5.Б. Векторное произведение.
Определение
21.
Векторным
произведением
вектора
на вектор
называется вектор
,
или
,
определяемый следующими тремя условиями:
Модуль вектора равен
,
где
-
угол между векторами
и
,
т.е.
.
Отсюда следует, что модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.
Вектор перпендикулярен к каждому из векторов и (
;
),
т.е. перпендикулярен плоскости
параллелограмма, построенного на
векторах
и
.Вектор направлен так, что если смотреть из его конца, то кратчайший поворот от вектора к вектору был бы против часовой стрелки (векторы , , образуют правую тройку).
Векторное произведение двух векторов, заданных своими проекциями.
Пусть
даны векторы
и
,
тогда
.
Если разложить определитель по элементам первой строки, то
=
.
Механический смысл векторного произведения.
Пусть в точке к диску приложена сила . Определить момент силы относительно точки на диске.
П
усть
- радиус-вектор точки приложения силы
,
-
плечо, т.е. расстояние от точки
до вектора силы
,
- угол между векторами
и
,
-
плоскость диска. Векторы
и
принадлежат диску (
).
О
тсюда
следует, что
.
Пример 11.
Сила
приложена в точке
.
Определить момент силы относительно
точки
.
Решение.
Образуем вектор
.
Тогда момент относительно точки
вычисляется по формуле:
.
Отсюда
,
или
.
Свойства векторного произведения векторов.
Векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю.
.
Антикоммутативность:
.Ассоциативность относительно скалярного множителя:
(
).
Дистрибутивность:
.
Таблица векторного умножения ортонормированного базиса , , .
.
Д
ля
запоминания можно воспользоваться
круговым правилом:
Если перемещаться последовательно от одного к другому вектору против хода часовой стрелки, то следующий вектор надо писать со знаком (+), а по ходу стрелки следующий вектор со знаком (-).
Пример 12. Даны точки , , , .
Найти векторное произведение
и его модуль.
Решение. Найдем
, ,
,
По формуле векторного произведения, имеем
.
Таким
образом, векторное произведение имеет
координаты:
,
а его модуль
.
Пример 13. Даны точки , , .
Найти площадь треугольника
.
Решение.
Найдем
,
.
Векторное произведение
и его модуль найдем как.
,
,
.
Применив формулу площади
для треугольника
,
построенного на векторах
и
,
запишем
.
Отсюда получаем, что
(кв. ед.).
Пример 14.
Найти
,
если
,
,
,
.
Решение. Используя свойства векторного произведения, упростим конструкцию вектора , а именно:
.
Так как
,
то
.
Следовательно,
.
Теперь по формуле модуля векторного произведения, получаем
.
Пример
15.
Зная векторы
и
,
вычислите длину высоты
треугольника
(см.
рис).
Р
ешение.
Обозначая площадь треугольника
через
,
получим:
.
Тогда
,
.
С другой стороны, площадь треугольника
определяется через векторное произведение
как:
.
Длину
стороны
найдем из равенства:
.
Значит, вектор
имеет координаты
.
.
Следовательно, модуль этого векторного произведения равен:
,
Откуда
.
Пример
16.
Даны два вектора
и
.
Найдите единичный вектор
,
ортогональный векторам
и
и направленный так, чтобы упорядоченная
тройка векторов
,
,
была правой.
Решение.
Обозначим
координаты вектора
относительно данного правого
ортонормированного базиса через
.
Поскольку
,
и
,
то
,
.
По условию задачи требуется, чтобы
и
.
Имеем систему уравнений для нахождения :
Из
второго уравнения системы получим:
.
Подставим в первое
.
Подставляя
и
в третье уравнение, будем иметь:
,
откуда
.
Используя условие , получим неравенство
Или
Отсюда
С учетом выражений для
и
перепишем полученное неравенство в
виде:
,
откуда следует, что
.
Итак,
,
,
.