Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Вологодский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2012_phys_lp

.pdf

Скачиваний:

709

Добавлен:

28.05.2015

Размер:

4 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 189 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

Разделив (11.8) на m, получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

d	2 x	+	k	× x = 0 .	(11.9)
dt 2			m

Решением этого дифференциального уравнения является функция:

		x = A × cos(ω1 × t + ϕ0 ),			(11.10)
где ω =	k	– частота собственных колебаний маятника с безмассовой пружи-
где ω =
1	m
	m
ной. Период колебаний такого маятника
		T = 2π ×	m	.	(11.11)
		T = 2π ×		.	(11.11)
	1		k
			k

Заметим, что наличие поля силы тяжести не влияет на частоту колебаний пружинного маятника; изменяется лишь равновесное положение груза. Так что в дальнейшем потенциальную энергию в поле силы тяжести можно не учитывать.

Модель 2. Пружинный маятник с массивной пружиной

В некоторых случаях массой пружины пренебрегать

нельзя. Найдём кинетическую энергию колеблющейся

пружины. Пусть один конец однородной пружины мас-

сой M закреплен,

другой

движется со

скоростью υ

(рис.11.2). Если растяжение равномерное, то скорость υ1

малого участка пружины длиной

dx1

с координатой x1

равна:

υ =

×υ ,

(11.12)

где l – длина пружины в состоянии равновесия.

Масса

участка равна

dM =

× dx ,

(11.13)

Рис.11.2

а кинетическая энергия

dM ×υ 2

M ×υ 2 × x

× dx

×υ

.(11.14)

2 × l

2 ×l 3

Вологодский государственный технический университет

Проинтегрируем (11.14) по длине пружины:

	l					l		M ×υ 2			× x2
E = ∫ dE			=			∫					1		dx =
E = ∫ dE			=			∫							dx =
1	0	1			0				2 × l3					1
	0				0				2 × l3
	Mυ	2					3		l			Mυ	2		l	3
		2					3		l				2			3
=			×	x1						=				×

	2 ×l	3					3					2 × l	3		3
	2 ×l						3		0			2 × l			3
									0

Mυ		2	l		2dx
Mυ			× ∫ x				=
			× ∫ x				=
2 × l3			1			1
2 × l3			0
=	Mυ 2
				.			(11.15)
		6		.			(11.15)
		6

Теперь при выводе дифференциального уравнения колебаний маятника учтём энергию E1. Полная механическая энергия пружинного маятника с массив-

kx2

mυ 2

Mυ 2

ной пружиной равна E = E

óïð.

+ E

êèí.

+ E =

;

kx 2

m +

υ 2

E =

(11.16)

Производная (11.16) по времени равна нулю, так как полная энергия со-

храняется:

dυ

= kx ×

+ m +

×υ ×

= 0 ,

или

после

сокращения

на скорость

= υ ,

dυ

d 2 x

замены

и деления на

dt 2

dυ

d 2 x

kx +

= 0 ;

× x = 0 .

(11.17)

Дифференциальное уравнение (11.17) подобно полученному выше (11.9). Упростим модель, считая массу пружины равной нулю, но к массе груза доба-

вим M . Это поправочное слагаемое называется присоединенной массой пру- 3

жины в рассматриваемой задаче.

Запишем решение дифференциального уравнения (11.17): x = A × cos(ω × t + ϕ0 ),

где

ω =	k
			.
	m +	M

	3

(11.18)

(11.19)

Вологодский государственный технический университет

где υÂ

Период колебаний равен:

	m +	M

T = 2π ×	3		.	(11.20)

	k

Недостаточность модели 2

При выводе формулы (11.20) предполагали, что растяжение пружины равномерное. При каком условии это допущение приемлемо? Естественно считать, что это можно сделать, если характерное время τ, связанное с собственными продольными колебаниями пружины, существенно меньше характерного времени, связанного с колебаниями груза (например, периода колебаний T):

τ << T .

(11.21)

В этом случае неравномерность растяжения пружины будет успевать выравниваться за период колебаний. За τ можно принять время прохождения возмущения вперед и назад вдоль пружины:

τ =	2 ×l	,	(11.22)
	υ

Â

– скорость распространения упругих волн по пружине. Для её оценки воспользуемся выражением, определяющим скорость распространения продольных звуковых волн в твердых телах:

υВ =

(11.23)

где E – модуль Юнга,

ρ –

плотность среды. Для твёрдого тела,

например,

стержня длиной l и сечением S (см. лаб. работу 1-14):

E = σ

k × Dl

k ×l

×l =

(11.24)

S × Dl

а плотность

ρ =

(11.25)

S × l

тогда

k × l

k × l 2

υÂ

= l ×

(11.26)

S × l

Вологодский государственный технический университет

Таким образом, допущение о равномерном растяжении пружины можно считать приемлемым, если

2 ×l

m +

<< 2π ×

, или

M << π × m +

(11.27)

l ×

Допустив, что «значительно меньше» означает «меньше по крайней мере в 10 раз», получаем условие приемлемости допущения:

10 × M < π × m +	M	.	(11.28)

3

После возведения в квадрат и с учётом, что π 2 ≈ 10 : 10 × M < m + M . Далее, учи- 3

тывая приблизительность выкладок, вторым слагаемым в правой части пренебрежём и получим:

M < 0.1× m .

(11.29)

Требование (11.29) устраняет и ещё одно упрощение модели 2: если масса пружины велика, то она под действием собственного веса будет растягиваться неравномерно (вверху растянута больше, чем внизу), и соотношения (11.12) и (11.13) неверны. Однако можно предположить, что наличие поля силы тяжести не будет влиять на период колебаний, так же как и для маятника с безмассовой пружиной, а всего лишь изменит равновесное положение груза.

Следующий шаг в решении вопроса – это решение задачи на поиск частот нормальных колебаний (см. лаб. работу 2.10) системы, состоящей из точечного груза и пружины с непрерывно распределённой массой. Эта задача сложна, однако в простейшем частном случае её легко можно решить. Этот частный случай – колебания пружины массой M без груза (m=0).

Модель 3. Колебания массивной пружины без груза

Предполагаем, что масса пружины распределена непрерывно, тогда задача сводится к вычислению основной частоты упругих продольных колебаний стержня длиной l с одним закреплённым концом. Второй конец свободен, и на нём будет пучность стоячей волны, а на закреплённом конце будет узел. Рис. 11.3 даёт представление о возможных нормальных колебаниях стержня.

Вологодский государственный технический университет

Рис. 11.3

На длине стержня должно укладываться полуцелое число длин стоячих волн:

l = λ × n + λст. , n=0, 1, 2, 3, … ,

(11.30)

ст.	2

где длина стоячей волны равна половине длины волны бегущей:

= λ .

(11.31)

ст.

Воспользуемся (11.26), тогда с учётом (11.32):

λ = υB ×T ,

(11.32)

а также (11.30) и (11.31) получим выражение для периода T0 основного тона ко-

лебаний (n=0) стержня:

T0 =

2 ×λст.

4 ×l

, или

T = 4 ×

(11.33)

υВ υВ

l ×

Сравним (11.20) и (11.33). При малом значении массы груза (m→0) (11.20)

даёт:

0 +

2π

T = 2π ×

» 3.6 ×

Таким образом, в пределах погрешности 10% (11.20) и (11.33) дают одинаковый результат. Можно предположить, что область применимости (11.20) всётаки шире, чем при M < 0.1× m . Это предположение предлагается проверить на опыте.

Вологодский государственный технический университет

Экспериментальная часть

Приборы и оборудование: три пружины на штативе, набор грузов, линейка, секундомер.

Описание установки

Схема лабораторной установки изображена на рис. 11.4. Пружины 1, 2 и 3 прикреплены к штативу 4. Удлинение пружины измеряется линейкой 5.

Порядок выполнения работы

Задание 1. Определение жесткости пружины

1.Вставьте линейку внутрь пружины 1 так, чтобы прорезь линейки опиралась на её нижний виток. При этом нижний виток пружины должен совпадать с нулём отсчёта линейки. Измерьте длину ненагруженной пружины l0.

Рис. 11.4

2.Подвесьте к пружине груз массой m, запишите l – длину пружины с грузом.

3.Вычислите удлинение пружины l = l − l0 и вычислите её жёсткость k по за-

кону Гука (11.34):

k =	mg	.	(11.34)

	l

4.Повторите опыт ещё с двумя грузами.

5.Рассчитайте среднее значение коэффициента жёсткости kср.. Повторите измерения с пружинами 2 и 3. Все результаты занесите в таблицу 11.1.

Вологодский государственный технический университет

						Таблица 11.1
			Пружина 1
№	l0, м	m, кг	l, м	l , м	k, Н/м		kср., Н/м
1		1.0
2		1.5
3		2.0
			Пружина 2
№	l0, м	m, кг	l, м	l , м	k, Н/м		kср., Н/м
1		1.0
2		1.5
3		2.0
			Пружина 3
№	l0, м	m, кг	l, м	l , м	k, Н/м		kср., Н/м
1		0.1
2		0.5
3		0.6

Задание 2. Определение периода свободных колебаний

1.Уберите линейку. Подвесьте к пружине 1 груз m=1 кг.

2.Приготовьте к работе секундомер, оттяните груз вниз. Отпустите маятник вместе с пуском секундомера. Отсчитайте N (N=20÷ 30) полных колебаний (считать число полных колебаний по моментам возвращения маятника в нижнее положение максимального отклонения). Запишите в табл.11.2 время t.

Таблица 11.2

Пружина 1

M=0.94 кг

№	m,	N	t,	T,	Tэксп.ср. ,		Tтеор, ,	Е,	T1 ,	Tэксп. − T1 ,	Е1,
	кг		с	с	с		с	%	с	с	%
					с		с		с	с
1	2	20
2
3

						Пружина 2
						M=0.53 кг
№	m,	N	t,	T,	Tэксп.ср. ,		TТЕОР, ,	Е,	T1 ,	Tэксп. − T1 ,	Е1,
	кг		с	с	с		с	%	с	с	%
					с		с		с	с
1	2	20
2
3		30

						Пружина 3
						M=0.09 кг
№	m,	N	t,	T,	Tэксп.ср. ,		TТЕОР, ,	Е,	T1 ,	Tэксп. − T1 ,	Е1,
	кг		с	с	с		с	%	с	с	%
					с		с		с	с
1	0.5	20
2
3		30

Вологодский государственный технический университет

3.Вычислите период колебаний: T = t / N .

4.Повторите опыт (пункты 2 и 3) ещё 2 раза, рассчитайте среднее значение периода колебаний Tср.эксп..

5.Найдите теоретическое значение периода Tòåîð. по формуле (11.20).

6.Оцените относительную погрешность, допускаемую при вычислении перио-

да по формуле (11.20) с учётом массы пружины:

T − T

E = теор. эксп.ср. ×100% .

Tэксп.ср.

7.Найдите теоретическое значение периода колебаний маятника без учёта массы пружины по формуле (11.11):

T = 2π ×	m	.	(11.11)

1	k

8.Вычислите разность Tэксп. − T1 , оцените относительную погрешность Е1, до-

пускаемую при вычислении периода колебаний по формуле (11.11) без учёта массы пружины:

E1 = Tэксп. − T1 ×100% .

Tэксп.

9.Повторите измерения и вычисления по пунктам 1-8 второго задания для пружин 2 и 3. Все полученные данные запишите в табл. 11.2.

10.Сделайте выводы о приемлемости модели 1 или 2 для каждой из исследованных пружин.

Контрольные вопросы

1.Какие колебания называются гармоническими? Дайте определение периода колебаний, частоты. Получите выражения для скорости и ускорения при механических гармонических колебаниях.

2.Запишите закон сохранения энергии для пружинного маятника в предположении, что массой пружины можно пренебречь.

3.Получите дифференциальное уравнение гармонических колебаний пружинного маятника (11.9).

4.Запишите решение уравнения (11.9), получите формулу для периода колебаний.

5.Выведите формулу для кинетической энергии колеблющейся пружины (11.15).

6.Получите и решите дифференциальное уравнение колебаний маятника с массивной пружиной.

7.Чему равен период колебаний маятника с массивной пружиной?

8.В каких случаях применима модель 2 маятника с массивной пружиной?

Используемая литература

[5] § 19.1, 19.2; [3] § 27.1, 27.2; [6] § 3.3; 3.6, 3.7.

Вологодский государственный технический университет

Рис. 12.1

Лабораторная работа 1-12 Изучение колебаний математического и физического маятника

Цель работы: изучение колебаний математического и физического маятников и измерение ускорения свободного падения.

Теоретическое введение

Колебательным движением называется процесс, при котором система, многократно отклоняясь от положения равновесия, каждый раз вновь возвращается к нему.

Существует общность закономерностей большого разнообразия колебательных процессов, поэтому все они могут быть сведены к совокупности простейших колебаний – гармонических.

Гармоническим колебательным движением называется такое колебательное движение, при котором колеблющаяся величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса. Основные характеристики колебательных процессов можно рассмотреть на примере механических колебаний материальной точки.

Представим себе материальную точку М, равномерно вращающуюся по окружности радиуса А с угловой скоростью ω (рис.12.1). Тогда точка Мх – проекция точки М на ось х – будет совершать периодические колебания вдоль оси х. Смещение колеблющейся точки от положения равновесия вдоль оси х определяется по закону:

x = A cos(ωt + α 0 ),

(12.1)

где А – амплитуда колебаний (абсолютное значение максимального смещения), α = (ω × t + α0 ) – фаза колебаний, которая определяет угловое смещение точки

М в любой момент времени, α0 – начальная фаза, ω – круговая (циклическая) частота, равная

	ω = 2πν =	2π	;	(12.2)

		T
ν –	частота колебаний (число полных колебаний в единицу времени,			ν =	N	,

					t
N –	число колебаний за время t), T – период колебаний (время совершения од-

ного полного колебания). Выражение (12.1) – кинематическое уравнение гармонического колебательного движения.

Вологодский государственный технический университет

Скорость υ колеблющейся материальной точки получим, продифференцировав (12.1) по времени:

	υ = x′ = -ω × A × sin(ω × t + α0 ).	(12.3)
	Продифференцировав (12.3), получим ус-
	корение а:
	a = x¢¢ = -ω 2 A × cos(ω × t + α0 ).	(12.4)
	Учитывая (12.1), имеем: a = x¢¢ = -ω 2 x , или:
	x¢¢ + ω 2 x = 0 .	(12.5)
	Выражение (12.5) описывает гармониче-
	ские колебания величины x и называется диф-
	ференциальным уравнением гармонического
	осциллятора. Его решением является гармо-
Рис. 12.2	ническая функция (12.1). Если вторая произ-
	водная по времени какой-либо физической ве-

личины (не обязательно смещения) пропорциональна самой величине с противоположным знаком, то данная физическая величина изменяется со временем по гармоническому закону.

Любое тело (рис. 12.2), подвешенное в поле силы тяжести так, что

точка подвеса О не совпадает с центром тяжести С, называется физиче-

ским маятником. Пусть отклонение маятника от положения равновесия характеризуется углом φ. При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращающий момент силы M , стремящийся вернуть маятник в поло-

жение равновесия. Его величина M = mgℓsinϕ , где m – масса маятника; ℓ –

расстояние от центра тяжести маятника до точки подвеса, d = ℓsinϕ – плечо

силы тяжести (кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения).

Направления вращающего момента M и углового перемещения ϕ проти-

воположны (момент силы возвращает маятник к положению равновесия), поэтому в проекциях на ось вращения

M = −mgℓsinϕ .	(12.6)
По второму закону Ньютона для вращательного движения маятника:
M = Iε ,	(12.7)

где I – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку

подвеса; e – угловое ускорение маятника, равное второй производной угла поворота: ε = ϕ ′′ .

Из уравнений (12.6) и (12.7) имеем:

Вологодский государственный технический университет

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 189 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.202575 Кб12011 ХРОНИЧЕСКИЙ ПРОСТАТИТ.docx
#
28.05.2015472 Кб282011_ananjev_tecn_hv.pdf
#
28.05.2015470 Кб142011_gurov_politologia.pdf
#
28.05.2015604 Кб122011_rogov_nadejnost.pdf
#
28.05.2015573 Кб162012_kichigina_epr.pdf
#
28.05.20154 Мб7092012_phys_lp.pdf
#
28.05.2015579 Кб212013_Kulturologia_Metod.pdf
#
25.03.20161 Мб512013_serg_electroob.pdf
#
01.07.2025415 Кб82014 Рабочая тетрадь.Фармакология.docx
#
28.05.20154 Мб822014_bogdanov_fisika.pdf
#
28.05.2015844 Кб232014_hrustalev_elektrosn.pdf