Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Вологодский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2012_phys_lp

.pdf

Скачиваний:

709

Добавлен:

28.05.2015

Размер:

4 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

101

То есть момент инерции твердого тела относительно оси равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний от этой оси. Момент инерции существенно зависит не только от массы тела, но и от ее распределения относительно оси вращения (в направлении, перпендикулярном оси). В случае непрерывного распределения массы сумма в (13.10) сводится к интегралу по всему объему тела:

I = ∫ r 2 dm .

(13.11)

Вычислим момент инерции однородного диска плотностью ρ, высотой h,

внутренним радиусом R1 и внешним радиусом R2 (рис.13.2) относительно оси,

проходящей через центр масс пер-

пендикулярно плоскости диска. Ра-

зобьем диск на тонкие кольца тол-

щиной dr и высотой

h так, что внут-

ренний радиус кольца равен r, внеш-

ний –

( r+dr). Объем такого кольца

dV = h × dS = h × 2π × r × dr ,

где dS = 2π × r × dr

– площадь основа-

ния тонкого кольца. Его масса:

dm = ρ × dV = ρ × h × 2π × r × dr . (13.12)

Рис. 13.2

Подставим dm в (13.11) и про-

интегрируем по r ( R1 ≤ r ≤ R2 ):

3dr =

I = ∫ r 2 × dm = ∫ r 2 ρ × h × 2π × r × dr

= 2ρ ×π × h × ∫ r

r 4

ρ ×π × h × (R4

- R4 )

ρπ × h(R2

- R

2 )(R2

+ R2 )

= 2ρ ×π × h ×

1 2

1 .

Масса всего диска равна

m = ρ × h × S = ρ × hπ × (R2

- R2 ),

тогда окончательно:

I =

m(R2 + R2 )

(13.13)

В частном случае для сплошного диска или цилиндра радиусом R подставим в (13.13) R1=0, R2=R и получим:

I =	mR	2	.	(13.14)

	2

Вологодский государственный технический университет

102

Если ось вращения не проходит через центр масс тела, вычисления по формуле (13.11) могут быть довольно сложными. В этом случае расчет момента инерции облегчается применением теоремы Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I c

тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно

данной оси, и произведения массы тела на квадрат расстояния a	между
осями:
I = I c + ma 2 .	(13.15)

В данной работе момент инерции тела (платформы) определяется экспериментально методом крутильных колебаний. Рассмотрим общие закономерности колебательного движения крутильного маятника.

Испытуемое твердое тело 1, имеющее вид диска радиуса R, подвешено на упругой металлической проволоке 2 (рис.13.3) так, что нижний конец проволоки проходит через центр тяжести диска, а верхний закреплен. При повороте диска на некоторый угол α вокруг оси ОО возникают упругие силы, которые стремятся возвратить диск к положению равновесия. Возвращающий момент сил М обусловлен упругими деформациями, возникающими при закручивании стальной проволоки, с которой скреплена платформа. При малых углах поворота α можно считать, что этот момент сил прямо пропорционален углу поворота, то есть выполняется закон Гука:

M = -Kα ,

(13.16)

где K – коэффициент пропорциональности, называемый модулем кручения, величина которого зависит от материала проволоки и ее размеров. Знак «–» показывает, что момент упругих сил возвращает тело к положению равновесия, то есть векторы момента сил M и углового перемещения α направлены в противоположные стороны, их проекции на ось вращения имеют противоположные знаки.

По основному закону динамики вращательного движения (13.7):

	M = I ×ε ,		(13.17)
где I – момент инерции тела относительно оси ОО, ε = α ′′ –			угловое ускоре-
ние. Из (13.2), (13.16) и (13.17) получаем уравнение для угла поворота α:
I	d 2α	+ Kα = 0 .	(13.18)

	dt 2
Уравнение (13.18) можно записать так:
α ′′ + ω 2α = 0 ,			(13.19)

Вологодский государственный технический университет

103

где принято обозначение: ω 2 = K , или:

I
ω =	K	.	(13.20)

	I
Уравнение вида (13.19) является дифференциальным уравнением гармо-
нических колебаний. Его решением является гармоническая функция:
α = Acos(ω × t + ϕ0 ).			(13.21)
Здесь ω – круговая частота колебаний, φ0 – начальная фаза,			φ=ωt+φ0 – фа-

за колебаний в данный момент времени, A – амплитуда колебаний (максимальное значение угла поворота α). Убедимся в том, что (13.21) является решением дифференциального уравнения (13.19), непосредственной подстановкой, вычислив производные:

α ′ = -ω × Asin(ω × t + ϕ0 );
α ¢¢ = -ω 2 Acos(ω × t + ϕ0 ) = -ω 2α .	(13.22)

Из (13.22) следует (13.19). Вообще, если вторая производная по времени

какой-либо физической величины пропорциональна самой величине с противоположным знаком, то данная физическая величина изменяется со временем по гармоническому закону, то есть по закону синуса или косинуса.

Период крутильных колебаний, то есть время одного полного колебания, найдем из (13.20):

T =	2π		= 2π		I	.	(13.23)
	ω
					K
Из выражения (13.23) выразим момент инерции тела:
I =		T	2 K
				.			(13.24)

		4π 2

Неизвестный модуль кручения К можно исключить из (13.24) следующим образом. На диск помещают дополнительный груз, момент инерции которого Iгруз. относительно оси колебаний известен. При этом полный момент инерции тела с дополнительным грузом станет равным I1=I+Iгруз, и период T1 крутильных колебаний изменится:

T = 2π	I + Iгруз	,	(13.25)

1	K

или:

I + Iгруз =	T 2 K	(13.26)
	4π 2 .
	1

Вологодский государственный технический университет

104

Поделив почленно (13.26) на (13.24), получим:

	I + Iгруз			=	T 2		,
					1
		I			T 2
		I			T 2
откуда окончательно для неизвестного момента инерции платформы:
I = I			T 2			.		(13.27)
I = I		груз T 2		− T 2		.		(13.27)
		1

Экспериментальная часть

Приборы и оборудование: лабораторная установка с секундомером и металлические диски.

Описание установки (вариант 1).

В первом варианте установки (рис.13.3) платформа 1, момент инерции которой требуется определить, подвешена на проволоке 2. На платформу 1 симметрично на расстоянии a от центра помещают три дополнительных груза массой m и радиусом r каждый. Эти три груза относительно оси ОО создают дополнительный момент инерции Iгруз, который находится по теореме Штейнера (13.15) и равен:

Iгруз	= 3	mr 2	+ ma2 .	(13.28)

	2

	Здесь момент инерции одного до-
	полнительного груза относительно оси,
Рис. 13.3	проходящей через его центр масс, най-
		mr 2
	ден из (13.14): Ic =		.

	2

Подставив (13.28) в (13.27), для вычисления искомого момента инерции платформы окончательно получим:

I =	3	m(2a 2 + r 2 )		T 2		.	(13.29)
				2	2
2			T
				1−T

Для измерения линейных размеров и расстояний используется штангенциркуль и линейка, время определяется по секундомеру, масса каждого дополнительного груза m=730 г.

Вологодский государственный технический университет

105

Порядок выполнения работы

1.Исследуемое тело – платформу (без дополнительных грузов) приведите в крутильные колебания.

Внимание! Угол закручивания не должен превышать 10-150, иначе

можно сломать установку. Кроме того, при больших углах закручивания не выполняется закон Гука (13.16), и колебания не будут гармоническими.

Секундомером измерьте время t, которое требуется для совершения 20 полных колебаний. Опыт повторите 5 раз, найдите среднее время tср и вычислите период колебаний:

T =	tср.	.	(13.30)

20

2.На исследуемое тело установите 3 дополнительных груза (диска) и вновь (5 раз) определите время 20 колебаний, найдите t1ср. и период колебаний:

T =	t1ср.	.	(13.31)

1	20

3.Штангенциркулем измерьте радиус дополнительных дисков r и линейкой – расстояние a между осями. Измерения проводятся три раза; значения a и r усредняются.

4.Вычислите момент инерции по формуле (13.29).

5.Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу 13.1.

6.Вычислите абсолютную и относительную погрешности измерений.

Замечание 1: погрешность времени t		рассчитывается по стандартной ме-
тодике расчета погрешностей случайной величины:
	∑n (Dti )2
Dt = tn,α ×	i =1		,	(13.32)

	n(n -1)

где коэффициент Стьюдента для числа опытов n=5 и доверительной вероятности α=0.95 равен: tn,α = 2,78 . При этом погрешность периода колебаний из

(13.30):

DT = t .	(13.33)
20
Замечание 2: для вычисления относительной погрешности E(I ) =	I мо-
	I
мента инерции I можно воспользоваться формулой:

Вологодский государственный технический университет

106

		m 2
E =

		m

	2r r			2		4a a			2		2 T 2		2T T			2		2T T			2
+					+					+		+		1 1			+				.
	2		2			2		2					2					2
		+ 2a					+ 2a				T			- T	2				- T	2
r					r							T1					T1

Замечание 3: можно рассчитать момент инерции I в каждом из 5 опытов, а затем усреднить. Расчёт погрешности I в этом случае производится по стандартной методике расчета погрешностей случайной величины (аналогично

(13.32)).

7. Сделайте выводы.

Таблица 13.1

r = ...м ,

a = ...м ,

m = ...кг ,

r = ...м ,

a = ...м

m = ...кг

№

t1i

E(I ) =

кг.м2

tср=.

∑( ti )2 =

t1ср.=

∑( t1i )2 =

Tср.=

T1ср.=

Iср.=

Σ( Ii)2=

t1=

T1=

Iср=

Описание установки (вариант 2).

Установка (рис.13.4) состоит из штатива, исследуемого диска 1, закрепленного на проволоке 2, и одного съемного груза в виде диска 3. Ось съемного груза совпадает с осью диска. Для измерения линейных размеров и расстояний используется штангенциркуль и линейка, время определяется по секундомеру. Массу съемного диска необходимо определить из его размеров и плотности.

Масса диска		m = ρV (плотность стали ρ=7800 кг/м3), а его объем
V = S × h = π × (R2	- R2 )× h , тогда
2		1

Вологодский государственный технический университет

		107
m = ρ × S × h = ρ ×π × (R2	- R	2 )× h , (13.34)
2	1

а момент инерции дополнительного съемно-

го диска из (13.34) и (13.13):

Iгруза	= π × ρ × h (R24 − R14 ) .	(13.35)
	2
Далее из (13.27) и (13.35) получим рас-

четную формулу для момента инерции платформы:

I =	π × ρ × h (R		4	- R	4 )	T 2		.	(13.36)

	2	2		1		21-T	2
					T

Рис. 13.4

Порядок выполнения работы

Исследуемое тело (без дополнительного кольца) приводится в крутильные колебания.

Внимание! Угол закручивания не должен превышать 10-150, иначе можно сломать установку. Кроме того, при больших углах закручивания не выполняется закон Гука (13.16), и колебания не будут гармоническими.

1.Секундомером измерьте время t, которое требуется для совершения 20 полных колебаний, и вычислите период колебаний по формуле (13.30). Опыт повторите 5 раз.

2.На исследуемое тело установите дополнительное кольцо и вновь (5 раз) определите время 20 колебаний, найдите t1ср. и период колебаний (13.31).

3.Линейкой и (или) штангенциркулем измерьте внутренний R1 и внешний R2 радиусы дополнительного кольца и его толщину h (рис.13.4). Вычислите момент инерции по формуле (13.36).

4.Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу 13.2.

5.Вычислите абсолютную и относительную погрешности измерений.

Замечание: для вычисления относительной погрешности

можно вос-

пользоваться формулой:

4R3

4R3 R

2 T

2T1

2T T

E =

R2 - R1

T1 -T

при этом I рассчитывается по усредненным значениям периода; либо I рассчитывается в каждом из пяти опытов, затем усредняется, и погрешность I рассчитывается как погрешность случайной величины, аналогично формуле (13.32). Можно рассчитать погрешность обоими способами и сравнить результаты.

6. Сделайте выводы.

Вологодский государственный технический университет

108

Таблица 13.2

R1 = ...м ,

R2 = ...м,

h = ..м

R1 = ...м ,

R2 = ...м,

h = ...м

№

t1i

E(I ) =

кг.м2

tср=.

∑( ti )2 =

t1ср.=

∑( t1i )2 =

Tср.=

T1ср.=

Iср.=

Σ( Ii)2=

t1=

T1=

Iср=

Контрольные вопросы

1.Дайте определение углового перемещения, угловой скорости и ускорения. Как направлены эти вектора?

2.Запишите формулы, связывающие линейные и угловые величины перемещения, скорости, ускорения.

3.Что такое момент силы относительно оси? От чего он зависит? Как направлен вектор момента силы?

4.Что такое момент инерции материальной точки, твердого тела, от чего он зависит?

5.Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения.

6.Выведите дифференциальное уравнение крутильных колебаний (13.18).

7.Докажите, что выражение (13.21) является решением дифференциального уравнения (13.18).

8.Какие колебания являются гармоническими?

9.Что такое период колебаний, частота колебаний?

10.Сформулируйте теорему Штейнера и покажите, где в работе она используется.

11.Можно ли пользоваться расчетными формулами в этой работе, если углы отклонения крутильных колебаний будут большими? Почему?

Используемая литература

[5] §2.8, 7.1, 19.1, 19.2; [3]§4.1-4.3, 27.1, 27.2; [1]§36-39, 52, 53; [6]§1.4, 1,31-1.34, 3.3, 3.6; [7] §2,3 4, 16, 17, 18, 19, 140, 141, 142.

Вологодский государственный технический университет

Рис. 14.1

109

Лабораторная работа 1-14 Изучение упругой деформации растяжения

Цель работы: определение модуля Юнга и коэффициента Пуассона для резины; проверка закона Гука.

Теоретическое введение

Жидкости сопротивляются изменению их объема, но не сопротивляются изменению формы. С этим свойством связан характерный для жидкостей закон Паскаля: передаваемое жидкостью во все стороны давление одинаково.

Твердые же тела сопротивляются как изменению объема, так и изменению формы; они сопротивляются, как говорят, любому деформированию. Для твердых тел не справедлив закон Паскаля. Передаваемое твердым телом давление различно в разных направлениях. Давления, возникающие в твердом теле при его деформировании, называются напряжениями. В отличие от давления в жидкости, упругие напряжения в твердом теле могут иметь любые направления по отношению к площадке, на которую действуют силы. Но при всем разнообразии деформации твердых тел оказывается возможным любую деформацию тела свести к двум основным типам, которые поэтому называют элементар-

ными деформациями. Ими являются растяжение

(сжатие) и сдвиг. Любые другие типы деформаций (изгиб, кручение, …) можно представить как комбинацию деформаций растяжения и сдвига.

В данной работе изучаются величины, характеризующие упругую деформацию растяжения. Пусть на цилиндр первоначальной длины l0 и диаметра d0

действует растягивающая сила	F (рис.		14.1). При этом образец увеличивает
свою длину на l = l′ − l0 , l –	абсолютное удлинение. Величину
	ε =	l	(14.1)
		l0

называют относительным удлинением (относительной деформацией). При рас-

тяжении ε > 0 , при сжатии ε < 0 . При однородном растяжении величина ε				во
всех точках тела одинакова.
Отношение силы F к величине сечения S , на которое она действует,				на-
зывается механическим напряжением σ в данном сечении:
σ =	F	.	(14.2)

	S

Вологодский государственный технический университет

110

Опыт показывает, что при малых деформациях, при малых относительных удлинениях ε для цилиндров разного сечения S и длины l , но сделанных из одного и того же материала, выполняется закон Гука: напряжения пропорциональны деформации:

σ = Eε ,

(14.3)

где E – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств материала цилиндра, но не зависящей от его размеров. Он называется модулем упругости или модулем Юнга данного материала. Из (14.1), (14.2) и (14.3) можно получить закон Гука в школьной формулировке:

F	= E × Dl , или F =	E × S	× Dl = k × Dl ;	(14.4)

S	l0	l0

при этом коэффициент жёсткости k = E × S зависит как от свойств материала, l0

так и от длины и сечения образца.

Если с прекращением действия вызвавших деформацию внешних сил тело возвращается в исходное недеформированное состояние, то деформации называются упругими. Деформации будут упругими, если они достаточно малы.

Модуль Юнга, однако, еще не характеризует полностью упругие свойства тела. Это видно и из рисунка 14.1: продольное растяжение цилиндра связано с сокращением его поперечных размеров: удлиняясь, цилиндр одновременно становится более тонким. Характеристикой этого изменения является относительное поперечное сжатие

ε = Dd ,	(14.5)
d0

где d = d − d0 – абсолютное поперечное сжатие. При растяжении ε < 0 , при сжатии ε > 0 .

Очевидно, что величина ε также пропорциональна растягивающему на-

пряжению σ , и тем самым она пропорциональна и величине относительного удлинения ε . Вводится соотношение, называемое коэффициентом Пуассона:

μ = -	ε	.	(14.6)

	ε

Коэффициент Пуассона μ , как и модуль Юнга E , не зависит от размеров тела и является константой, характеризующей свойства вещества. Можно показать из общих требований механической устойчивости твердого тела, что значение коэффициента Пуассона меняется в пределах от 0 до 0.5. Значение μ = 0 достигается у пористых тел (например, у пробки), не меняющих при растяжении своих поперечных размеров. Близкие к 0.5 значения μ достигаются у таких

Вологодский государственный технический университет

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.202575 Кб12011 ХРОНИЧЕСКИЙ ПРОСТАТИТ.docx
#
28.05.2015472 Кб282011_ananjev_tecn_hv.pdf
#
28.05.2015470 Кб142011_gurov_politologia.pdf
#
28.05.2015604 Кб122011_rogov_nadejnost.pdf
#
28.05.2015573 Кб162012_kichigina_epr.pdf
#
28.05.20154 Мб7092012_phys_lp.pdf
#
28.05.2015579 Кб212013_Kulturologia_Metod.pdf
#
25.03.20161 Мб512013_serg_electroob.pdf
#
01.07.2025415 Кб82014 Рабочая тетрадь.Фармакология.docx
#
28.05.20154 Мб822014_bogdanov_fisika.pdf
#
28.05.2015844 Кб232014_hrustalev_elektrosn.pdf