4. Понятие о проекциях.
П
усть
дан вектор
и ось
,
- угол между вектором
и положительным направлением оси
.
и
-
основания перпендикуляров, опущенных
из точек
и
соответственно (см. рис. 6).
Определение
15.
Проекцией
вектора на ось называется длина отрезка
оси
,
взятая со знаком плюс, если вектор
образует острый угол с направлением
оси, и со знаком минус в противоположном
случае.
Теорема
2.
Проекция
вектора
на ось
равна произведению длины вектора на
косинус угла между вектором и осью:
.
Следствие.
При умножении вектора
на некоторое число
его проекция умножается на это же число:
.
Теорема
3 (о проекции суммы).
Проекция
суммы некоторого числа векторов на ось
равна сумме проекций слагаемых векторов:
,
.
Декартова система координат.
Ортонормированный
базис образуют взаимно перпендикулярные
векторы
,
,
единичной длины, т.е.
и
.
Точка
- начало координат
.
Прямые, проходящие через начало координат
в направлении векторов
,
,
,
называются осями координат. Векторы
,
,
соответствуют положительному направлению
осей координат:
,
,
- оси абсцисс, ординат и аппликат.
Плоскости, проходящие через оси координат,
называются координатными плоскостями
,
,
(см. рис. 7).
Определение 16. Прямоугольной системой координат называется совокупность точки ( ) и ортонормированного базиса.
Определение
17.
Радиус-вектором
произвольной точки
по отношению к точке
,
называется вектор
.
Точке
можно сопоставить упорядоченную тройку
чисел (
)
- компоненты ее радиус-вектора:
и
(см. рис. 8).
О
пределение
18.
Компоненты
радиус-вектора точки
по отношению к началу координат называют
координатами точки
в рассматриваемой системе координат.
Координаты вектора совпадают с проекцией вектора на соответствующие оси координат (рис.8):
,
,
,
,
Согласно
рис. 9 имеем:
,
,
,
,
.
Пусть
вектор
задан координатами крайних точек,
и
(рис. 10).
Тогда
Следовательно,
чтобы определить координаты вектора
по координатам крайних точек, надо из
координат конца вычесть соответствующие
координаты начала:
.
Определение
19.
Пусть
- углы между вектором
и соответственно ортами
,
,
(рис. 9), тогда направляющие
косинусы
вектора
определяются по правилу:
,
,
,
Следовательно,
сумма квадратов направляющих косинусов
равна
:
.
Пример 1.
Даны точки
,
,
,
.
Найти координаты и длину
вектора
.
Решение.
Найдем координаты векторов
и
:
,
,
,
.
По правилам действий с векторами, получим:
и
}.
Теперь находим длину искомого вектора:
=
=
.
Пример 2. Даны точки , .
Найти направляющие косинусы вектора .
Решение.
Так как
,
то
и направляющие косинусы находятся
согласно формулам:
,
,
.
Связь компонент, проекций, направляющих косинусов и коэффициентов в разложении по базису.
Пусть
вектор
в пространстве
;
,
,
- ортонормированный базис в данной
системе координат,
- углы между вектором
и соответственно ортами
,
,
.
Тогда
,
где
,
,
-составляющие вектора
,
- координаты вектора
в базисе
,
,
,
,
,
.