2.1.3. Фазовий простір. Комірка фазового простору. Число станів у просторі імпульсів. Густина станів для вільної частинки

Фазовим простором окремого мікростану називають сукупність узагальнених координат і проекцій узагальнених імпульсів на ці координати. Якщо частинки системи розглядати як матеріальні точки, то розмірність фазового простору одного мікростану дорівнює 6, тобто визначається числом трьох координат х, y, z і трьох проекцій імпульсів р_x, р_y, р_z. В цьому випадку тобто вектори всіх цих параметрів взаємно перпендикулярні. Для системи із N частинок розмірність фазового простору визначається числом 6N.

Фазовий простір, який відповідає мікростану частинки в одновимірному випадку можна зобразити точкою М (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Фазовий простір квантової частинки в одновимірному випадку з урахуванням хвильових властивостей можна зобразити площинкою, сторони якої відповідають невизначеностям Δх і Δр_х (рис. 2.3).

Рис. 2.3

Найменша частина фазового простору, яка відповідає одному мікростану, називається елементарною коміркою фазового простору. В тривимірному випадку елементарна комірка фазового простору має вигляд шестивимірного паралелепіпеда, об’єм якого з урахуванням співвідношень невизначеностей , , , дорівнює

, (2.1.8)

де – об’єм простору, в межах якого перебуває частинка; – об’єм фазового простору в просторі імпульсів.

В загальному випадку фазовий простір одного мікростану має об’єм . Однак в одному мікростані може перебувати кілька квантових частинок. Їх число визначається спіном, тобто в одному мікростані може перебувати 2s+1 частинка (s – спін частинки).

Об’єм фазового простору одного квантового стану менший в 2s+1 рази від об’єму комірки фазового простору

, (2.1.9)

де s – спін квантової частинки.

В залежності від спіну квантової частинки в одній елементарній комірці фазового простору одночасно можуть перебувати два електрони (s=½), або три дейтрони (s=1), або один фотон (s=0).

Відомо, що більшість властивостей твердих тіл визначається станом валентних електронів і їх розподілом за енергіями. Розглянемо деяку енергетичну зону валентних електронів. Кількість електронів dN(E), енергія яких перебуває в межах від довільного значення Е до Е+dE прямо пропорційна кількості квантових станів dГ, які відповідають даному інтервалу енергій

, (2.1.10)

де f(E) – функція розподілу, яка відповідає імовірності заповнення відповідних квантових станів частинками.

В свою чергу кількість квантових станів dГ (рис 2.4) пропорційна інтервалу енергій dЕ, тобто

, (2.1.11)

де g(E) – густина квантових станів, яка визначає число квантових станів на одиничний інтервал енергії.

В цьому випадку з урахуванням (2.1.10) і (2.1.11) одержуємо:

(2.1.12)

Рис 2.4

Для визначення числа електронів у виділеній частині енергетичної зони від Е до Е+dЕ слід знати функцію розподілу f(E) і густину квантових станів в цій частині енергетичної зони g(E). З функцією розподілу квантових станів f(E) ознайомимось трохи пізніше.

Густина квантових станів g(E) в загальному вигляді поки не знайдена. Однак для тієї частини енергетичної зони, для частинок якої відомі прості залежності між їх імпульсами й енергіями, густину квантових станів g(E) знаходять із співвідношення (2.1.11)

. (2.1.13)

Рис. 2.5

Число квантових станів dГ можна знайти, скориставшись простором імпульсів (рис. 2.5), в якому роль радіуса вектора відіграє вектор імпульсу . Якщо в такому просторі виділити сферичну поверхню радіусом з центром в точці 0, то ця поверхня стане геометричним місцем частинок з енергіями Е.

Всі квантові стани з енергіями від Е до Е+dЕ перебуватимуть у тонкому сферичному шарі товщиною dP. Для одержання числа квантових станів dГ слід розділити об’єм виділеного сферичного шару в просторі імпульсів 4πр²dр на об’єм одного квантового стану в просторі імпульсів dV_P (2.1.9), тобто

. (2.1.14)

Густина квантових станів у цьому випадку буде дорівнювати:

, (2.1.15)

де s – спін частинки; р – імпульс частинки; dV – об’єм простору, в якому перебуває частинка; – проста залежність імпульсу частинок від їх енергії.

Приклади:

а). Густина квантових станів електронного газу в металі.

Для металу і , тому:

.

б). Густина квантових станів фотонного газу.

Для фотонів s=0 і , де с – швидкість світла, тому:

.

Лекція 2. Класичні розподіли

2.2.1. Розподіл Максвелла ― Больцмана та його аналіз.

2.2.2. Розподіли Больцмана. Барометрична формула.

2.2.3. Розподіл Максвелла молекул за швидкостями. Найбільш імовірна швидкість молекул. Середня і середньоквадратична швидкості газових молекул.

2.2.1. Розподіл Максвелла ― Больцмана та його аналіз

Класичний розподіл Максвелла ― Больцмана можна одержати скориставшись квантовим розподілом Фермі ― Дірака і густиною станів. Запишемо ці вирази :

(2.2.1)

де – імовірність заповнення квантових станів частинками; E – повна енергія частинок;  ― хімічний потенціал;

(2.2.2)

де ― густина станів в енергетичній зоні; s ― спін мікро- частинки; р ― імпульс мікрочастинок; dV – об’єм мікростану в просторі координат; – похідна імпульсу за енергією; h – стала Планка.

Якщо Т >> 0, то >>1. В цьому випадку формула (2.2.1) переписується так:

(2.2.3)

Повну енергію Е в цьому випадку виразимо через кінетичну енергію  і потенціальну енергію U, тобто

(2.2.4)

З урахуванням (2.2.4) вираз (2.2.3) матиме вигляд

(2.2.5)

Знайдемо число частинок в системі, скориставшись таким співвідно-шенням

(2.2.6)

де А – деяка константа; g(E) – густина станів в енергетичній зоні; f(E) – імовірність заповнення цих станів мікрочастинки; dE – ширина енергетичного інтервалу.

Підставимо в (2.2.6) значення g(E) і f(E), одержимо

(2.2.7)

де враховано, що .

З правого боку виразу (2.2.7) чітко спостерігається поділ на дві частини, одна з яких залежить лише від потенціальної енергії частинок системи, а друга лише від кінетичної енергії. Вираз (2.2.7) називають класичним розподілом Максвелла ─ Больцмана.