Вишка. Клочко

біжуча точка поверхні обертання. Через цю точку проведемо площину, перпендикулярну до осі обертання Oz. Ця площина перетне поверхню обертання по колу, центр якого лежить на осі Oz в точці K , а плоску лінію (L) ця площина перетне в деякій точці M1. Точки K , M1 і M мають

однакову аплікату, що збігаються з аплікатою точки M . Отже, точка K має координати K (0; 0; z). Позначимо координати точки M1 через X , Y ,

Z , тобто M1(X ,Y ,Z ). Виразимо їх через координати точки M . Очевидно,

описує поверхню обертання навколо осі Oz.

Таким чином, рівняння поверхні обертання навколо осі Oz дістанемо

обертається навколо осі Ox , то рівняння цієї поверхні обертання має вигляд

Якщо ця плоска лінія обертається навколо осі Oy , то рівнянння поверхні обертання буде таким:

Звернемо увагу на те, що ознакою поверхні обертання за її рівнянням є наявність в самому рівнянні суми квадратів двох змінних координат, а третя координата не входить в таку суму. Саме ця відокремлена коорди-

80

ната і визначає вісь обертання.

Приклад 24. Скласти рівняння поверхні, утвореної обертанням навколо осі Ox прямої x − 2y = 0.

Розв’язування. В рівнянні прямої x − 2y = 0 змінну x залишимо без змін, а змінну y замінимо на ± y2 + z2 , дістанемо:

x − (± 2 y2 + z2 )= 0, x = ±2 y2 + z2 , звідки x2 = 4(y2 + z2 ) або

y2 + z2 − x2

4

обертання. Звернемо увагу на те, що рівняння конічної поверхні є рівнянням другого степеня відносно біжучих координат, в яке вони входять лише в квадратах, а вільний член відсутній, при цьому член із змінною x , яка визначає вісь обертання, входить в рівняння із знаком „мінус”.

Означення. Конічною поверхнею або конусом називається поверхня,

утворена перміщенням прямої, що проходить через одну і ту ж саму точку і задану криву, за умови, що точка не належить цій кривій.

Пряма, що переміщується, називається твірною конуса, дана точка –

вершиною конуса, а задана крива – напрямною.

Якщо вершиною конуса є початок координат, а напрямною конічної поверхні є коло або еліпс, що лежать в площині, паралельній площині xOy , а центр їх знаходиться на осі Oz, то такі конічні поверхні (рис.3.24)

описуються рівняннями

3.7.4 Поверхні обертання другого порядку Канонічні рівняння поверхонь другого порядку

Розглянемо поверхні обертання, утворені обертанням кривих другого порядку навколо однієї із їх осей симетрії. Приймемо за вісь обертання вісь Oz, а лінії, що обертатимуться, нехай лежать в площині yOz .

Цю поверхню називають еліпсоїдом обертання (рис. 3.25).

Якщо цю поверхню деформувати за допомогою рівномірного стискання або розтягання відносно однієї із її площин симетрії, то дістанемо еліпсоїд загального вигляду (рис. 3.26 )

81

яку називають однопорожнинним гіперболоїдом обертання (рис. 3.27).

Якщо цю гіперболу обертати навколо її дійсної осі Oy , то дістанемо

Цю поверхню називають двопорожнинним гіперболоїдом обертання

(рис. 3.28). Зауважимо, що перерізами цих поверхонь площинами, перпендикулярними до осі обертання, будуть концентричні кола із змінними радіусами.

Однопорожнинний і двопорожнинний гіперболоїди загального вигля-

однопорожнинного і двопорожнинного гіперболоїдів. Перерізами цих поверхонь площинами, перпендикулярними до їх осей обертання, будуть еліпси із змінними півосями (рис. 3.27 і рис. 3.28).

3. Нехай парабола y2 = 2 pz з віссю Oz обертається навколо цієї осі, тоді дістанемо поверхню обертання, рівняння якої має вигляд

82

болоїдом. Цю поверхню називають сідлоподібною (рис. 3.30).

83

4 ЗАВДАННЯ ДЛЯ ТИПОВОГО РОЗРАХУНКУ

Задача 1. Для даних матриць А і В: а) знайти 3А - 2В , АВ та ВА; б) обчислити визначники цих матриць і переконатись, що

det(AB) = det(BA) = detA× detB.

84

85

Задача 2. Для даної матриці обчислити її визначник трьома способами: а) за правилом трикутників; б) методом заповнювання нулями рядка або стовпця; в) за теоремою розкладання.

Знайти обернену матрицю, виконавши перевірку.