Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

абсурдный результат, что точки Л и В притягиваются друг к другу с произвольной, наперед заданной силой.

Р е ш е н и е . Не учтено кориолисово ускорение. Введем систему отсчета S, равномерно вращающуюся вокруг точки А с угловой скоростью + ш . Пусть точка В вращается относительно этой системы с угловой скоростью — ш. Обоз­ начая'вектор АВ посредством г, имеем для скоростей и ускорений точки В:

Период вращения карусели Т = 10 с, скорость пули v = 300 м/с. Пренебрегая максимальной линейной скоростью вращающейся карусели coR по сравнению со скоростью пули, определить приближенно, под каким углом а к диаметру кару­ сели должен целиться стрелок, чтобы поразить мишень. Задачу рассмотреть как с точки зрения вращающейся, так и с точки зрения неподвижной системы, и срав­ нить результаты.

О т в е т , a = ^ = 0 , 0 2 0 9 рад = 1,2е .

3. Тонкий стержень длины I вращается вокруг одного из концов, описывая круговой конус (физический конический маятник). Найти период движения Т в зависимости от угла при вершине конуса 2ф.

У к а з а н и е . В системе отсчета, вращающейся вместе со стержнем вок­ руг вертикальной оси, стержень покоится. Задача сводится к нахождению усло­ вия равновесия подвешенного стержня в этой системе под действием силы тяжести и центробежной силы.

О т в е т . Т = 2лУЩр.

4. Физический маятник, состоящий из шарика, насаженного на конец тон­ кого жесткого стержня, может свободно колебаться вокруг горизонтальной оси Л, проходящей через верхний конец стержня. Ось Л неподвижно закреплена на геометр'ической оси горизонтального диска, равномерно вращающегося вокруг этой (вертикальной) геометрической оси с угловой скоростью со. Таким образом, плоскость колебаний маятника вращается вместе с диском с той же угловой ско­ ростью со. Найти период малых колебаний маятника, если масса стержня пре­ небрежимо мала по сравнению с массой шарика. При каком условии нижнее вертикальное положение стержня станет неустойчивым положением равновесия?

О т в е т . Т = 2п "j/"g , е с л и ^<ё- При ^ положение равновесия

неустойчиво.

5. Представим себе, что в земном шаре просверлен канал по диаметру в пло­ скости экватора. Вычислить силу F, с которой будет давить на стенку канала тело, падающее по нему с поверхности Земли, в тот момент, когда оно достигнет центра Земли. Считать, что трения нет, а плотность Земли однородна.

тяжения Солнца для того, чтобы орбита планеты, не меняя своего вида, враща­ лась вокруг Солнца?

346 ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТ. НЕИНЕРЦ. СИСТЕМ ОТСЧЕТА [ГЛ. IX

Эрэщающейся с угловой скоростью Q. В этой системе ось фигуры гироскопа непо­ движна, так что

*>отн =[*>/•] . t»n ep = [Or], в„ер = [0 [Яг]]. (64,23)

Мысленно выделим из тела гироскопа элемент массы dm с радиусом-вектором г (см. рис. 185). Обозначим посредством df действующую на него (реальную) силу. При использовании формулы (64.9) надо помнить, что теперь угловая скорость вращения системы отсчета обозначена О (а не to, как в этой формуле). Применив к выделенному элементу массы второй закон Ньютона, использовав формулу (64.9) и выражения (64.23), можем написать

Поскольку гироскоп предполагается идеально твердым телом, его уравнения

Рис. 185. корение). Сила / возникает автоматически как реакция точки опоры на прецессирующий ги­ роскоп.

Перейдем теперь к вычислению момента сил М. Для этого радиус-вектор г надо векторно умножить на выражение (64.24) и проинтегрировать по т.- Но и без вычислений ясно, что при таком интегрировании слагаемое dm [со [cor]] не внесет

никакого вклада в момент М. Действительно, член, возникающий от интегриро­ вания этого слагаемого, не зависит от того, содержатся в сумме (64.24) другие сла­ гаемые или не содержатся. Но рассматриваемое слагаемое соответствует равно­ мерному вращению вокруг оси фигуры гироскопа, которая, как известно, является одной из свободных осей вращения, а для равномерного вращения вокруг свобод­ ной оси никаких внешних сил не требуется. По той же причине не повлияло бы на величину момента М и последнее слагаемое суммы (64.24), если бы прецессия происходила вокруг оси, перпендикулярной к оси фигуры гироскопа, а его центр масс С совпадал с точкой опоры О. Во всех остальных случаях это не так.

Однако при вычислении момента М мы пренебрежем последним слагаемым

в(64.24) и вот по какой причине. Мы будем предполагать прецессионное враще­ ние ii очень медленным по сравнению с собственным вращением со и пренебрегать квадратами малой величины Q. А последнее слагаемое в (64-24) как раз квадра­

тично по Q. Таким образом, момент М происходит лишь от второго слагаемого

всумме (64.24). Разложив соответствующее двойное векторное произведение, умножив его векторно на г и проинтегрировав, получим

М= 2 j (Яг) [rco]rfm.

Для вычисления интеграла введем прямоугольную систему координат. Ось Z направим вдоль оси фигуры гироскопа, а ось X расположим в плоскости, в кото­ рой лежат векторы со и Q (см. рис. 185). В этой системе координат

М = — 2/coC>x j х2 dm —2/шОг ^ гх dmJr2ia>Qx ху dmJr2i(x>Qz J yz dm.

Все входящие сюда интегралы, за исключением первого, обращаются в нуль из-за осесимметричного распределения масс. Первый же член может быть записан в виде

Векторное произведение [Йш] есть вектор скорости, с которой при регулярной прецессии движется конец вектора со, неизменно связанный с осью фигуры гиро­ скопа. Таким образом, вершина гироскопа перемещается не в направлении при­ ложенной силы, а в перпендикулярном к ней направлении — в направлении момента М. Это — то, что кажется более всего удивительным в движении гиро­ скопа. Если перейти к системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью пре­ цессии й, то можно сказать, что в этой системе момент внешних сил должен уравновешивать момент сил инерции Кориолиса.

§65. Уравнение относительного движения материальной точки

вгравитационном поле Земли с учетом ее вращения

1.Применим уравнение относительного движения (64.15) к дви­ жению тел относительно Земли. Движущуюся систему отсчета S свяжем с вращающейся Землей. Речь идет о вращении Земли отно­ сительно инерциальной системы отсчета, например системы Копер­ ника. Начало координат О поместим в центре Земли. Таким обра­

зом, под v0 следует понимать скорость, а под v0 — ускорение центра Земли. Земля вращается практически равномерно, а потому послед­ ний член в уравнении (64.15) выпадает. Далее, так как речь будет

F0 — равнодействующая сил гравитационного притяжения Солнца, Луны, планет, звезд и прочих небесных тел, F — геометрическая сумма всех остальных сил, действующих на материальную точку. Сила F слагается, например, из силы сопротивления воздуха, силы

с одинаковым ускорением. Этот закон называется обобщенным зако­ ном Галилея, так как Галилей был первым, кто установил его справедливость для тел, свободно падающих в поле тяжести Земли. Из этого закона следует, что сила, действующая на тело в грави­ тационном поле, не зависит от состава тела, а только от его массы. Она строго пропорциональна массе тела. В этом отношении силы тяготения ведут себя так же, как и силы инерции. Последние, очевидно, также строго пропорциональны массам тел.

3. Основной вклад в силу F0 вносят гравитационные поля Солнца и Луны. Эти поля, в особенности гравитационное поле Луны, неоднородны. Они убывают обратно пропорционально квад­ ратам расстояний от СолНца и Луны. Однако размеры Земли очень малы по сравнению с этими расстояниями. При рассмотрении движений вблизи земной поверхности изменениями гравитацион­

тационное поле в окрестности Земли однородным. Однородное гра­ витационное поле сообщает одно и то же ускорение всем телам, независимо от того, в каких точках поля эти тела находятся. Зна­ чит, в принятом приближении внешнее гравитационное поле сооб­

4. Сила Fz гравитационного притяжения Земли, а с ней и векторная сумма Fs + mtoVj^, вследствие того же закона Гали­ лея, пропорциональны массе материальной точки т. Эта сумма не зависит от относительного движения точки и характеризует только гравитационное поле Земли и ее вращение. Целесообразно рассматривать эту сумму как единую величину. Для нее мы введем обозначение

Величина g" одна и та же для всех тел — она может меняться только при переходе из одной точки пространства в другую.

Для установления физического смысла вектора g допустим, что внешних сил нет (F = 0), а скорость v материальной точки равна нулю. Тогда из формулы (65.3) следует # = g \ Таким обра*

зом, вектор gecmb ускорение свободно падающего тела относительно Земли при условии, что его скорость в рассматриваемый момент равна Нулю. Оговорка относительно скорости тела необходима, так как при наличии скорости v появляется дополнительное уско­ рение Из-за кориолисовой силы. Мы видим, что ускорение свобод­ ного падения состоит из двух слагаемых

Первое из них, g " a 6 c = ^ F 3 есть ускорение, вызванное силой грави­ тационного притяжения Земли. Такое ускорение мы получили бы, если бы измеряли ускорение свободного падения относительно неподвижной системы отсчета при условии, что, помимо земного гравитационного поля, никаких других полей нет. Второе сла­ гаемое coVjL есть ускорение, сообщаемое центробежной силой инер­ ции и связанное с вращением Земли.

лежит на подставке. Оно действует на подставку с силой Р,

Учитывая (65.4), видим, что Р состоит из двух слагаемых:

же самыми. В этом случае направление нити определяет направле­

на экваторе g a 6 c меньше, чем на полюсе. Это объясняется сплюс­ нутостью Земли, обусловленной действием центробежных сил. Точки экватора отстоят от центра Земли дальше, чем полюсы. Поэтому они притягиваются к центру Земли слабее, чем такие же точки на полюсе. Разумеется, изменение ускорения свободного паде­ ния g на земной поверхности нельзя обнаружить с помощью рычаж­ ных весов. Но это можно сделать с помощью пружинных весов.

и он свободно падает в гравитационном поле, то относительное движение внутри корабля описывается прежним уравнением (65.3). Только ввиду ничтожности гравитационного поля, создаваемого самим кораблем, член mg теперь обусловлен исключительно вращением корабля и равен /исо2г_]_ (центробежная сила). Если ко­ рабль не вращается, а взвешиваемое тело относительно него по­ коится, то из уравнения (65.3) получаем F = 0. Величина F есть сила, с которой на тело действует растянутая пружина весов. Мы видим, что пружина не растянута, т. е. вес, показываемый весами, равен нулю. Весы не реагируют на внешние гравитацион­ ные поля, последние полностью компенсируются поступательными силами инерции. Такое состояние «невесомости» свойственно всем телам внутри космического корабля. Состояние «невесомости» проявляется в том, что в телах полностью отсутствуют внутренние упругие напряжения, которые в обычных условиях возникают под действием силы тяжести.

Если корабль вращается, то появляется центробежная сила, не компенсируемая внешними гравитационными полями. Эта сила создает на корабле «искусственную тяжесть».

Наконец, если включены двигатели, сообщающие кораблю дополнительное поступательное ускорение w, то в правой части уравнения (65.3) добавляется член —mw. Весы покажут вес Р = = —mw. Все тела внутри космического корабля снова становятся «весомыми». Этим «весом» и обусловлены перегрузки, которые испытывают космонавты при старте или торможении космических кораблей.

внутри самолета, если длина маятника равна /, корпус самолета наклонен к напра­ влению горизонта под углом а.

О т в е т . Нить отвеса установится перпендикулярно к полу салона само-

лета. Г = 2 я ] / " ^ р .

§67. Отклонение падающих тел от направления отвеса

1.Пусть тело свободно падает в поле тяжести Земли. В этом

случае F = 0, и уравнение (65.3) переходит в

Это уравнение описывает свободное падение тел с учетом вращения Земли. Влияние вращения Земли сводится к действию центробежной и кориолисовой сил. Центробежная сила учитывается автоматически, так как она включена в вес тела mg" как его составная часть. Наличие этой силы не меняет вид уравнения. Только направление к центру Земли заменяется направлением отвеса. В остальном центробежная сила не приводит к качественно новым явлениям. Более существенно влияет на характер движения кориолисова сила. При падении тел без начальной скорости кориолисова сила проявляется в отклонении свободно падающих тел к востоку и экватору от направления отвеса.

Теория этих явлений сводится к решению дифференциального урав­ нения (67.1). Если вектор g постоянен, то векторное уравнение (67.1) эквивалентно системе трех линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Точное решение такой системы получить нетрудно с помощью общеизвестных методов, излагаемых в теории дифференциальных уравнений. Однако мы по этому пути не пойдем. Он громоздок, а главное, получение точных решений вряд ли оправдано, когда в уравнении (67.1) пренебрегается зависимостью g от координат. Последнее допустимо лишь тогда, когда движение рассматривается в сравни-