6 Обработка экспериментальных данных

Записываемые на осциллограмме значения давления в гидроцилиндре стрелы и углов поворота стрелы и гидроцилиндра стрелы являются случайными величинами, поэтому рассчитываемые по приведенным выше формулам значения иh также явля­ются случайными величинами, между которыми необходимо устано­вить связь.

Наиболее простым способом первичного определения связи между двумя случайными величинами является способ графического изображения результатов, наблюдений. Откладывая по оси абсцисс значения одной величины, а по оси ординат - соответствующие им значения другой величины, получаем группу точек. Если между изучаемыми величинами есть связь, в расположении точек намечается некоторая закономерность. Количественная оценка этой связи выражается в математической, статистике коэффициентом корреляции и корреляционным отношением.

Коэффициент корреляции характеризует линейные корреляционные связи и определяется по формуле

,

где r - коэффициент корреляции;

xy - сумма произведений отклонений отдельных вариант той и другой

случайной величины от соответствующих им средних арифметических;

x2, y2 - суммы квадратов отклонений отдельных вариант от своего сред-

него арифметического.

Коэффициент корреляции колеблется по обе стороны от нуля до абсолютного максимального значения, равного единице. Чем ближе коэффициент корреляции к единице, тем больше связь между изу­чаемыми случайными величинами.

Корреляционное отношение служит количественной оценкой криволинейных корреляционных связей и вычисляется по формуле:

,

где  - корреляционное отношение;

 Y2 - сумма квадратов отклонений отдельных вариант от сред­него

арифметического;

2 - сумма квадратов отклонений отдельных вариант от их групповых средних, соответствующих определенным значениям другой случайной величины.

Корреляционное отношение всегда величина положительная и всегда несколько больше коэффициента корреляции, так как оно характеризу­ет «тесноту» связи вне зависимости от формы связи. При строго линейной корреляции абсолютные численные значения коэффициента корреляции и корреляционного отношения равны между собой. Способы вычисления коэффициента корреляции и корреляционного отношения описаны в специальной литературе по математической статистике, библиография которой достаточна широка.

На практике идеальные прямолинейные связи встречаются редко, все связи в той или иной мере криволинейны.

Для научного исследования и практики важно не только установить связь между величинами, но и выразить эту связь в виде уравнения, при помощи которого в дальнейшем можно было бы судить о вероятном значении одной величины по значению другой величины, не проводя каждый раз новых опытов.

Установление корреляционного уравнения сводится к определению типа уравнения и вычислению коэффициентов, входящих в это уравнение.

Тип корреляционного уравнения можно установить при графичес­ком изображении результатов в прямоугольных координатах.

Для этого берутся фиксированные значения угла , а для вычисляются ее средние значения по трем опытам, соответствующие фиксированным значениям. По полученным данным на графике строится ломаная линия, характер которой позволяет выб­рать в качестве типа уравнения параболу второго или высшего порядка.

Основным способом вычисления коэффициентов корреляционного уравнения является способ наименьших квадратов. Сущность этого способа заключается в том, что сумма квадратов расстояний экспериментальных точек от наиболее вероятной кривой является наименьшей.

Рассмотрим применение способа наименьших квадратов для опре­деления параметров уравнения параболы второго порядка:

,

где ;х = 0.

Прежде всего составим ориентировочную таблицу из трех строчек и четырех столбцов (таблица 1).

Таблица 1 – Ориентировочная таблица

Обозначения	х2	х	I	у
х2	х4	х3	х2	х2у
х	х3	х2	х	ху
I	х2	х	I	у

Если не принимать во внимание повторения, то в таблице имеется восемь разных выражений (х4, х3, х2, х, х2у, ху, у и I), из которых одно - единица, не представляющая интереса для вычислений. Остальные семь выражений необходимо вычислить для всех пяти пар эмпирических данных, чтобы иметь возможность опре­делить численные значения параметров. Все необходимые вспомогатель­ные вычисления делаем в особой расчетной таблице (таблица 2).

Таблица 2 - Расчетная вспомогательная таблица

№ пп	х	у	х2	х3	х4	х2у	ху
1
2
3
4
5
	х	у	х2	х3	х4	х2у	ху

После этого снова строим ориентировочную таблицу и переносим в нее из расчетной таблицы суммы соответствующих выражений (таблица 3).

Таблица 3 - Окончательный вид ориентировочной таблицы

х4	х3	åх2	х2у
х3	åх2	åх	ху
х2	åх	n	у

В таблице 3 n - число наблюдений, n = 5.

С помощью таблицы 3 составим уравнения для определения числовых значений параметров а, в и с:

;

;

.

Решая эти уравнения совместно, определим численные значения параметров. Искомое корреляционное уравнение получим при подстановке полученных значений параметров в уравнение параболы .

Пригодность полученного уравнения оцениваем путем сравнения экспериментальных данных с данными, вычисленными по этому уравнению (допускается разница 7-10 %). При большой разнице выбирается другой тип корреляционного уравнения.

По полученному корреляционному уравнению строится график зависимости в результате анализа, которого делается вывод о характере изменения усилия подъема одного конца дерева в зависимости от высоты подъема.

Лобанов Валерий Николаевич