Основы механики твердого деформируемого тела

нам, что приведет к изгибанию краев оболочки. Обычно купол закрепляется на стенах здания при помощи опорного кольца, препятствующего любым перемещениям кромок оболочки, в том числе и в направлении, ортогональном к срединной поверхности. При наличии опорного кольца условиям существования безмоментного состояния нельзя удовлетворить ни при каком угле α. В подобных случаях вблизи опор оболочки возникают изгибающие моменты, быстро затухающие по мере удаления от ее краев. Вид эпюры "M1", связанной с описываемым явлением, указан на рис. 3.6c. Усилия такого краевого эффекта надо знать, чтобы при проектировании оболочки можно было принять меры по укреплению приопорных зон. Более подробно о краевом эффекте говорится в п. 3.9.

3.7. Уравнения состояния цилиндрической оболочки. В этом параграфе рассматриваются круговые цилиндрические оболочки, для которых один из радиусов кривизны срединной поверхности равен бесконечности, а другой – постоянной

величине: R1 = ∞, R2 = R.

Для решения задачи удобно использовать цилиндрическую систему координат, отводя роль координат α1 и α2 соответственно абсциссе x, отсчитываемой вдоль образующей цилиндра, и углу θ, измеряемому по дуге направляющей. Из

рис. 3.7 видно (см. также формулы (2.1)), что A1 = 1, A2 = R, т. е. коэффициенты Ламе круговой цилиндрической поверхности постоянны.

Уравнения равновесия рассматриваемой оболочки можно получить из системы (2.6), полагая

Если безмоментное состояние цилиндрической оболочки осесимметрично, то qt = T = ut = 0, а все оставшиеся нагрузки, усилия, деформации и перемещения меняются только вдоль оси 0x. В этом случае

Константы C, C1 зависят от способа закрепления оболочки по краям.

Пусть требуется найти усилия и перемещения в точках цилиндрического сосуда, наполненного жидкостью с объемным весом ρ и находящегося под внутренним давлением p. Оболочка шарнирно закреплена по кромкам A–A и B–B (см. рис. 3.8). Собственный вес конструкции не учитывается. Решение задачи проводится в два приема.

a) Учет внутреннего давления. Нагрузка qx = 0, qn = p осесимметрична, поэтому усилия можно найти по формулам (3.14a). Согласно первой из них, N1 = C, а так как края оболочки свободны от осевых воздействий, то C = 0. Стало быть,

Тогда (см. формулы (3.15))

b) Учет веса жидкости. Давление жидкости передается на стенки сосуда по нормали, так что (рис. 3.8b)

qx = qt = 0, qn = ρR(1 + sin θ).

Tl = −ρRl cos θ + f1(θ). Так как N10 = 0 и кососимметрическая составляющая T напряженного состояния оболочки обладает свойством T0 = −Tl, то

f2 = 0, f1 = 0, 5 ρRl cos θ.

Теперь из формул (3.18) следуют окончательные выражения для усилий:

N1(ρ) = 0, 5 ρx(l − x) sin θ, N2(ρ) = ρR2(1 + sin θ),

(3.19)

T (ρ) = ρR(l/2 − x) cos θ.

В сечениях x = const усилия T (ρ) экстремальны при cos θ = ±1, т. е. в горизонтальном разрезе оболочки. Силы N1(ρ) принимают наибольшие по модулю значения в вертикальной плоскости симметрии оболочки. Продольная сила N2 вдоль оси цилиндра не меняется. Эпюры указанных усилий приведены на рис. 3.9.

Чтобы найти перемещения, надо при помощи равенств (3.12a), (3.13) и (3.19) составить систему уравнений

а затем решить ее относительно функций ux, ut и un. В процессе интегрирования, связанного с решением этой системы, появятся дополнительные функции, которые определяются краевыми условиями задачи. Если при выводе формул (3.19) в детальном описании устройства шарнирных опор нужды не было, то теперь требуется точно указать, как такие опоры выглядят. Безмоментное состояние будет возможным лишь в случае, если цилиндр свободно посажен на оси 1–1 и 2–2 (рис. 3.10).

При таком опирании нигде не стеснены перемещения un, а опорные реакции направлены по касательной к срединной поверхности оболочки. Правда, вблизи точек опирания появятся местные напряжения, но зоны местных деформаций невелики. Что же касается перемещений ux и ut, то они должны удовлетворять граничным условиям:

Еще три ограничения вытекают из соображений симметрии:

3) ux(0, θ) = −ux(l, θ), ut(x, π/2) = ut(x, −π/2) = 0, un(0, θ) = un(l, θ).

Интегрирование системы (3.20) при условиях 1)–3) дает:

24Ehux(ρ) = ρ[(6lx2 −4x3 −l3) sin θ+12νR2(l−2x)(1+sin θ)],

24ERhun(ρ) = 24ρR4(1+sin θ)+ρx(l−x)(24R2 +l2 +xl−x2) sin θ.

В том, что эти функции действительно доставляют решение в рассматриваемой задаче, можно убедиться при помощи подстановки формул (3.21) в уравнения (3.20) и в граничные условия 1) – 3).

Остается сложить усилия (3.16) и (3.19), а также перемещения (3.17) с перемещениями (3.21).

3.8. Осесимметричное напряженно-деформированное состояние цилиндрической оболочки. Если

qt = T = M = Q2 = 0, ut = γ = κ2 = χ = 0,

то напряженно-деформированное состояние круговой цилиндрической оболочки симметрично относительно любой плоскости, содержащей ось 0x. Условия равновесия (3.11) сводятся в этом случае к трем равенствам:

К трем зависимостям приводятся и геометрические уравнения (3.12):

что напоминает зависимость Mz = −EIz v для изгибаемых брусьев.

Задача о напряженно-деформированном состоянии оболочки статически неопределима. Однако система уравнений (3.22)–(3.24) содержит только обыкновенные производные от искомых функций и имеет сравнительно простую структуру, что позволяет получить замкнутое решение задачи. Такое решение ниже будет получено для случая, в котором нагрузка прикладывается по нормали к срединной поверхности оболочки, т. е. при qx ≡0.

Согласно первой из формул (3.22), при qx = 0 выполняется равенство N1 = N0, где N0 – константа, имеющая смысл осевой силы, равномерно распределенной по кольцевым торцам оболочки. Все остальные усилия могут быть выражены через перемещение un, которому отводится роль функции напряжений. И в самом деле, из вторых формул в зависимостях (3.23) и

Если теперь во второе из уравнений (3.22) подставить усилие N2, а поперечную силу Q1 заменить производной dM1/dx согласно последнему из равенств (3.22), то с перемещением un окажется связанным и изгибающий момент M1:

данное уравнение можно записать в канонической форме:

Подобное уравнение встречалось в задаче об изгибе балки на упругом основании (см. п. II.4.3). Его интеграл

un = e−βx(C1 sin βx+C2 cos βx)+eβx(C3 sin βx+C4 cos βx)+u (3.29)

содержит частное решение u , которое при qn = const имеет вид:

Пусть цилиндрическая оболочка загружена по начальному торцевому сечению равномерно распределенной моментной нагрузкой интенсивностью M0 (рис. 3.11). Ясно, что по мере удаления от сечения x = 0 усилия и перемещения в оболочке должны уменьшаться. Это возможно лишь при условии, что в представлении (3.29) отсутствует экспонента eβx, которая с ростом x неограниченно возрастает. Чтобы удовлетворить этому требованию, надо принять C3 = C4 = 0. Если же учесть, что в рассматриваемой задаче и qn = N0 = 0, то формула (3.29) для перемещения un станет проще:

N2 = Eh(C1f1 + C2f2), M1 = 2Dβ2(C1f2 − C2f1), M2 = νM1, (3.31)

Q1 = −2Dβ3[C1(f1 + f2) + C2(−f1 + f2)].

Постоянные C1 и C2 должны быть такими, чтобы при x = 0 изгибающий момент M1 равнялся заданной величине M0, а поперечная сила Q1 отсутствовала:

M1 = M0(f1 +f2), Q1 = −2M0βf1, M2 = νM1.

Константа β дается формулой (3.27), так что решение задачи полностью определено.

Эпюры усилий M1(x), Q1(x) и N2(x) для оболочки с параметрами ν = 0, 25 , h = R/50 представлены на рис. 3.12. Они отнесены к отрезку CK, идущему от загруженного края оболочки вдоль образующей цилиндра на глубину 0, 6R (см. рис. 3.11). Как видно из приводимых графиков, все усилия быстро убывают по координате ξ = x/R. Через ξ обозначены безразмерные абсциссы точек срединной поверхности, такие, что при ξ > ξ рассматриваемые усилия составляют менее 3% от их максимальных по модулю значений. Следовательно, при самоуравновешенной торцевой нагрузке

M0 усилия и перемещения (3.31a) можно считать нулевыми уже за пределами зоны, уходящей от края оболочки всего на четверть диаметра.

3.9. Краевой эффект. Как уже говорилось, если на кромках оболочки нарушены условия существования безмоментного состояния, появляются усилия и перемещения, которые на сравнительно небольшом удалении от опор становятся пренебрежимо малыми. И все же области, затрагиваемые краевым эффектом, заметно больше зон местных деформаций, порождаемых различного рода концентраторами напряжений. Для укрепления зон, в которых появляются контактные или иные местные напряжения, используются специальные приемы, основанные на готовых рецептах и полуэмпирических формулах. Но те приемы, что применяют для усиления области, ограниченной по глубине размером h, и которые не связаны с детальным изучением напряженного состояния в ней, непригодны, если область особого состояния распространяется вглубь оболочки на 10–20 толщин. В таких зонах пренебрегать подробным анализом усилий и перемещений нельзя. О том, как указанный анализ проводится, по существу, было сказано в предыдущем пункте. Дело сводится к интегрированию полной системы уравнений рассматриваемой оболочки и определению размеров области, за пределы которой краевой эффект не распространяется. Эта задача сложна даже для оболочек вращения, т. е. в случае, когда иногда возможны и аналитические решения (например, при осесимметричном нагружении).

На рис. 3.13 показан разрез цилиндрической оболочки, испытывающей внутреннее давление. Оболочка закреплена по концам при помощи подвижных вдоль оси 0x обойм. Такие опоры препятствуют перемещениям ut и un точек краев оболочки. Кроме того, на торцах нет усилий M1 и N1. Симметрия конструкции позволяет искать решение задачи при 0 ≤x ≤l/2, т. е. только для левой половины цилиндрического тела оболочки. Дело сводится к интегрированию уравнения (3.28) при qn = p и N0 = 0. Реше-

ние дается формулой (3.29) при (см. зависимость (3.30))

Как и в задаче из п. 3.8, здесь надо положить C3 = C4 = 0, ибо по мере удаления от края изгибные усилия и перемещения должны уменьшаться.

M1 = 2Dβ2(C1f2 − C2f1), Q1 = −2Dβ3[C1(f1 + f2) + C2(−f1 + f2)].

При x = 0 перемещение un невозможно и потому C2 = −pR2/(Eh). Кроме того, на краю оболочки нет усилия M1, что дает C1 = 0. Таким образом,

Можно напомнить, что число β определяется формулой (3.27). Эпюры усилий M1, Q1 и N2 приведены на рис. 3.14. Они построены на отрезке [0, 0, 6 R] для оболочки, у которой h = R/50 (см. также рис. 3.11 и рис. 3.12). Продольная сила N2 уже при ξ = 0, 37 мало чем отличается от значения pR, полученного при решении безмоментной задачи (формула (3.16)3). То же можно сказать и о перемещении un: при ξ ≥0, 37 оно практически совпадает с величиною (3.32), т. е. с решением (3.17)2 соответствующей безмоментной задачи.

Сопоставление продольной силы N2 и перемещения un, принадлежащих решению (3.33), с величинами N2, un, отвечающими безмоментному решению, наводит на мысль о том, что результат (3.33) можно получить и по иной схеме. Эта схема основана на разделении состояния оболочки на безмоментное и краевой эффект и проведении вычислений в три этапа. На первом этапе получают усилия и перемещения от заданного воздействия в