Основы механики твердого деформируемого тела

На рис. 3.19 изображен элемент ds опорного контура S пластины и указаны векторы ϕ1, ϕ2 углов поворота этого элемента относительно осей 0x1, 0x2. Через t и n обозначены касательная и нормаль к линии S в точке, принадлежащей элементу

ds. По этому рисунку видно, что dx1 = ds cos α, dx2 = ds sin α и

ϕ1dx1 − ϕ2dx2 = (ϕ1 cos α − ϕ2 sin α)ds = ϕtds,

где ϕt – угол поворота рассматриваемого элемента относительно касательной t к контуру плиты, т. е. в направлении нормали к линии S. Таким образом (см. формулу (3.16b)),

Стало быть, работа A целиком определяется углами наклона поверхности прогиба на контуре плиты в направлении, ортогональном к этому контуру, и никак не зависит от вида функции w(x, y) во внутренних точках плиты.

Следует подчеркнуть, что сказанное выше относится только к случаю, когда кривизна κ2, определяющая работу (3.16), не меняет своего знака.

Особенно просто задача о предельной нагрузке решается для шарнирно опертых железобетонных плит, имеющих полигональный контур. Для таких плит эпюра прогибов в состоянии предельного равновесия имеет вид пологого многогранника (рис. 3.20). Работа предельных моментов, действующих на каждую грань со стороны линий излома (пластических шарниров) может

быть вычислена по формуле

A = MT Θili,

где Θi – двугранный угол перелома в ребре i многогранника, li – длина этого ребра. Однако удобнее пользоваться равенством (3.17), которое в рассматриваемом случае имеет следующий вид:

A = MT ϕiai. (3.17a)

Через ϕi обозначен угол наклона грани, которая примыкает к стороне i (длинною ai) опорного контура плиты.

где Si – статический момент нагрузки qi(x, y), что расположена на примыкающей к опираемой стороне i грани, взятый относительно этой стороны. Возможность использования формулы (3.18) объясняется тем, что в рассматриваемом многограннике не может быть граней, которые одной стороной не выходили бы на опорный контур пластины.

И в самом деле, если среднюю часть эпюры прогибов срезать горизонтальной плоскостью Π–Π так, как это показано на рис. 3.20, то величина работы (3.17a) не изменится, тогда как работа (3.18) внешней нагрузки станет меньше, ибо уменьшится объем эпюры прогибов. В результате значение параметра нагружения увеличится, тогда как в действительном состоянии предельного равновесия такое значение должно быть минимальным.

Таким образом (см. формулы (3.17a), (3.18) при A = B),

P = MT ϕiai (3.19)

ϕiSi

и искомое значение предельной нагрузки можно найти, минимизируя функцию (3.19) по параметрам ϕi. Тогда

При малых прогибах и углах поворотов граней подчеркнутое слагаемое можно отбросить как имеющее первый порядок малости по сравнению с конечной величиной Si. Это дает

В последнем равенстве правая часть постоянна: она определяется только заданной нагрузкой, заданным опорным контуром пластины и фиксированной эпюрой прогибов. Значит,

где C – константа. Следовательно, в действительном предельном состоянии пластины отношение статического момента нагрузки qi, расположенной на

грани i эпюры прогибов, к длине опираемой стороны этой грани для всех граней одинаково. Тогда

и величины a, S могут быть взяты по любой из граней эпюры прогибов. Из только что доказанного положения, в частности, следует, что в пла-

стине, нагруженной сосредоточенной силой, эпюра прогибов представляет собой пирамиду с вершиной в точке приложения силы. Только в этом случае силу P удастся распределить между гранями так, чтобы выполнилось условие (3.20).

В заключение несложный пример. Пусть прямоугольная в плане железобетонная плита, шарнирно опертая по контуру, несет равномерно распределенную нагрузку, предельное значение которой требуется определить. В качестве параметра нагружения выбирается интенсивность q указанного воздействия, поэтому q = 1. Форма эпюры прогибов пластины в предельном состоянии приведена на рис. 3.21.

Согласно условию (3.20),

где S1 – статический момент площади треугольника 1 относительно стороны a1 = b, S2 – статический момент площади трапеции 2 относительно стороны a2 = l. Очевидно,

Остается установить значение предельной нагрузки по формуле (3.19a):

Ясно, что простота решения задачи объясняется симметрией плана конструкции относительно двух осей. При наличии только одной такой оси симметрии (рис. 3.22) пришлось бы для нахождения

параметров c1 и c2, определяющих эпюру прогибов пластины, составить два уравнения (см. формулу (3.21)):

Эти уравнения не линейны, но они конечны. С увеличением числа вершин опорного плана плиты вы-

числительные трудности возрастают, но в любом случае с дифференциальными уравнениями, без обращения к которым никакая задача упругого расчета плит не обходится, здесь иметь дела не придется. Объясняется это тем, что после образования пластических шарниров конструкция превращается в механизм, который находится в состоянии равновесия под действием внешних сил и предельных изгибающих моментов. Следовательно, задача отыскания предельной нагрузки на конструкцию является статически определимой. Именно по этой причине в формулы (3.17)–(3.20), определяющие весь ход решения задачи, и не входят в явном виде физические и механические характеристики материала.

ГЛАВА 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОБОСНОВАНИЕ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

4.1. Исходные положения. Ни в одном из предыдущих разделов курса не приходилось иметь дела с таким большим числом предположений, допущений и догадок, какое оказалось необходимым при построении теории пластичности. Поэтому нет ничего удивительного и в том, что эксперименты, призванные подтвердить либо опровергнуть гипотетические построения, также весьма разнообразны и многочисленны. В настоящем пособии не предполагается заострять внимание на деталях проводимых опытов. При обсуждении принципиальных положений теории пластичности больший´ интерес представляет не описание образцов, испытательных машин, измерительных приборов и техники проведения экспериментов, а формулировки вопросов, которые задавали себе исследователи, и то, какие ответы на эти вопросы они получали.

Обсуждению подлежат кратковременные испытания трубчатых образцов, выполненных из различных пластических материалов. Следует напомнить, что о режиме проведения краткосрочных опытов говорилось в п. I.4.1. Правда, там шла речь об экспериментах, связанных с изучением осевой деформации. Для таких экспериментов требуются образцы, имеющие форму массивных тел, тогда как образцы, используемые в опытах по пластическому течению, изготавливаются из тонкостенных труб. Они подвергаются осевому растяжению или сжатию, кручению и внутреннему давлению. Сочетая эти воздействия в различных комбинациях, получают самые разнообразные виды напряженно-деформированного состояния. При реализации простого нагружения внешние нагрузки меняют так, чтобы интенсивности напряжений при каждом из воздействий оставались пропорциональными друг другу.

Прежде всего надо понять причину, по которой именно описанным выше форме образцов и видам воздействий на них отдается предпочтение в опытах по пластическому деформированию материалов. Для этого следует подробно обсудить каждый из названных способов нагружения образца. Осевая сила, приложенная центрально, создает в базовой части образца однородное напряженное состояние при любой форме поперечного сечения бруса. Но проще всего обеспечить центральное загружение для брусьев с

Из этих формул следует, что напряжения σr можно не учитывать, ибо |σr | σθ . Таким образом, и при нагружении внутренним давлением от нуля отличается только одно главное напряжение σθ .

С увеличением нагрузки пластические деформации охватывают сначала зону, примыкающую к внутренней стороне трубы, где максимальны напряжения σθ . Но до тех пор, пока нарастающее воздействие сдерживается упругой областью образца, разрушения не происходит. Оно наступит тогда, когда предела текучести напряжения σθ достигнут и с наружней стороны трубы. Их уровень в эксперименте находят по замеренному давлению p:

Кроме того, в опыте фиксируется изменение радиуса R, что дает возможность вычислить деформацию в окружном направлении.

Для того, чтобы добиться однородности напряженного состояния при кручении, необходимы образцы из тонкостенных труб: касательные напряжения кручения τкр можно считать постоянными по толщине стенки сечения только тогда, когда эта толщина мала по сравнению с радиусом трубы (см. п. II.7.6). В этом случае напряжения τкр определяются по формуле (II.7.31a) однозначно:

В экспериментах, помимо величины Mкр, фиксируется угол закручивания ψ образца, которому равен угол сдвига γ:

Через θ1, θ2 обозначены замеренные абсолютные углы закручивания двух поперечных сечений, отстоящих друг от друга на расстоянии h.

Таким образом, при любых сочетаниях осевой силы P , крутящего момента Mкр и внутреннего давления p напряженное состояние в окрестности любой точки, принадлежащей телу тонкостенного трубчатого образца, является двумерным (плоским). Это видно по рис. 4.3, на котором выделенный из трубы элемент показан вместе с приложенными к нему напряжениями.

Наиболее удобно исследовать сложное напряженное состояние при действии осевой

силы и внутреннего давления. В этом случае напряжения σx и σθ являются главными, а их значения вычисляются по формулам (4.1) и (4.3) после снятия показаний манометров, фиксирующих уровень нагрузок P и p. В эксперименте снимаются также тензометрические данные, по которым устанавливают удлинения продольных волокон базовой части образца. Замеряется и диаметр D поперечного сечения деформированной трубы с тем, чтобы по разности D −D можно было судить об ее окружной деформации.

При действии продольной силы и крутящего момента, крутящего момента

ивнутреннего давления либо одновременного действия всех трех перечис-

ленных нагрузок измеряемые деформации – продольная εx и окружная εθ – не будут уже главными. Перерасчет деформаций εx и εθ в деформации ε1

иε2 выполняется с учетом найденного в опыте угла сдвига (4.5) обычным образом (см., например, п. 2.7).

Трехмерное (объемное) напряженное состояние изучается в экспериментах при помощи трубчатых образцов со средней толщиной стенки: δ ≈R/5. В этом случае напряжения τкр распределяются по толщине стенки более или менее равномерно, а напряжения σr уже оказывают некоторое влияние на общее напряженное состояние тела. У наружной поверхности напряжения σr отсутствуют в любом случае, так что объемная деформация имеет место только во внутренних точках образца. Наиболее опасными являются точки, расположенные на внутренней поверхности трубы, недоступной для установки измерительных приборов. Поэтому о возникающих в опасных точках деформациях судят косвенно, замеряя изменения наружных размеров образца и делая соответствующие перерасчеты.

После того, как материал переходит в состояние текучести, приходится принимать во внимание некоторые факторы, связанные с развитием необратимых деформаций. Один из них – развитие шейки. Уже при остаточной деформации в 0, 5% необходимо в расчетных формулах использовать не обычные напряжения σ и деформации ε, а так называемые истинные напряжения σ и истинные деформации ε, которые получают с учетом уменьшения площади поперечного сечения образца.

Пусть l, R, δ – начальные длина, наружный радиус и толщина стенки базовой части образца, а l , R , δ – значения тех же геометрических параметров по завершению испытания. Из шести указанных размеров нельзя непосредственно замерить (не разрушая образец) только величину δ . Пусть, далее, V , F – начальные объем и площадь поперечного сечения базовой части образца, а V , F – значения тех же величин после окончания опыта. Очевидно,

F = πδ(2R−δ), V = F l; F = πδ (2R −δ ), V = F l .

Объем тела при пластическом деформировании не меняется, поэтому величины V и V должны равняться друг другу:

V /π = δ (2R −δ )l или δ2 − 2δ R + V /πl = 0.

Следовательно,

δ = R − R2 − V /πl .

Теперь истинные значения σx, σθ , τ кр искомых напряжений вычисляются однозначно (см. формулы (4.1), (4.3), (4.4)):

где ∆ – измеренное удлинение продольных волокон образца. Таким образом, надо сначала найти отношение ε = ∆/l, а затем найти истинную продольную деформацию по формуле

Величину (4.7) называют также логарифмической деформацией. При очень больших пластических деформациях соотношение

ε1 + ε2 + ε3 = 0

выполняться не будет. О несжимаемости материала в этом случае судят по

соблюдению равенства

ε1 + ε2 + ε3 = 0.

Сказанного выше достаточно для того, чтобы читать с пониманием оставшуюся часть настоящей главы.

4.2. Экспериментальная проверка условий начала текучести. В главе 2 были рассмотрены два самых распространенных условия начала пластичности, связанные с именами Треска, Сен-Венана, Губера и Мизеса. Выдвигались и иные гипотезы о причинах, запускающих механизм пластического деформирования материалов, поэтому вопрос о том, какой из этих гипотез (и в каких случаях) следует отдавать предпочтение, не мог не возникнуть. Получить на него ответ, не прибегая к опытам, было нельзя, поэтому по-