Вишка. Клочко

5.10 Обернена матриця

Пошук оберненої матриці можливий, якщо матриця квадратна і її визначник не дорівнює нулю. Добуток вихідної матриці на обернену за означенням є одиничною матрицею. Для введення оператора пошуку оберненої матриці необхідно натиснути кнопку Іnverse (обернена матриця) на панелі інструментів Matrіx (Матриця). На рис. 5.21 наведено приклад пошуку оберненої матриці і наступна перевірка правильності її обчислення.

Рисунок 5.21

5.11 Піднесення квадратної матриці до степеня

До квадратних матриць можна формально застосовувати операцію піднесення до степеня n. Для цього n повинно бути цілим числом. Ввести оператор піднесення матриці А до степеня n можна так само, як і для скалярної величини: натиснувши кнопку Raіse to Power (Піднести до степеня) на панелі Calculator (Калькулятор) чи натиснувши клавішу <А>. Після появи символу введення на його місце варто ввести значення степеня n. Наведемо результати даної операції: якщо n – довільне натуральне, то маємо матрицю Аn, а А0 – одинична матриця, розмірність якої збігається з розмірністю матриці А, А1 – сама матриця А, а матриця А-1 – обернена до А.

Приклади піднесення матриці до степеня наведено на рис. 5.22.

5.12 Матричні норми

У лінійній алгебрі використовуються різні векторні і матричні норми (norm), які ставлять у відповідність матриці деяку скалярну числову характеристику. Норма матриці характеризує порядок величини матричних елементів. У різних специфічних задачах лінійної алгебри застосовуються різні види норм. MathCAD має чотири вбудованих функції для обчислення різних норм квадратних матриць: norm1 (А) – норма в просторі L1; norm2

110

(A) – норма в просторі L2; norme (A) – евклідова норма (euclіdean norm); normі (A) – max-норма або ∞-норма (іnfіnіty norm), де А – квадратна матриця.

Рисунок 5.22

Приклади розрахунку різних норм двох матриць А і В, що відрізняються на два порядки елементами проілюстровано на рис. 5.23.

Рисунок 5.23

111

Зауваження. В більшості задач неважливо, яку норму використовувати. Як випливає із результатів обчислень, у звичайних випадках різні норми дають приблизно однакові значення, що відображає порядок величини матричних елементів. Конкретні формули наведено вище, їх також можна знайти в підручниках та довідниках з лінійної алгебри або в Ресурсах MathCAD.

5.13 Число обумовленості квадратної матриці

Ще однією важливою характеристикою матриці є її число обумовленості (condіtіon number). Число обумовленості є мірою чутливості системи лінійних рівнянь АХ = В, яка задається матрицею А, до похибок задання вектора В правих частин рівнянь (див. підрозд. 5.15). Чим більше число обумовленості, тим сильніше впливають похибки і тим більш нестійким є процес пошуку розв’язку лінійної системи. Число обумовленості пов'язано з нормою матриці й обчислюється по-різному для кожної з норм:

а) cond1 (А) – число обумовленості в нормі L1; б) cond2 (A) – число обумовленості в нормі L2;

в) conde (A) – число обумовленості в евклідовій нормі;

г) condі (A) – число обумовленості в ∞-нормі, де А – квадратна матриця.

Розрахунок чисел обумовленості для матриць W0, W1 і W2 показано на рис. 5.24. Зверніть увагу на те, що матриця W1 є добре обумовленою, а матриці W0 і W2 – погано обумовлені (два останні рядки близькі за значенням, з точністю до достатньо великого множника або з точністю до досить малого множника).

112

Зауваження. Матриці W0 і W2 на рис. 5.24 (див. попередній підрозд.) мають майже однакові числа обумовленості, тому що W2 =109×W0, і, отже, обидві матриці визначають ту саму систему рівнянь.

5.14 Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Сукупність рівнянь вигляду

де аij , bi (i = 1, 2, ..., m ; j = 1,2, ..., n) – деякі дійсні числа, x1, x2,..., xn –

невідомі, називають системою m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими.

Необхідними і достатніми умовами існування розв’язку системи є рівність рангів матриці системи (А) і розширеної матриці (С). Можливі два випадки:

а) r (A) = r (С) = n, тобто ранги матриці системи А та розширеної матриці збігаються і дорівнюють кількості невідомих. Тоді система рівнянь (еквівалентна початковій системі) в результаті перетворень

вона має єдиний розв’язок;

113

б) r (A) = r (С) = r < n, тобто ранги матриць рівні, але менші кількості невідомих. В цьому випадку отримаємо систему r рівнянь з n невідомими, з яких n – r невідомих вільні, система має нескінченну множину розв’язків:

На рис. 5.25 наведено приклади систем, перша з яких має єдиний розв’язок, оскільки ранг матриці системи дорівнює кількості невідомих і збігається із рангом розширеної матриці, а друга система немає розв’язку, оскільки ранги матриці системи і розширеної матриці не збігаються.

rank(A) ¹ rank(C2).

Рисунок 5.25

114

5.15 Формули Крамера

Позначимо Ajn матрицю, одержану з основної матриці А заміною j-го стовпця матриці А стовпцем, елементами якого є вільні члени { bi },

(Ak,n ):= augment(submatrix( A,1,n,1,k), B, submatrix( A,1,n,k + 2,n)).

Матриця (A1,n ) формується за формулою

(A1,n ):= augment(B, submatrix(A,1,n,2,n)) ,

а матриця ( An,n ) за формулою

(An,n ):= augment(submatrix( A,1,n,1,n -1), B) .

Далі обчислюємо відповідні визначники: D1,n , D2,n , … , Dn,n .

Приклад. Розв’язати систему рівнянь методом Крамера з використанням КМС MathCAD.

Скористаємося функціями КМС MathCAD для побудови відповідних матриць та визначників, які утворюють формули Крамера:

(D2,3 ):= augment(submatrix(A,1,3,1,1), B, submatrix(A,1,3,3,3)) ,

(D1,3):= augment(B, submatrix(A,1,3,2,3)) ,

(D3,3 ):= augment(submatrix(A,1,3,1,2), B) .

Отримаємо матриці:

Далі за формулами Крамера знаходимо розв’язок системи:

115

5.17 Завдання для самостійної роботи

Виконання нижченаведених завдань розраховано на використання КМС MathCAD.

1.На прикладі матриць третього порядку переконайтесь в тому, що сліди матриць АВ і ВА збігаються.

2.Знайдіть матрицю Х=2(АВ) – 5С та ХТ, якщо

3. Обчислити визначник матриці А для n = 2, 3, 4, 5, 6

4. За допомогою функції matrix(m, n, f) побудувати матрицю розмірності 3×4, елементи якої, що розміщуються у i-му рядку, j-му стовпці, дорівнюють значенню f(i, j) функції f(x, y) = 2x – 5y.

5. Обчислити А2, А2 – А, якщо матриця А має вигляд:

6. Дослідити систему рівнянь А .Х = В :

-знайти ранг матриці системи і ранг розширеної матриці;

-обчислити норми та числа обумовленості матриці системи. Якщо існує розв’язок системи, то:

-знайти його за формулами Крамера;

-знайти розв’язок за допомогою оберненої матриці;

-скористатись функцією lsolve(A,B);

-скористатись розв’язувальним блоком GIVEN … FIND (MINERR).

118

знайти norm2( Hn ), cond2( Hn ), max( Hn−1), проаналізувати динаміку змінювання norm2( Hn ), cond2(Hn), сформулювати висновки щодо обумовленості матриць Hn , n = 2, 3, 4, 5, 6;

г) обчислити добутки Hn HT і HT Hn ; порівняйте HT і Hn−1;

д) переконатися в тому, що вектори-стовпці матриці Hn мають одиничну довжину та попарно ортогональні, а також в тому, що виконується рівність |det Hn | = 1.

9. Дано координати вершин піраміди SАВС. Знайти: ¾ довжину ребра АВ;

¾ кут між ребрами АВ та АS; ¾ площу грані АВС; ¾ об’єм піраміди:

а) S(-5,-4,8), A(2,3,1), В(4,1,-2), С(6,3,7); б) S(1,1,2), A(2,3,-1), В(2,-2,4), С(-1,1,3); в) S(8,5,8), A(2,-1,3), В(1,0,-1), С(3,7,1); г) S(2,0,-1), A(4,5,3), В(3,8,5), С(-2,2,1); д) S(-1,4,0), A(4,1,3), В(1,6,-1), С(6,1,-1); е) S(5,0,1), A(2,5,4), В(7,2,0), С(2,7,0).

119