Деление отрезка в данном отношении.
Пусть
,
.
Координаты точки
на отрезке
,
которая делит этот отрезок в отношении
,
т.е.
,
определяются по формулам:
,
,
.
Координаты
середины отрезка
соответствуют значению
и определяются как полусумма координат
концов отрезка:
,
,
.
5. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами.
Пусть
и
.
При умножении вектора на число каждая координата вектора умножается на это число:
,
,
тогда
.При сложении (вычитании) векторов их одноименные проекции складываются (вычитаются):
,
тогда
.
5.А. Скалярное произведение векторов.
Определение 20. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначается
скалярное произведение символом
или
.
Скалярное произведение векторов можно выразить формулами:
Отсюда скалярное произведение двух векторов равно произведению длины одного вектора на проекцию на него другого.
П
усть
вектор перемещения
будет неподвижен, а точка приложения
вектора силы
скользит вдоль вектора
,
тогда
есть работа, совершаемая под действием силы вдоль вектора .
П
ример
3. Вычислить, какую
работу производит сила
,
когда точка ее приложения перемещается
из
в
.
Решение.
Образуем вектор перемещения
.
Тогда работа
.
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами.
Пусть и тогда
.
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений одноименных координат.
Свойства скалярного произведения.
Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы ортогональны:
.Скалярное произведение коммутативно:
.Скалярное произведение ассоциативно относительно скалярного множителя:
.
Скалярное произведение дистрибутивно:
.
Свойство скалярного квадрата:
,
отсюда
.
Рассмотрим таблицу скалярного умножения ортов:
Скалярное произведение одноименных ортов равно единице, а разноименных - нулю.
Угол между двумя векторами.
Из определения скалярного произведения:
.
Условие ортогональности двух векторов:
Условие коллинеарности двух векторов:
.
Следует
из определения 5 -
.
Действительно, из определения произведения
вектора на число, следует
.
Поэтому, исходя из правила равенства
векторов, запишем
,
,
,
откуда вытекает
.
Но вектор
,
получившийся в результате умножения
вектора
на число
,
коллинеарен вектору
.
Проекция вектора на вектор:
.
Пример 4. Даны точки , , , .
Найти скалярное произведение
.
Решение.
найдем по формуле скалярного произведения
векторов, заданных своими координатами.
Поскольку
, ,
,
то
.
Пример 5. Даны точки , , , .
Найти проекцию
.
Решение. Поскольку
, ,
,
то
и
.
На основании формулы проекции, имеем
.
Пример 6. Даны точки , , , .
Найти угол между векторами и .
Решение. Заметим, что вектора
, ,
,
не являются коллинеарными, поскольку не пропорциональны их координаты:
.
Эти вектора не являются
также перпендикулярными, так как их
скалярное произведение
.
Найдем
,
Угол
найдем из формулы:
.
Пример 7.
Определить при каких
вектора
и
коллинеарны.
Решение.
В случае коллинеарности, соответствующие
координаты векторов
и
должны быть пропорциональны, то есть:
.
Отсюда
и
.
Пример 8.
Определить, при каком значении
вектора
и
перпендикулярны.
Решение.
Вектора
и
перпендикулярны, если их скалярное
произведение
равно нулю. Из этого условия получаем:
.
Стало быть,
.
Пример 9.
Найти
,
если
,
,
.
Решение. В силу свойств скалярного произведения, имеем:
Пример
10.
Найдите угол между векторами
и
,
где
и
- единичные
векторы и угол между векторами
и
равен 120о.
Решение.
Имеем:
,
,
Значит
Значит
Окончательно
имеем:
.