33. Ортогональная система функций:

Определение: последовательность функций называется ортогональной на отрезке , если

СМ. «38. Тригонометрический ряд Фурье» (последний вопрос)

34. Теорема Дирихле. Условия Дирихле.

Пусть ограниченная функция удовлетворяет наусловиям:

1. интервал можно разбить на конечное число интервалов, в которых функция – непрерывная и монотонная.

2. если x_o т. разрыва функции , топределы,. Т.е точкаx₀ – т.разрыва 1 рода.

Тогда ряд Фурье функциисходится и имеет место равенство

Замечание. Если представить функцию, периодически продолженную на всю осьOx c периодом , то утверждение теоремы будет справедливо.

35. Степенные ряды. Область сходимости. Радиус сходимости.

Функциональные ряды вида называются степенным рядом по степеням(z-z₀), где a₁ a₂... a_n R -коэффициенты степенного ряда , называются степенными рядами.

При z₀=0 получим .Степенной ряд приz=0 всегда сходится, если x не равен 0 то ряд может как сходиться так и расходиться.

Поскольку замена (z-z₀)=t может свести к виду то мы будем рассматривать ряд такого вида.

Областью сходимости ряда является интервал (-R, R), В каждой точке этого интервала ряд сходится абсолютно, а на интервалах— расходится

Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости ряда, a R — его радиусом сходимости. Для некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (R= 0), для других — охватывает всю ось OX(R=). При х= R ряд может и сходиться, и расходиться (вопрос решается для каждого конкретного ряда).

36. Ряд Тейлора, область сходимости. Достаточный признак сходимости ряда Тейлора.

Всякая функция при соблюдении определённых условий в интервале, содержащем точку ,может быть представлена в нём в виде степенного ряда, и этот ряд будет её рядом Тейлора.

Опр-е: Рядом Тейлора функции f(x) называется степенной ряд вида:

Ряды Тейлора и Маклорена есть разложение функции в ряд по степеням () исоответственно ,или представление функции в окрестности точекилистепенным рядом.

Коэффициенты рядов Тейлора и Маклорена вычисляются через значения производных функции всех порядков в точках =и= 0 соответственно. Но существование производных любого порядка не является достаточным условием разложимости функции в ряд Тейлора.

Достаточный признак сходимости ряда Тейлора:

Всякая функция ,бесконечно дифференцируемая в интервале<r,может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд, называемый рядом Тейлора, если в этом интервале остаток ряда стремится к нулю.

Остаток ряда Тейлора можно записать в форме Лагранжа

Условие выполняется, если производные всех порядков функции ограничены некоторым числом

37. Ряды Маклорена

Рядом Маклорена функции f(x) называется ряд:

ОСТАЛЬНОЕ СМ. Понятия о ряде Тейлора

38. Тригонометрический ряд Фурье

Рядом Фурье для периодической с периодом T=2π функции y=f(x), определённой на интервале [-π;π], называется тригонометрический ряд:

Коэффициенты ,,находятся по формулам Фурье: