3. Методы вычисления неопределенного интеграла: метод подстановки (замены переменной), формула интегрирования по частям.
Непосредственное интегрирование – интегрирование с помощью свойств, тождественных преобразований подынтегральной функции и таблицы основных интегралов.
И
нтегрирование
по частям. Теорема.Если
функции u(x)
и v(x)
дифференцируемы на некотором промежутке
и на этом промежутке существует интеграл
, то на нем существует и интеграл
, причем
Замена переменной. Теорема. Пусть функция x = j(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т и j : Т ® X. Тогда если на множестве X функция y = f (x) имеет первообразную F(x), то на множестве Т функция F(j(t)) является первообразной для функции f (j(t)) j¢ (t). Из теоремы следует, что
.
4.Интегрирование рациональных функций.
1. Если дробь неправильная, надо выделить целую часть рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен.
2. Знаменатель Qn(x) разложим на простейшие сомножители:
Qn(x) = (x – a)k…(x – b)r (x2 + p x + q)l… (x2 + p x + q)s , где многочлены (x2 + p x + q) не имеют действительных корней.
3
.
Представим дробь Pm(x)
/Qn(x)
в виде суммы простейших дробей с
неопределенными коэффициентами:
где A1, A2, … ,Cs, Ds неопределенные коэффициенты, которые надо найти.
4. Приведем все дроби в разложении к общему знаменателю и приравняем числители в обеих частях равенства.
5. Составим систему уравнений, используя равенство многочленов, стоящих в числителе, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х.
6. Решим систему уравнений, находя некоторые коэффициенты методом частных значений, полагая x равным действительным корням знаменателя.
7. Подставим найденные коэффициенты A1, A2, … ,Cs, Ds в разложение дроби.
8. Проинтегрируем простейшие дроби.
5. Метод неопределенных коэффициентов при разложении дроби на сумму простейших дробей.
Теорема. Пусть Pm(x) /Qn(x) - правильная рациональная дробь, знаменатель которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (с вещественными коэффициентами)
Qn(x) = a (x - x1) a (x - x2) b …(x2 + p x + q)l … (x2 + r x + s) m ,
где x1, x2,… - вещественные корни, (x2 + p x + q), … (x2 + r x + s) - квадратные трехчлены, не разложимые на вещественные множители (a+…+ b+ l +…+ m = n ). Тогда имеет место разложение
где Ai , Bi , Mi , Ni , Ri , Si , … - вещественные числа (некоторые из которых могут быть равны нулю).
6. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка
И
нтегралы
вида , гдеn
и m
– целые.
1.
Если n
и m
– четные, положительные, то применяются
формулы понижения степени:
2. Если n или m – нечетное, то непосредственно отделяют от нечетной степени один множитель.
3. Если n и m – дробные или целые отрицательные и (n + m ) четное отрицательное, то замена t = tg x, иди t = сtg x.
у
ниверсальная
тригонометрическая подстановка
где R – рациональная функция
7. Интегрирование иррациональных функций.
прием
выделения полного квадрата и замены
полного квадрата на новую переменную
подстановка:
подстановка:
подстановка:
,
где a,
b,
g
…– дробные рациональные числа.
Рационализация проводится подстановкой:
,
гдеs
– наименьшее общее кратное a,
b,
g
,
где a,
b,
g
…– дробные рациональные числа.
Рационализация проводится подстановкой:
,
гдеs
– наименьшее общее кратное a,
b,
g
Выражение
вида
где (m,n,p,a,b)
– const,
называется дифференциальным
биномом,
интеграл от него решается при помощи
подстановки Чебышева.
8. Интегрирование дифференциального бинома. Теорема
И
нтеграл
вида , гдеm,
n,
p
– рациональные числа
выражается через элементарные функции только в следующих случаях:
p
< 0
–
целое
Þ
x
= t
s,
d
x
= s
t
s-1
d
t
, s
–
нок
знаменателей
m
и
n;
–целое
Þ
, s
–
знаменатель
дроби
p
=
к/s,
;
– целое Þ ,
s – знаменатель дроби p= к/s,
