

Пусть однородная упругая среда занимает часть пространства ниже плоскости 0xz. Вдоль оси 0z, направленной перпендикулярно к плоскости чертежа (рис. 5.1), приложена распределенная нагрузка интенсивностью q. Если q = const, то задача о напряжениях и перемещениях в точках среды есть задача плоского деформированного состояния. В среде можно выделить тонкий слой единич-

ной толщины, обозначить через P = q·1 силу, приложенную к такому слою, и отождествить последний с частью плоскости, ничем не ограниченной вдоль оси 0x, но расположенной только ниже этой оси. Описанную часть плоскости называют полуплоскостью.

То, что решать данную задачу следует в полярных координатах, почти очевидно. В частности, указать ожидаемую зависимость напряжений в произвольной точке среды от координат θ и r намного проще, чем от аргументов x и y, что дает возможность при использовании полярных координат решить задачу обратным методом. Назначению функций, описывающих искомые напряжения, способствует следующий образ действий. Полуплоскость мысленно представляется в виде набора клиньев бесконечной длины с вершинами в точке 0 (рис. 5.2). Каждый из клиньев принимает на себя тем большую´ долю силы P , чем меньше он наклонен к оси 0y. Стало быть, напряжения σr должны убывать по углу θ. Ясно также, что они должны убывать и по аргументу r, т. е. с увеличением расстояния между точками

0 и M. Можно предположить также, что клинья не давят друг на друга и не скользят один по другому, а потому отсутствуют напряжения σθ и τθr = τrθ. Существует множество функций, убывающих по своим аргументам. К ним относится и зависимость

(k – коэффициент пропорциональности), заслуживающая внимания хотя бы потому, что проста. В пользу напряжений

говорит и то, что на границе полуплоскости, т. е. при θ = π/2, все они обращаются в нуль, а потому соблюдаются краевые условия задачи. Исключение составляет точка 0, в которой напряжения σr не определены. Вблизи этой точки образуется зона местных напряжений (полукруг с радиусом, равным толщине слоя), которая из рассмотрения исключается.

Приведенных соображений недостаточно, чтобы можно было признать напряжения (5.2) решением задачи. Необходимо, чтобы эти напряжения не противоречили полной системе уравнений теории упругости. Важно, однако, что при помощи некоторых правдоподобных рассуждений зависимости (5.2) удалось построить. Дальнейшее – дело не слишком сложных формальных операций. Правда, для их выполнения нужны уравнения, в которые следует подставить напряжения (5.2). Таких уравнений пока нет, поскольку все необходимые для решения плоской задачи соотношения были получены в прямоугольной декартовой системе координат, а не в полярной. Указанный пробел следует ликвидировать.

На рис. 5.3 изображен элемент, выделенный из упругого слоя единичной толщины. На данный элемент действуют силы,

связанные с радиальными σr, окружными (тангенциальными) σθ и касательными τθr = τrθ напряжениями. Кроме того, имеются объемные силы Sr и Sθ интенсивностей Pr и Pθ соответственно. С точно-

стью до бесконечно малых величин высшего порядка

принимается, что Sr =Pr rdθ dr · 1, Sθ =Pθ rdθ dr · 1. Элемент находится в состоянии равновесия, поэтому сумму проекций всех приложенных к нему сил на ось 0n можно приравнять к нулю:

Prdrrdθ + (σr +dσr)(r+dr)dθ · 1−σrrdθ · 1 + [(τθr +dτθr)dr · 1 −

− τθr dr · 1] cos (dθ/2) − [(σθ +dσθ)dr · 1 + σθdr · 1] sin (dθ/2) = 0.

Поскольку cos (dθ/2) ≈1, sin (dθ/2) ≈dθ/2, то

σrdrdθ+dσrrdθ+dσrdrdθ+dτθrdr−σθdrdθ−dσθdrdθ/2+Prrdrdθ = 0.

Подчеркнутые слагаемые, имеющие высший порядок малости по сравнению

Остается обе части данного равенства разделить на произведение rdrdθ.

Приравнивание к нулю суммы моментов приложенных к элементу сил относительно точки M приводит к тождеству τθr = τrθ. Таким образом, условия равновесия плоской задачи теории упругости в полярных координатах получены (ср. с уравнениями (4.3)).

Связь между деформациями и перемещениями в произвольной точке слоя проще всего установить при помощи уравнений (2.7), справедливых для любой криволинейной системы координат. В полярных координатах метрика на плоскости задается формулами ds1 = dr, ds2 = rdθ, следовательно (см. равенства (2.1)), A1 = 1, A2 = r. С учетом сказанного замена в соотношениях (2.7) деформаций ε1, ε2, γ на деформации εr, εθ, γrθ, перемещений u1, u2, u3 – на перемещения ur, uθ, 0 и переменных α1, α2 – на аргументы r и θ при R1 = ∞ дает:

Аналогично можно получить и уравнение совместности деформаций. Для этого надо опереться на третье из равенств (2.14), сделав в нем ту же замену функций, коэффициентов и переменных, о которой говорилось до записи соотношений (5.4), и принять κ1 = κ2 = 0:

Это уравнение упростится, если выполнить дифференцирование, привести подобные члены и учесть, что

∂γrθ + r ∂2γrθ = ∂2(rγrθ) . ∂θ ∂r∂θ ∂r∂θ

Полная система уравнений плоской задачи теории упругости в полярных координатах получена. Для ее решения в напряжениях можно использовать

Данное уравнение внешне ничем не отличается от равенства (4.13), что и понятно: сумма нормальных напряжений есть инвариант. Однако оператор Лапласа теперь должен быть записан в полярных координатах. Из курса высшей математики известно, что

Для интегрирования системы уравнений (5.3) и (5.6) используется под-

которая тождественно удовлетворяет условиям равновесия (5.3) при отсутствии объемных сил. Если же зависимости (5.7) ввести в равенство (5.6), получится разрешающее уравнение:

Теперь можно вернуться к задаче Фламана и довести ее до конца.

5.2. Задача Фламана. Как было показано в п.5.1, напряжения (5.2) удовлетворяют краевым условиям задачи, и остается проверить, будут ли они обращать в тождества уравнения равновесия и Леви. При σθ = τθr = 0 и

диаметром D, касающаяся границы полуплоскости в точке приложения силы. Так как r = D cos θ, то в точках окружности формула (5.10) дает

2P

σr = −πD = const.

Стало быть, окружности, касающиеся оси 0x в точке 0, являются линиями равных напряжений, т. е. изобарами (рис. 5.7b). Это обстоятельство используется как для сокращения объема вычислений при анализе напряженного состояния в рассматриваемой среде, так и для решения ряда других задач (см. далее п. 5.5).

И в заключение краткая историческая справка. В 1885 г. французский исследователь Ж. Буссинеск решил задачу о силе, приложенной к границе упругого полупространства. Проверить это трехмерное решение экспериментально было трудно, поэтому английский ученый Карус Вильсон упростил дело, поставив опыты на тонких пластинах, выполненных из оптически активного материала. На полученных поляризационных фотографиях были ясно видны те самые изобары, которые приведены на рис. 5.7b. Эти линии позже назвали кругами Буссинеска. Фламан, ознакомившись с опытами Вильсона, подтвердил его экспериментальные результаты теоретически (1892 г.).

5.3. Полярная симметрия. Чистый изгиб кривого бруса. Полярно симметричным называют состояние, в котором напряжения не зависят от угла θ. В этом случае бигармоническое уравнение (5.8) становится обыкновенным дифференциальным уравнением вида

Его решение может быть представлено в замкнутой форме:

Таким образом, все сводится к определению констант A, B и C.

На рис. 5.8 изображен тонкий кривой брус, испытывающий деформацию чистого изгиба. Напряженное состояние такого бруса исследовалось в п. II.5.1 средствами технической теории. Теперь имеется возможность ре-