Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Вологодский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2012_phys_lp

.pdf

Скачиваний:

709

Добавлен:

28.05.2015

Размер:

4 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 188 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Рис. 10.1

вызывающая колеба-

Физические основы механики, физика колебаний и волн, термодинамика: лабораторный практикум / под ред. Богданова В.И.

риальной точки) из положения равновесия. Найдем скорость v и ускорение a колеблющегося тела:

			v =	dx		= − Aω0 sin(ω0t + ϕ0 );			(10.3)

				dt
a =	d v	=	d 2 x		= −ω02 Acos(ω0t + ϕ0 ) = −ω02 x .				(10.4)

	dt dt 2
Из (10.4) получаем дифференциальное уравнение гармонических коле-
баний:
							d 2 x	+ ω02 x = 0 .	(10.5)

							dt 2

Отсюда следует, что если вторая производная по времени какой-либо

физической величины пропорциональна самой величине с противоположным знаком, то данная физическая величина изменяется со временем по гармоническому закону. Колебательная система будет совершать свободные колебания, если её вывести из положения равновесия и предоставить самой себе. Со свойствами свободных колебаний можно ознакомиться на примере пружинного маятника. Его основными частями являются груз массой m и пружина с коэффициентом жёсткости k (рис.10.1).

Маятник совершает колебания около положения равновесия, двигаясь возвратно-поступательно. В положении равновесия сила тяжести уравновешивается упругой силой:

mg = k × l0 ,

(10.6)

где l0 – удлинение пружины под действием груза.

Смещение груза из положения равновесия будет характеризоваться координатой x, причем ось x направлена по вертикали вниз, а нуль оси совместим с положением равновесия. При смещении груза из положения равновесия на расстояние, равное x, удлинение пружины станет равным (l0+x), тогда полная сила,

ния маятника и возвращающая его к положению равновесия, примет значение

F = mg − k (l0 + x).	(10.7)
Учитывая условие равновесия (10.6), получим
F = -k × x .	(10.8)

Вологодский государственный технический университет

При малых деформациях эту силу описывает закон Гука. По второму зако-

ну Ньютона ma = ∑ Fi . В проекциях на ось х:

ma = -k × x ,

(10.9)

или

ɺɺ

(10.10)

+ ω0 x = 0 ,

d 2 x

ɺɺ

– ускорение, ω0

где

= a =

= .

dt 2

Выражение (10.10) совпадает с (10.5), это – дифференциальное уравнение

гармонических незатухающих колебаний, а его решение имеет вид:

x = Acos(ω0 × t + ϕ0 ),

(10.11)

где A – амплитуда колебаний, φ0 –

начальная фаза, ω0 –

круговая частота:

ω0 =

(10.12)

Так как ω0

2π

, то период колебаний

T = 2π

(10.13)

Опыт показывает, что свободные колебания пружинного маятника затухают – амплитуда колебаний груза со временем уменьшается. Причиной затухания колебаний в пружинном маятнике является сила сопротивления среды и связанная с этой силой диссипация энергии – превращение механической энергии колебаний во внутреннюю. Силу сопротивления среды при малых скоростях можно считать пропорциональной скорости движения, а направление её противоположно скорости:

						ɺ					(10.14)
					Fc = -r × x ,						(10.14)
							ɺ		dx
здесь r –	коэффициент сопротивления среды,						ɺ			– скорость движения
здесь r –	коэффициент сопротивления среды,						x = v =			– скорость движения
									dt
груза.
В таком случае на маятник действуют две силы –									упругая сила (10.8) и си-
											ɺ
ла сопротивления (10.14). По второму закону Ньютона: ma = -k × x - r × x ; с уче-
том того,	ɺɺ	получим дифференциальное уравнение свободных зату-
том того,	что a = x ,	получим дифференциальное уравнение свободных зату-
хающих колебаний:
	ɺɺ	r	ɺ	k		ɺɺ	ɺ	2
	ɺɺ		ɺ		x = 0 ,	ɺɺ	ɺ				(10.15)
	x +		x +		x = 0 ,	x + 2β × x + ω0 × x = 0					(10.15)
		m		m

Вологодский государственный технический университет

Здесь приняты следующие обозначения:

2β =			r		,	(10.16)

			m
ω 2	=	k		,		(10.17)

0		m

где β – коэффициент затухания, ω0 – циклическая частота собственных коле-

баний, то есть колебаний системы, если бы затухания не было.

Решением дифференциального уравнения (10.15) при условии малости затухания (то есть если β < ω0) является функция

x = A	× e-β ×t cos(ω × t + ϕ	0	),	(10.18)
0		0

в чем можно убедиться путем подстановки (10.18) в (10.15), предварительно найдя производные. При этом будет получено и выражение для круговой частоты и периода затухающих колебаний:

ω = ω02 - β 2 ;	T =	2π	=	2π	.	(10.19)
		ω		ω02 - β 2

График функции (10.18) приведен на рис.10.2. Если затухание велико (β>ω0), движение системы не имеет колебательного характера и будет апериодическим (рис.10.3). Этот случай в дальнейшем рассматриваться не будет.

Рис. 10.2

Рис. 10.3

Таким образом, если на тело, кроме силы упругости, действует сила сопротивления среды, то тело будет совершать колебательное (но не гармоническое) движение с частотой, зависящей от массы тела m, жесткости пружины k и коэффициента затухания β, характеризующего силу сопротивления среды. При этом частота ω затухающих колебаний оказывается меньше частоты ω0 собст-

венных незатухающих колебаний из-за действия тормозящей силы сопротивле-

Вологодский государственный технический университет

ния. Амплитуда колебаний будет с течением времени уменьшаться по экспоненциальному закону:

A(t ) = A e-β ×t	,	(10.20)
0

где A0 – начальная амплитуда колебаний. Быстроту затухания колебаний ха-

рактеризует логарифмический декремент затухания λ. Логарифмический дек-

ремент затухания – это натуральный логарифм отношения амплитуд двух следующих друг за другом колебаний, то есть амплитуд колебаний в моменты времени t и (t+T):

λ = ln

A(t )

(10.21)

A(t + T )

λ = ln

A(t )

A e-β ×t

e-β ×t

β ×T

= β ×T ;

= ln

= ln e

-β ×(t +T )

A(t + T )

A0e

-β ×t

× e

-β ×T

λ = β ×T .

(10.22)

Или иначе:

λ = ln

(10.23)

An+1

где колебания с номерами n и (n+1) отстоят друг от друга по времени на один период. Если два колебания отстоят друг от друга по времени на N периодов (t=NT), то отношение их амплитуд:

A		A(t )		A e-β ×t		-Nβ ×T
n	=		=	0	= e	-Nβ ×T	,
				A e-β ×(t + NT )
An+ N		A(t + NT )		A e-β ×(t + NT )
				0

откуда следует, что коэффициент затухания


		A
		0

	ln
β =		AN	.	(10.24)

Еще одна важная физическая величина характеризует затухание колебаний

– добротность:

Q = πλ .

(10.25)

Можно показать, что добротность обратно пропорциональна относительной убыли энергии колебаний за время, равное одному периоду:

Q = 2π	E(t )
Q = 2π	E(t ) - E(t + T ) .	(10.26)

Вологодский государственный технический университет

Экспериментальная часть

Приборы и оборудование: пружина, подвеска, набор грузов, линейка, секундомер.

Описание установки

Схема лабораторной установки изображена на рис. 10.4. К штативу 1 прикреплены пружина с подвеской 2 и кронштейн 3 с линейкой 4, которая служит для измерения величины смещения груза В от положения равновесия.

Порядок выполнения работы.

Задание 1. Определение жесткости пружины.

1. Зафиксируйте по шкале линейки и запишите началь-

ное положение подвески l0 .

Рис. 10.4

2.Положите на подвеску дополнительный груз m, запишите новое положение l подвески.

3.Повторите опыт с другими добавочными грузами. Все результаты занесите в таблицу 10.1.

Таблица 10.1

№	l0,	m	mg,	l,		l=l–l 0,	k,		kср		ki	( ki)2	k	ctg γ,	k=gctg γ,
	м	кг	Н	м		м	Н/м		Н/м	Н/м			Н/м	кг/м	Н/м
1		0.1
2		0.2
3		0.3
4		0.4
5		0.5
6		0.6
7		0.7
8		0.8
9		0.9
10		1.0
					Обработка результатов измерений
1. Определите удлинение пружины
							l	= l − l0 .							(10.27)
2. Вычислите силы упругости
							F = mg .								(10.28)

Вологодский государственный технический университет

3. Вычислите жесткость пружины в каждом опыте по формуле:

k =	mg	,	(10.29)

	Dl

4.Рассчитайте среднее значение kср. и погрешность k по формулам (10.30). Здесь ki – значение жесткости, полученное в i-том опыте, n – число опытов, ki=|ki– kср.| – абсолютная погрешность, полученная в i-том опыте, tn,α – коэффициент Стьюдента (см. табл.1 приложения). Все данные занесите в табл.10.1.

		n
	=	∑ki
kср		i=n	,

		n

∑n (Dki )2

Dk = tn,α × i =1 . (10.30) n(n -1)

5. Рекомендуется обработать те же результаты измерений графически.

Из (10.27) и (10.29) получаем:

l = l0 + Dl = l0	+	g	× m .	(10.31)

		k

Таким образом, зависимость l=f(m) линейна и график её (рис.10.5) представляет собой прямую, тангенс угла наклона которой γ к оси абсцисс (m) равен коэффициенту при m: tgγ=g/k, или

k = g × ctgγ .

(10.32)

Для графической обработки результатов необходимо:

a)построить график зависимости l = f (m). При большом разбросе экспери-

ментальных точек нужно провести прямую линию по линейке в среднем по точкам, то есть так, чтобы сверху и снизу графика было примерно одинаковое число точек.

b) определить котангенс угла наклона γ графика к оси m: ctgγ =	x .
	Dy

c)вычислить жесткость по формуле (10.32), результаты записать в табл.10.1.

d)Сравнить значение, полученное по формуле (10.32), с kср .

Рис. 10.5

Вологодский государственный технический университет

Задание 2. Определение периода свободных затухающих колебаний.

1.Положите на подвеску груз массой mгруза =0.5÷0.7 кг. Запишите в табл.10.2 суммарную массу подвески и дополнительного груза m=mподвески+mгруза

(mподвески=40 г).

2.Зафиксируйте и запишите в табл.10.2 величину l0 – новое положение равно-

весия нагруженного маятника.

3.Задайте величину A0 – начальную амплитуду (А0=0.04÷0.10 м). Это опреде-

лит величину lнач = l0 + A0 – начальную отметку на шкале, от которой оттяну-

тый вниз от положения равновесия маятник начнет свободные колебания.

4.Приготовьте секундомер к работе, оттяните груз вниз до положения lнач. Отпустите маятник вместе с пуском секундомера и отсчитайте N=100 полных колебаний (считайте число полных колебаний по моментам возвращения маятника в нижнее положение максимального отклонения).

5.При счете «100» ОДНОВРЕМЕННО проведите отсчет l – деления шкалы, до которого опустится груз, и t – времени ста полных колебаний, НЕ ОСТАНАВЛИВАЯ СЕКУНДОМЕР и не прекращая отсчета числа колебаний. (Если одновременные измерения времени и амплитуды затруднительны, провести две серии опытов: одна – только для измерения времени, вторая – только амплитуды.)

6.Продолжите наблюдения и произведите те же измерения l и t для числа колебаний N=300 и 500. Все результаты запишите в таблицу 10.2.

Обработка результатов измерений

1.Вычислите амплитуду колебаний на N-ном (N=100, 300, 500) колебании:

AN = l − l0 .

2.Вычислите период колебаний: T = t / N .

3.Найдите средний период Tср ; оцените его погрешность.

4.Вычислите циклическую частоту ω = 2π .

	Tср.
5.	Вычислите коэффициент затухания β	по (10.24).	Расчёты сделайте	для
	N=100, 300 и 500 колебаний; затем усредните. Найдите погрешность			β .
6.	Вычислите логарифмический декремент затухания λ по (10.22), и доброт-
	ность (10.25); оцените их погрешности.
	Примечание: погрешности Δω,	Δβ и Δλ	можно рассчитать по

стандартным формулам для расчета погрешностей при косвенных измерениях.

Вологодский государственный технический университет

Например,

β =

∂β

+ ∂β

∂T

∂A

где A0 и

AN –

погрешности амплитуды колебаний – принять равными 1 мм;

∂β

;

= −

;

= −

∂A0

NTA0

∂AN

NTAN

∂T

NT 2

Вычислите теоретическую

величину

периода

колебаний T

= 2π

теор

kср

сравните с экспериментальным средним значением периода.

Запишите все результаты в табл.10.2. Сделайте выводы.

Таблица 10.2

m = ...кг ;

l0 = ...м ;

= ...м

T ,

ω,

Δω,

β,

Δβ,

Ттеор.

с-1

100

300

500

Tср. =...

βср. =...

Контрольные вопросы

1.Что называют свободными или собственными колебаниями?

2.Какие колебания называются гармоническими? Дайте определение периода колебаний, частоты. Получите выражения для скорости и ускорения при механических гармонических колебаниях.

3.Сформулируйте закон Гука и укажите область его применимости.

4.Что такое жесткость пружины? От чего она зависит?

5.Выведите дифференциальное уравнение гармонических колебаний пружинного маятника и запишите его решение.

6.Выведите дифференциальное уравнение затухающих колебаний; докажите формулы (10.18) и (10.19). Нарисуйте зависимость x(t) для затухающих колебаний.

7.Как изменятся амплитуда и период затухающих колебаний по сравнению с незатухающими гармоническими колебаниями?

8.Что такое коэффициент затухания? Запишите уравнение, выражающее закон убывания амплитуды затухающих колебаний, нарисуйте зависимость A(t).

Вологодский государственный технический университет

9.Дайте определение логарифмического декремента затухания, докажите формулу (10.22).

10.Что такое добротность? Как она связана с уменьшением энергии колебаний? Используя (10.26), докажите (10.25) при условии малости затухания

(β<<ω0).

Используемая литература

[5]§19.1, 19.2, 19.6; [3] §27.1, 27.2, 28.1; [1] §52-54; 58. [6] §3.3; 3.6, 3.7, 3;

[11]§54; [12] §6.3.

Лабораторная работа 1-11 Изучение свободных колебаний маятника с массивной пружиной

Цель работы: Определение жесткости пружины, определение периода свободных колебаний маятника с массивной пружиной.

Теоретическое введение

Модель 1. Пружинный маятник

с безмассовой пружиной

	Рассмотрим свободные гармони-
	ческие колебания на примере пружин-
	ного маятника – груза массой m, под-
	вешенного на пружине с коэффициен-
	том жёсткости k. Массой самой пру-
	жины обычно пренебрегают (см. лабо-
	раторную работу 1.18).
	Пусть длина недеформированной
	пружины (без груза) равна l0 ; с грузом
	массой m длина пружины в состоянии
	равновесия равна l, то есть увеличива-
	ется на x0 = l - l0 (рис.11.1). Сила уп-	Рис. 11.1
	ругости уравновешивается силой тя-	Рис. 11.1
	ругости уравновешивается силой тя-
	жести:
	k × x0 = mg .	(11.1)

Вологодский государственный технический университет

Груз, выведенный из положения равновесия и предоставленный сам себе, начинает колебаться вдоль вертикальной оси. За начало отсчёта удобно принять равновесное положение груза, а ось OX направить вниз, то есть, x – это смещение груза из положения равновесия, υ – его скорость. Изменение длины пружины от первоначального недеформированного состояния будет равно (x + x0 ).

Энергия системы складывается из потенциальной энергии упругой деформации пружины:

Eупр. =

k ×( x + x

(11.2)

потенциальной энергии груза в поле силы тяжести:

Eпот.

= -mgx

(11.3)

и кинетической энергии груза:

mυ 2

(11.4)

кин.

Полная механическая энергия системы при отсутствии сил трения (сопро-

тивления среды) сохраняется:

k × (x + x0 )2

mυ 2

- mgx +

= const .

(11.5)

Продифференцируем (11.5) по времени:

k × 2 × (x + x0 )

(x + x0 ) - mg

m × 2 ×υ

dυ

= 0 .

(11.6)

Поскольку

(x + x0 ) =

= υ ,

то после сокращения на υ получим из

(11.6):

k × 2 × (x + x0 )

× -mg +

m × 2

dυ

= 0 ,

или

k(x + x0 ) - mg + m ×

d 2 x

= 0 ,

(11.7)

dt 2

dυ

d 2 x

так как

. С учётом (11.1) получим из (11.7):

k × x + m ×

2 x

= 0 .

(11.8)

dt 2

Вологодский государственный технический университет

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 188 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.202575 Кб12011 ХРОНИЧЕСКИЙ ПРОСТАТИТ.docx
#
28.05.2015472 Кб282011_ananjev_tecn_hv.pdf
#
28.05.2015470 Кб142011_gurov_politologia.pdf
#
28.05.2015604 Кб122011_rogov_nadejnost.pdf
#
28.05.2015573 Кб162012_kichigina_epr.pdf
#
28.05.20154 Мб7092012_phys_lp.pdf
#
28.05.2015579 Кб212013_Kulturologia_Metod.pdf
#
25.03.20161 Мб512013_serg_electroob.pdf
#
01.07.2025415 Кб82014 Рабочая тетрадь.Фармакология.docx
#
28.05.20154 Мб822014_bogdanov_fisika.pdf
#
28.05.2015844 Кб232014_hrustalev_elektrosn.pdf