Розділ 2. Елементи статистики

Лекція 1. Основні статистичні поняття

2.1.1. Статистичний і термодинамічний методи вивчення макро-скопічних систем.

2.1.2. Імовірність. Середні значення фізичних величин. Функція розподілу.

2.1.3. Фазовий простір. Комірка фазового простору. Число станів у просторі імпульсів. Густина станів для вільної частинки.

2.1.1. Статистичний і термодинамічний методи вивчення макро-скопічних систем

Молекулярна фізика вивчає явища, які є результатом сукупної дії величезної кількості частинок. Явища, в яких бере участь велика кількість частинок, підпорядковуються статистичним закономірностям. Статистика використовує середні значення фізичних величин, які визначають поведінку і властивості кожної окремої молекули. Введення середніх значень фізичних величин обумовлене не лише тим, що неможливо стежити за рухом кожної окремої молекули, а й тим, що сукупність великої кількості молекул має нові властивості, які не властиві кожній окремій молекулі.

Вивчення властивостей макроскопічних систем в стані термодинамічної рівноваги відноситься до термодинамічних методів. У цьому випадку мікропроцеси в великих молекулярних системах не розглядаються. Термодинаміка опирається на два начала – фундаментальні закони, які одержані шляхом узагальнення великої кількості експериментальних фактів. Термодинаміка використовує такі поняття як тиск, об’єм, температура, кількість теплоти, внутрішня енергія та інші.

Обидва методи статистичний і термодинамічний мають право на існування і доповнюють один одного.

Існує певний якісний і кількісний зв’язок між властивостями сукупності молекул і середніми значеннями їх фізичних властивостей, які характеризують поведінку та властивості кожної окремої молекули. Так температура газу пов’язана з середніми значеннями кінетичної енергії молекул. Для встановлення такого зв’язку немає потреби точно знати положення або швидкість кожної окремої молекули, а достатньо знати їх найбільш імовірні значення.

Категорії імовірності відіграють значну роль і тісно пов’язані з пізнанням внутрішніх властивостей і розкриттям внутрішньої структури молекулярних об’єктів. Вивчення властивостей та аналіз фізичних систем неодмінно пов’язано з введенням імовірностей і застосуванням імовірнісних методів. Тому статичні закономірності є об’єктивною необхідністю вивчення різноманітних молекулярних систем.

2.1.2. Імовірність. Середні значення фізичних величин. Функція розподілу

Виникнення тих чи інших випадкових подій характеризується їх імовірністю. Імовірність W_i того, що при вимірюванні фізична величина х має певні значення х_і, визначається границею відношення числа виникнення певних значень х_і до загального числа N всіх вимірювань, при умові, що число таких вимірювань зростає до нескінченності

, (2.1.1)

де N_i – число виникнення певних значень х_і; N – загальне число всіх вимірювань, серед яких може з’явитись певне, очікуване значення.

Знаючи імовірності виникнення різних результатів вимірювання, можна знайти середнє значення даної фізичної величини. Якщо фізична величина х може мати набір певних значень х₁, х₂, х₃, ... , х_і (дискретний спектр), то

, (2.1.2)

Поділимо систему значень величини х на інтервали однакової ширини а, де а – порівняно мала величина. В цьому випадку будуть одержані інтервали значень величини х, як 0<х<а, а<х<2а, 2а<х<3а, тощо. Нехай імовірність того, що результати вимірювання деякої фізичної величини х виявляться в інтервалі 0<х<а дорівнює ∆W₁; в інтервалі а<х<2а – ∆W₂; в інтервалі 2а<х<3а – ∆W₃, тощо. Побудуємо гістограму одержаних імовірностей ∆W₁, ∆W₂, ∆W₃, ... , ∆W_n вздовж осі значень х (рис. 2.1).

Площа заштрихованої частини на рис. 2.1а відповідає імовірності ∆W_х попадання числа вимірювань величини х в інтервал від х до х+а. Вся площа гістограми відповідає одиниці. Чим менша ширина а, тим точніше визначається розподіл імовірностей вимірювання величини х. У випадку, коли а→0, ступінчата лінія гістограми перетворюється на гладеньку криву, яку називають функцією розподілу імовірностей і позначають f(x) (рис. 2.1 б). В цьому випадку заштрихована смужка відповідає імовірності того, що результати вимірювань виявляться в межах від х до х+dx, тобто

, (2.1.3)

де f(x) – функція розподілу імовірностей вимірювання деякої фізичної величини х в межах значень цієї величини, тобто

. (2.1.4)

а)

б)

Рис. 2.1 а, б

Площа, обмежена функцією розподілу f(x), подібно до площі гісто-грами, також нормована на одиницю, тобто

. (2.1.5)

Слід мати на увазі, що величиною х можуть бути будь-які фізичні величини, наприклад, швидкості газових молекул, значення кінетичних енергій молекул, імпульсів молекул, тощо. Тому середнє значення довільної величини х можна отримати, якщо відома її функція розподілу, тобто

. (2.1.6)

Аналогічно знаходять середнє значення довільної функціональної залежності φ(х), якщо відома функція її розподілу f(x), тобто

(2.1.7)