23. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости.

Функциональные ряды вида , где a_n, z, z₀ – комплексные числа, называются степенными рядами. Числа a_n, n=0,1,2…называются коэффициентами степенного ряда.

Т. Абеля. Если степенной ряд (1) сходится при z=z₀, то он сходится и при том абсолютно при любом z, у которого .

Доказательство. Пусть ряд (2) сходится, тогда его n-ый членстремиться к нулю прии поэтому последовательность

{} ограничена, т.е. существует такая постоянная M>0, что, а n=0,1,2… В силу этого для n-го члена ряда (1) получается следующая оценка:. Если, то ряд, являясь геометрической прогрессией со знаменателем<1, сходится. Поэтому по признаку сравнения сходится и ряд, а это означает абсолютную сходимость ряда (1) при. Теорема доказана.

У всякого степенного ряда существуетрадиус сходимости R. В круге сходимости, т.е. при любом z, у которого , рядсходится абсолютно. На любом круге, где r фиксировано и r<R, ряд сходится равномерно. Пусть R- радиус сходимости степенного ряда , тогда R =.

24.Тригонометрический ряд Фурье. Нахождение коэффициентов для четных и нечетных функций.

Рядом Фурье для периодической с периодом Т=2п функции у=f(x), определенной на интервале [-п,п], называется тригонометрический ряд.(1)

Коэффициенты и находятся по формулам ФурьеДля четной периодической функции все коэффициенты и ряд Фурье будет рядом по косинусам

Для нечетной периодической функции коэффициенты и ряд Фурье будет рядом по синусам

25. Нахождение коэффициентов для тригонометрического р. Фурье (теорему док).

Теорема: Если ф-ия определена наи разлагается в тригонометрический ряд(*), к-е можно почленно интегрировать, то это разложение единственное.

Доказательство: Умножим обе части (*) на , проинтег-ем на. Аналогично умножим (*) наи проинтег-ем.. Умножим (*) наи проинтег-ем наКоэфф-ты рав-ва (*) опр-ся единственным образомтакое разложение единственное,,,Теорема доказана.

1. Понятие первообразной. Свойства первообразной.

Определение. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на (a;b), если для x(a;b) выполняется равенство F’(x)’=f(x)

Т. (о первообразных). Все первообразные для данной функции отличаются на постоянное слагаемое.

Это значит, что ели F(x) есть какая-либо первообразная для функции f(x), то все бесконечное множество ее первообразных можно записать одним выражением F(x)+C.

Для того, чтобы 2 функции были дифференцируемы на Т или были первообразными одной и той же функции необходимо и достаточно, чтобы на этом промежутке эти 2 функции отличались на константу.

F(x)-G(x)=C

Совокупность всех ее (функция f задана на Т) первообразных называется неопределенным интегралом.

Обозначается

f(x)-подынтегральная функция

f(x)dx-подынтегральное выражение

∫ - знак неопределенного интеграла

2. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.

Определение. Неопределенным интегралом от функции f(x) на интервале (a;b) называется совокупность всех ее первообразных.

, где F(x), какая-либо первообразная функции f(x) на (a;b).

f(x) – подынтегральная функция

f(x)dx подытегральная функция

 - знак интеграла.

Свойства неопределенного интеграла.

1. Вынесение постоянного множителя.

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

2. Почленное интегрирование.

Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых

3. Дифференцирование интеграла.

Производная неопределенного интеграла по переменной интегрирования равна подынтегральной функции

это свойство является единственным критерием проверки правильности результата интегрирования.

4. Символы неопределенного интегрирования и дифференциала, стоящие рядом, взаимно уничтожаются

5. Инвариантность формы

Форма результата интегрирования не зависит от того, что является переменной интегрирования – независимая переменная, или функция U(x) (свойство инвариантности формулы интегрирования).

Т.е. если