2012_phys_lp

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

51

объемов тела Vi массой mi = ρ Vi при переходе к бесконечно малым заме-

няем на dm = ρdV и, соответственно,

Вычисление момента инерции твердого тела произвольной формы относительно оси представляет собой сложную задачу – необходимо знать, как плот-

оси, проходящей через центр масс (центр тяжести). Далее будут приведены выражения для моментов инерции шара, цилиндра, пустотелого цилиндра.

Величины моментов инерции чаще определяют из опыта. Рассмотрим, как это можно сделать, решая задачу о скатывании круглого однородного тела радиусом R и массой m без скольжения по наклонной плоскости, расположенной под углом α к горизонту, с высоты h (рис. 7.1) с использованием закона сохранения энергии.

Рис. 7.1

Задача о скатывании – пример плоского движения твердого тела, т.е. движения, при котором точки тела описывают траектории, лежащие в параллельных плоскостях. Если ось вращения проведем через центр масс тела (точку О) перпендикулярно плоскостям, в которых лежат траектории точек тела, то ось будет двигаться поступательно, оставаясь параллельной самой себе.

В этом случае кинетическую энергию твердого тела при плоском движении можно представить как энергию вращения вокруг оси, проходящей через

Вологодский государственный технический университет

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

52

центр масс тела, и энергию поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс v0 :

Центр масс тела движется равноускоренно под действием силы трения по-

коя Fтр и составляющей силы тяжести. Поэтому, если обозначим через S дли-

ну наклонной плоскости ( h = S ×sinα ) и считаем, что тело движется с нулевой начальной скоростью, то

где t – время движения тела по наклонной плоскости. Предполагается, что тело скатывается без скольжения, и поэтому линейная скорость точек соприкосновения тела с наклонной плоскостью равна нулю, так что скорость поступательного движения v0 связана с угловой скоростью ω обычным соотношением

ω = v0 . Если теперь подставить выражение для ω и (7.6) в (7.5) и решить это

R

уравнение относительно I0 , то получим

определить момент инерции. В то же время из (7.3) можно теоретически рассчитать моменты инерции шара, цилиндра и пустотелого цилиндра с внутренним и внешним радиусами R0 и R соответственно (см.(7.8)) и сравнить их с измеренными значениями.

При решении задачи о качении тела предполагали, что силами трения качения можно пренебречь. Поэтому в законе сохранения энергии не учитывали

Вологодский государственный технический университет

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

53

работу этих сил трения. Сила же трения покоя (рис.7.1) как раз и создает вращающий момент относительно оси, проходящей через центр масс тела. В этом несложно убедиться, если получить выражение (7.7), используя не закон сохранения энергии (7.5), а решив систему уравнений для движения центра масс тела и вращательного движения

При этом нужно учесть связь ускорения поступательного движения цилиндра при скатывании с угловым ускорением (7.11) и уравнение кинематики равноускоренного движения (7.12):

В заключение найдем условие, при котором будет отсутствовать проскальзывание при качении тела. Пусть наше тело – цилиндр. Для него момент инер-

Известно, что в отсутствии скольжения сила трения не должна превышать своего максимального значения (см. также работу 1-06):

Именно под таким углом α ≤ arctg3k следует устанавливать наклонную плоскость при скатывании цилиндра для определения момента инерции.

Экспериментальная часть

Приборы и оборудование: наклонная плоскость, секундомер, 2 цилиндра.

Порядок выполнения работы

1.Линейкой измерьте длину пути тела S по наклонной плоскости на участке АВ. Для этого зафиксируйте начальное положение тела на наклонной плоскости (точка А, рис.7.1) и конечное положение – точка В.

Вологодский государственный технический университет

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

54

2.Измерьте высоту h (рис. 7.1).

3.Измерьте время t движения сплошного цилиндра по наклонной плоскости между точками А и В. Повторите измерения времени не менее 5 раз.

4.Взвесьте исследуемое тело.

5.Измерьте штангенциркулем диаметр цилиндра d .

6.Проделайте действия, указанные в пунктах 1-4, с полым цилиндром.

7.Измерьте его внутренний d0 и внешний d диаметры.

8.Запишите результаты измерений в таблицу 7.1.

9.Рассчитайте среднее время tср для каждой серии опытов.

10.По формуле (7.7) вычислите экспериментальное значение момента инерции тела.

11.Вычислите по формуле (7.8) теоретический момент инерции тела и результаты запишите в таблицу. Сравните его с экспериментальным значением и укажите причину возможного несоответствия.

12.Вычислите относительную и абсолютную погрешности моментов инерции

Iэксп. и Iтеор. .

13. Результаты вычисления Iэксп. и Iтеор. представьте в виде

Iэксп. = I ± I; Iтеор. = I ± I .

Вологодский государственный технический университет

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

55

Контрольные вопросы

1.Сравните формулировки 2-го закона Ньютона – для поступательного и вращательного движения тела.

2.Что такое момент инерции твердого тела и от чего он зависит?

3.Что такое плоское движение твердого тела и что характерно для такого движения?

4.Объясните, почему кинетическую энергию тела можно представить в виде уравнения (7.4).

5.Представьте вывод формулы для момента инерции на основе закона сохранения энергии (7.7).

6.Выведите формулу (7.7), используя уравнения движения (7.9), (7.10).

7.Объясните, какую роль играет сила трения покоя и получите условие скатывания цилиндра без скольжения (7.15).

8.Если учесть действие сил трения качения, к каким изменениям при определении момента инерции тела это приведет?

Используемая литература

[3] §4.3; [5] §7.3; [7] §8;13; [10] §5.8.

Лабораторная работа 1-08 Исследование динамики вращательного движения на маятнике Обербека

Цель работы: проверка основного уравнения динамики вращательного движения, определение момента инерции маятника Обербека.

Теоретическое введение

При вращении тела вокруг закрепленной оси все его точки описывают окружности различного радиуса и, следовательно, имеют различные перемещения, скорости и ускорения. Тем не менее можно описать вращательное движение всех точек тела одинаковым образом. Для этого используют следующие кинематические характеристики движения: угол поворота ϕ , угловую ско-

рость ω и угловое ускорение ε . Эти характеристики будут одинаковы для любой точки абсолютно твердого тела. Модуль вектора поворота равен величине угла поворота Δφ; вектор поворота направлен по оси вращения по правилу буравчика (правого винта).

Вологодский государственный технический университет

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

56

Угловая скорость тела ω характеризует быстроту вращения. Она равна отношению вектора элементарного угла поворота тела к продолжительности этого поворота:

по направлению, при убывании – направлено в противоположную сторону. Найдем связь между линейными и угловыми величинами. Величина ли-

нейного перемещения dS точки, вращающейся по окружности радиуса r :

производная пути по времени – это величина скорости: dS = v , а ω = dϕ (8.1),

где aк – касательное (тангенциальное) ускорение, определяющее быстроту из-

менения модуля скорости υ :

Направление момента силы определяется правилом буравчика (рис.8.1), величина момента силы

Вологодский государственный технический университет

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

57

где α – угол между радиус-вектором r точки приложения силы и вектором си-

лы F . Момент силы относительно оси характеризует способность силы вращать тело вокруг этой оси. Составляющая силы, параллельная закреплённой оси, вращения тела вызвать не может, а напряжения, при этом возникающие в оси, нас не интересуют. Тогда достаточно рассмотреть силы, направления которых перпендикулярны оси вращения ОО’ (рис.8.1). Определим плечо силы l относительно оси ОО’ как расстояние от оси вращения до линии действия силы, тогда

Более того, поворот тела с закрепленной осью вращения может быть вызван только касательной составляющей силы F , причем эта составляющая тем успешнее осуществит поворот, чем больше ее плечо r:

Пусть твердое тело разбито на отдельные элементарные массы m. Выразим касательную составляющую равнодействующей сил, приложенных к этой точке, по второму закону Ньютона:

равная произведению массы материальной точки на квадрат ее расстояния до оси, называется моментом инерции материальной точки относительно оси.

Векторы M и ε совпадают по направлению с осью вращения, связаны с направлением вращения по правилу буравчика, поэтому равенство (8.12) можно переписать в векторной форме:

Уравнение (8.14) является основным законом динамики вращательного движения для материальной точки. Соотношение, аналогичное (8.12), можно записать для каждой точки тела, и затем просуммировать по всем точкам, тогда

Вологодский государственный технический университет

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

58

(с учетом того, что угловое ускорение одинаково для всех точек и его можно вынести за знак суммы):

В левой части равенства стоит сумма моментов всех сил (и внешних, и внутренних), приложенных к каждой точке тела. Но по третьему закону Ньютона силы, с которыми точки тела взаимодействуют друг с другом (внутренние силы), равны по величине и противоположны по направлению и лежат на одной прямой, поэтому их моменты компенсируют друг друга. Таким образом, в левой части (8.15) остается суммарный момент только внешних сил.

Сумма произведений элементарных масс на квадрат их расстояний от оси вращения называется моментом инерции твердого тела относительно данной оси:

i i

i

Момент инерции I твердого тела является мерой инертных свойств твердого тела при вращательном движении и аналогичен массе тела во вто-

ром законе Ньютона. Он зависит не только от массы тела, но и от ее распределения относительно оси (в направлении, перпендикулярном оси). В случае непрерывного распределения массы сумма в (8.16) сводится к интегралу по всему объему тела:

Моменты инерции для некоторых однородных тел относительно осей симметрии тел приведены в работе 1-07.

Таким образом, угловое ускорение твердого тела прямо пропорциональ-

но суммарному моменту внешних сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси вращения

Вологодский государственный технический университет

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

59

но любой оси равен сумме момента инерции I c относительно оси, парал-

лельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния b между осями

Экспериментальная часть

Приборы и оборудование: лабораторная установка, секундомер, штангенциркуль.

Маятник Обербека представляет собой свободно вращающуюся на горизонтальной оси крестовину 1 со шкивом 4 радиуса r . Схема установки представлена на рис.8.2.

Крестовина состоит из четырех стержней 2, закрепленных под прямым углом к оси и друг к другу. На каждый стержень надето по одинаковому грузу 3, которые можно передвигать вдоль стержня и закреплять в любой точке

между его основанием и концом. Масса

Рис. 8.2

каждого грузика m0 = 120 г. На шкив 4

навита привязанная к нему одним концом нить 5, на другом конце которой подвешивается гиря 7 массы m . Нить перекинута через блок 6. В верхнем положении гиря удерживается вручную. Груз 7 освобождают, предоставляя ему возможность свободного падения. Измерения времени падения груза производятся при помощи секундомера, который включают и выключают в соответствующее время.

Методика измерений

Выведем рабочую формулу для определения момента инерции тела.

Если предоставить возможность грузу m падать, то это падение будет происходить с ускорением a , а уравнением поступательного движения груза на нити будет (по второму закону Ньютона (8.19) в проекции на вертикальную ось):

Вологодский государственный технический университет

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

60

где T – сила натяжения нити. Отсюда

Сила натяжения нити T сообщает угловое ускорение вращающемуся маятнику. Момент этой силы относительно оси вращения находим из (8.9); так

Решая совместно (8.24), (8.25) и (8.26), находим момент инерции маятника

Порядок выполнения работы

Задание 1

а) определение углового ускорения маятника Обербека и момента силы натяжения;

б) проверка основного закона динамики вращательного движения:

Вологодский государственный технический университет