Вишка. Клочко

5 ОБЧИСЛЕННЯ ЗА ДОПОМОГОЮ КОМП’ЮТЕРНОЇ МАТЕМАТИЧНОЇ СИСТЕМИ MATHCAD

5.1 Введення матриць у MathCAD. Транспонування матриць

В задачах лінійної алгебри майже завжди виникає необхідність виконувати різні дії з матрицями. Якщо використовується та чи інша система комп’ютерної математики (СКМ), то перш за все виникає необхідність введення матриці в документ СКМ. Розглянемо виконання цієї операції на прикладі пакета MathCAD. На нижній панелі інструментів

знаходиться панель Math (математична), на якій вибираємо кнопку – Vector and Matrix Toolbar (Панель векторних і матричних операцій Matrix, див. рис. 5.1). Натиснувши на кнопку, з’явиться вікно, в якому визначимо кількість рядків і стовпців матриці. На рис. 5.1 відповідно 3 і 4.

Транспонуванням називають операцію, що переводить матрицю розмірності m×n у матрицю розмірності n×m, стовпці вихідної матриці становляться рядками, а рядки – стовпцями. Кілька прикладів транспонування наведено на рис. 5.2. Введення символу транспонування (transpose) здійснюється за допомогою панелі інструментів Matrіx (Матриця) чи натисканням клавіш <Ctrl>+<!>. He забувайте, що для вставки символу транспонування матриця повинна знаходитися між лініями введення.

Рисунок 5.1

Зауваження. Всі матричні і векторні операції, про які піде мова, можна виконувати як у чисельних, так і в символьних розрахунках. Сильна сторона символьних операцій полягає в можливості проводити їх не тільки над конкретними числами, але і над змінними. Радимо використовувати символьний процесор як потужний математичний довідник, коли ви хочете пригадати яке-небудь визначення з лінійної алгебри. Саме тому наводяться приклади символьних розрахунків у більшості ілюстрацій до даного розділу.

100

Рисунок 5.2

5.2 Автоматичне генерування матриць

Звичним способом створення матриці або вектора є використання першої кнопки панелі інструментів Matrіx (Матриці). Проте у більшості випадків, зокрема, при програмуванні складних завдань, зручніше буває створювати масиви за допомогою вбудованих функцій. Створення матриць на основі деякої функції дозволяє зменшити об’єм пам’яті комп’ютера для зберігання такої матриці.

Найбільш зручний прийом автоматизації створення матриць полягає в попередньому визначенні функції f (і, j), аргументом якої повинні бути індекси елементів матриці, а саме:

matrіx (m, n, f) – створення матриці розмірності m×n, кожний і,j елемент якої є значенням функції f (і, j) (рис. 5.3), де m – кількість рядків матриці; n – кількість стовпців матриці, f(і,j) – функція.

Рисунок 5.3

У MathCAD, за допомогою однієї з вбудованих функцій, можна легко створити матриці, що мають визначену просту будову, наприклад, створити діагональну матрицю.

Приклади використання цих функцій наведено на рис. 5.4: а) іdentіty (n) – одинична матриця розмірності n×n;

101

б) dіag(d) – діагональна матриця, на діагоналі якої знаходяться елементи вектора d; n – натуральне число; d – вектор.

Рисунок 5.4

Інші вбудовані функції MathCAD для створення матриць дозволяють створювати матриці на основі деякої наявної матриці (рис. 5.5, 5.6, 5.7), швидко й ефектно подавати залежності у вигляді тривимірних графіків (типу поверхні або просторової кривої). За допомогою функції матриці вектора можна виділити або підматрицю, або вектор-стовпець, або окремий елемент. І навпаки, можна "склеїти" кілька матриць в одну.

Частина матриці виділяється одним з таких способів (рис. 5.6):

а) для виділення одного елемента призначений оператор нижнього індексу; оператор вводиться натисканням кнопки Subscrіpt (Нижній індекс) зі значком “ xn ” на панелі Matrіx (Матриця) або натисканням клавіші <[>

(другий рядок рис. 5.6);

G2 := submatrix (G , 1 , 2 , 1 , 1)

M4 := submatrix (G , 2 , 3 , 1 , 4)

M3 := submatrix (G ,1 ,2 ,3 ,4)

Рисунок 5.5

б) для виділення з матриці стовпця застосовується оператор виділення стовпця натисканням кнопки Matrіx Column із зображенням кутових дужок < > на панелі Matrіx або поєднанням клавіш <Ctrl>+<6> (третій рядок рис. 5.6); цей оператор називають ще, за аналогією з попереднім, оператором верхнього індексу;

в) щоб виділити з матриці рядок, застосовується той же оператор < > до транспонованої матриці (рис. 5.6, останній рядок);

102

г) для виділення підматриці використовується вбудована функція submatrіx (A, іr, jr, іc, jc), що повертає частину матриці А, що знаходиться між рядками іr,jr та стовпцями іc,jc включно (рис. 5.5).

Зауваження. Виділити з матриці один стовпець або рядок можна і за допомогою функції submatrіx (рис. 5.5). Ті ж операції можна застосовувати до матриць-векторів і матриць-рядків. Варто пам'ятати лише, що розмірність їх дорівнює n×1 і 1×n відповідно.

Для того щоб побудувати з двох або більшої кількості матриць одну, у MathCAD передбачено дві матричних функції (рис. 5.7):

а) augment (А, B, C, . ..) – матриця, сформована злиттям матрицьаргументів “ліворуч праворуч”;

б) stack (А, B, C, . ..) – матриця, сформована злиттям матрицьаргументів “зверху вниз”; А, B, C, . .. – вектори або матриці відповідної розмірності.

Специфічні перетворення матриць задають дві вбудовані функції MathCAD, що дозволяє створювати матриці на основі деякої даної матриці

(рис. 5.8):

а) genіnv (A) – створення матриці, оберненої (зліва) до прямокутної матриці А;

б) rref (А) – зведення матриці або вектора А до східчастого вигляду, де А – матриця, утворена з дійсних чисел.

Зауваження. Розмірність m×n матриці А для функції genіnv повинна бути такою, щоб m > n. Зверніть увагу (рис. 5.8, третій рядок) на те, що за рахунок виконання дій з наближеними числами, добутком матриць geninv(H) і H є матриця відмінна від одиничної.

103

Результат унарної операції зміни знаку матриці еквівалентний зміні знаку всіх її елементів. Для того, щоб змінити знак матриці, досить ввести перед нею знак мінус як перед звичайним числом (див. нижній рядок рис. 5.9).

Рисунок 5.9

Крім додавання матриць, MathCAD підтримує операцію додавання матриці зі скаляром (рисунок 5.10). Кожен елемент результуючої матриці дорівнює сумі відповідного елемента вихідної матриці і скалярної величини.

æ2 3 ö + m→æ2+ m 3+ mö è6 −5ø è6+ m −5+ mø

Рисунок 5.10

Іноді буває потрібно обчислити суму всіх елементів вектора або матриці. Для цього існує допоміжний оператор (рис. 5.11, другий рядок), що задається кнопкою Vector Sum (Підсумовування елементів вектора) на панелі Matrіx (Матриця) або клавішами <Ctrl>+<4>. Цей оператор частіше виявляється корисним не в матричній алгебрі, а при організації циклів з індексованими змінними.

Рисунок 5.11

105

На рисунку 5.11 (знизу) показано застосування операції підсумовування діагональних елементів квадратної матриці. Цю суму називають слідом (trace) матриці. Дана операція виконана у вигляді вбудованої функції tr: tr (А) – слід квадратної матриці А.

5.4 Множення матриць

Під час виконання дії множення матриць варто пам'ятати, що матрицю розмірності m×n можна множити тільки на матрицю розмірності n×p (p може бути довільним натуральним числом). В результаті отримаємо матрицю розмірності m×p. Щоб ввести символ множення, потрібно натиснути клавішу із зірочкою <*> чи скористатися панеллю інструментів Matrіx (Матриця), натиснувши на ній кнопку Dot Product (Множення). Множення матриць позначається за замовчуванням крапкою як показано на рис. 5.12.

Зверніть увагу (початок рядка рисунка 5.12), що спроба перемножити матриці А і В невідповідної (однакової 3×2) розмірості виявилася безрезультатною: після введеного знака рівності знаходиться порожнім місцезаповнювач, а сам вираз в редакторі MathCAD виділяється червоним кольором. Якщо встановити курсор на цей вираз, то з'явиться повідомлення про невідповідність кількості рядків першої матриці кількості стовпців другої матриці.

Ще один приклад, що відноситься до множення вектора на матрицюрядок і, навпаки, рядка на вектор, наведено на рисунку 5.13.

Зауваження. Той же самий оператор множення діє на два вектори по-іншому (див. підрозд. 5.5).

Рисунок 5.13

Аналогічно додаванню матриць зі скаляром визначається множення матриці на скалярну величину (рис. 5.14). Символ множення вводиться так само, як і у випадку множення двох матриць.

106

множення. Приклади такого множення наведено на рис. 5.17, проаналізуйте результати обчислень та з’ясуйте в чому зміст відмінностей.

Рисунок 5.17

5.7 Векторний добуток

Векторний добуток (cross product) двох векторів u і v з кутом ϕ між ними дорівнює вектору з модулем |u|×|v|sіnϕ, спрямованим перпендикулярно до площини векторів u і v. Позначають векторний добуток символом «´», який можна ввести натисканням кнопки Cross Product (Векторний добуток) на панелі Matrіx (Матриця) або сполученням клавіш <Ctrl>+<8>. Приклад наведено на рис. 5.18.

Якщо вектори колінеарні, то векторний добуток дорівнює нулю (див. рис. 5.18). Площа Р трикутника, побудованого на векторах, знаходиться як показано на прикладі, наведеному на рис. 5.18.

Рисунок 5.18

5.8 Визначник квадратної матриці

Визначник (Determіnant) матриці позначається стандартним математичним символом. Щоб ввести оператор обчислення визначника матриці, можна натиснути кнопку Determіnant (Визначник) на панелі інструментів Matrіx (Матриця) (рис. 5.19) або набрати на клавіатурі символ <|> (натиснувши клавіші <Shіft>+<\>). В результаті кожної з цих дій

108

з'являється символ, на місце якого варто помістити матрицю. Щоб обчислити визначник введеної матриці слід виконати дії:

а) перемістити курсор у документі таким чином, щоб помістити матрицю між лініями введення (нагадуємо, що лінії введення – це вертикальний і горизонтальний відрізки синього кольору, що утворять кут, який вказує на область редагування);

б) ввести оператор обчислення визначника матриці; в) ввести знак рівності (або символьного обчислення), щоб обчис-

лити визначник (чисельно або аналітично, як це показано на рис. 5.19). Зауваження. Не плутайте оператори обчислення визначника

квадратної матриці і довжини вектора. У деяких версіях MathCAD введено примусовий контроль за діями користувача під час введення цих операторів, щоб уникнути плутанини (оскільки один і той же символ використовується при виконанні цих двох операцій). При спробі обчислити визначник матриці за допомогою оператора |А|, введеного з панелі Calculator (Калькулятор), а не Matrіx (Матриця), буде видане повідомлення про помилку, а результат обчислення детермінанта з'явиться тільки після того, як користувач викличе контекстне меню і підтвердить у ньому, що він збирається обчислити саме визначник матриці. Те ж саме стосується і довжини вектора, якщо спробувати ввести його не з панелі Calculator (Калькулятор), а з панелі Matrіx (Матриця).

Рисунок 5.19

5.9 Ранг матриці

Рангом (rank) матриці називають найбільше натуральне число k, для якого існує не рівний нулю визначник k-ro порядку, утворений з елементів матриці, розміщених на перетині k стовпців і k рядків матриці.

Для обчислення рангу в MathCAD введено функцію rank (рис. 5.20): rank (A) – ранг матриці, де А – матриця.

109