Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

Произведение Tk с точностью до величин высшего порядка малости

по к дает приращение Ak параметра k за период Т. Таким образом, вместо (43.4) можно написать

Приращение Ak за период колебаний может быть сделано сколь угодно малым. Поэтому, если энергию Е рассматривать как функ­ цию параметра k, то в пределе приближенное соотношение (43.5) перейдет в точное дифференциальное уравнение

Используя формулы (40.3) и (40.4), из этого соотношения получим еще два других:

При этом период колебания Т и частота со, входящие в эти соотно­ шения, должны вычисляться так, как если бы при колебаниях пара­ метр k оставался постоянным, т. е. по формулам (40.3) и (40.4). Например, в случае медленного укорочения нити математического маятника, совершающего малые колебания, его период Т медленно уменьшается от колебания к колебанию. Одновременно энергия колебаний возрастает таким образом, что произведение ЕТ остается постоянным.

3. Для правильного понимания доказанной теоремы необходимо точно отдавать себе отчет, что понимается под медленностью измене­ ния параметра осциллятора k. Недостаточно, чтобы изменения пара­ метра k на каждом периоде колебаний были бесконечно малы. Надо, чтобы эти изменения удовлетворяли условию (43.2). Представим себе, например, что вблизи нижнего положения нить математиче­ ского маятника действием внешних сил немного укорачивается, а вблизи крайних положений удлиняется, принимая исходное значение. Работа внешних сил при укорочении нити вблизи ниж­ него положения будет больше работы, производимой маятником над внешними полями при удлинении нити вблизи каждого край-

него положения. Причина этого в том, что при колебаниях маят­ ника натяжение нити меняется, достигая максимума в нижнем положении. Поэтому за каждое колебание в систему дважды будет вкладываться энергия. И если число колебаний взять достаточно большим, то и прирост энергии можно сделать также большим, хотя длина маятника, а с ней и период Т останутся неизменными. Колебания с периодически меняющимися параметрами называются параметрическими. Примером могут служить качели. К парамет­ рическим колебаниям результаты (43.7) и (43.8) не применимы, сколь бы малыми ни были изменения параметра k в пределах каж­ дого периода колебаний. Причина этого в том, что эти изменения не удовлетворяют условию (43.2). Грубо говоря, условие (43.2) сво­ дится к требованию, чтобы изменения параметра k происходили медленно и монотонно. Так, в приведенном примере адиабатическая инвариантность выражений (43.7) и (43.8) будет иметь место, если длина нити изменяется медленно и монотонно. Если же на такие изменения наложить еще малые изменения колебательного харак­ тера, подобные тем, которые имеют место при параметрическом воз­ буждении колебаний, то к таким случаям теорема об адиабатиче­ ской инвариантности выражений (43.7) и (43.8) не применима.

4. Полученные результаты можно обобщить на случай негармо­ нических колебаний с одной степенью свободы, т. е. колебаний, совершающихся под действием не квазиупругих сил. В этом случае колеблющаяся величина меняется во времени не синусоидально, а как-то иначе. Период колебаний Т определяется не только пара­ метрами системы, но и их амплитудой. Вместо формулы (43.7) полу­ чается

за период колебания (черта как раз и означает такое усреднение), т. е.

t+T

В случае гармонических колебаний, как нетрудно доказать, сред­ ние за период значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы, а потому на каждую из них приходится половина пол­ ной энергии, т. е. К = U = *12Е. Тогда формула (43.9) переходит в ранее полученную формулу (43.7).

Подставим выражение (43.10) в формулу (43.9) и примем во внимание, что К = V 2 mv2, р = mv, dq = vdt, где dq — прираще­ ние координаты, определяющей положение материальной точки. Тогда получится

Следовательно, J = const, как бы велики ни были изменения параметра I, т. е.

величина J является адиабатическим инвариантом. Такая адиабатическая инва- dJ

нальна первой степени производной /, то адиабатической инвариантности J не

получилось бы.

ЗА Д А Ч И

1. Шарик математического маятника или шарик, прикрепленный к пружине

сзаданным коэффициентом упругости, медленно испаряется (система с перемен­

2 . Шарику массы т, надетому на тонкую стальную спицу, масса которой4 пренебрежимо мала по сравнению с т, сообщена продольная скорость в направ­ лении к точке закрепления спицы, а также скорость в перпендикулярном направ­ лении. Предполагая, что за период колебания шарика его смещение вдоль спицы

шарика от точки закрепления спицы (см. задачу 20 к § 42). Поэтому адиабатиче­ ским инвариантом будет также А = v^l. Кроме того, движение шарика подчи­ няется закону сохранения энергии, который требует, чтобы полная скорость шарика v сохранялась по абсолютной величине. Если Иц — скорость шарика вдоль спицы, то и2 = + v-^ = const. Таким образом, величина А = (у2 — v3^)l

есть адиабатический инвариант. На расстоянии /0 , при котором и2 /0 = А, про­ дольная скорость Уц обратится в нуль. Поэтому шарик не может подойти к точке закрепления ближе, чем на расстояние 1и. Достигнув положения I = 10, он должен отразиться.

Г Л А В А VII

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

§44. Твердое тело в механике. Уравнения движения

иравновесия твердого тела

1.В двух предыдущих главах уже говорилось о законах дви­ жения твердого тела и их применениях к некоторым простейшим движениям. В этой главе будет продолжено изучение избранных вопросов механики твердого тела.

Напомним, что твердым телом в механике называют неизменяе­ мую систему материальных точек, т. е. такую идеализированную систему, при любых движениях которой взаимные расстояния между материальными точками системы остаются неизменными. Здесь, как и вообще в классической механике, под материальными точками понимают не атомы или молекулы, а достаточно малые макроскопи­ ческие части, на которые мысленно можно разделить рассматривае­ мую механическую систему.

Сатомистической точки зрения силы взаимодействия между материальными точками твердого тела являются силами электри­ ческими. Но атомистический подход чужд феноменологической ме­ ханике твердого тела. Последняя рассматривает твердое тело как сплошную среду, между различными элементами которой действуют внутренние силы в виде нормальных и касательных напряжений.

Причиной их феноменологическая механика считает деформации тел. Если в теле совсем нет деформаций, то не может быть и внут­ ренних напряжений. Однако если деформации, возникающие под действием внешних сил, малы и сами по себе нас не интересуют, то в ряде случаев от них можно отвлечься. Таким путем мы приходим к идеализированной модели тела, совершенно не способ­ ного деформироваться, хотя под действием внешних сил в нем и могут возникать внутренние натяжения и давления. Это и есть идеально твердое тело. Допустима или нет такая, как и всякая другая, идеализация — это определяется не только свойствами реальных тел, но и содержанием тех вопросов, на которые надо получить ответ.

2.Твердое тело является механической системой с шестью степенями свободы (см. § 8). Для описания его движения требуется шесть независимых числовых уравнений. Вместо них можно взять два независимых векторных уравнения. Таковыми являются

уравнение движения центра масс

Уравнение моментов можно брать относительно произвольного неподвижного начала или относительно центра масс твердого тела. Можно также брать произвольно движущееся начало, если только скорость его в любой момент времени параллельна скорости центра масс (см. § 37). При ограничении свободы движения число незави­ симых уравнений, требующихся для описания движения твердого тела, уменьшается. Оно всегда равно числу степеней свободы.

В уравнения (44.1) и (44.2) входят только внешние силы. Внут­ ренние силы не влияют на движение центра масс и не могут изме­ нить момент импульса тела. Они могут изменять только взаимное расположение и скорости материальных точек тела. Но для абсо­ лютно твердого тела такие изменения невозможны. Таким образом, внутренние силы не влияют на движение твердого тела. Если же сила внешняя, то точку приложения ее можно произвольно пере­ мещать вдоль линии, по которой она действует. Действительно, при таком перемещении не меняются результирующая внешних

сил FBueiu и их момент Ж в н е ш , т. е. уравнения движения (44.1) и (44.2) остаются без изменения. Подобное перемещение не допустимо

в случае деформируемого тела, так как оно приводит к перераспре­ делению деформаций и изменению внутренних движений тела.

3. Если твердое тело покоится, то уравнения (44.1) и (44.2)

Это — необходимые условия равновесия твердого тела. Но они не являются достаточными. При их выполнении центр масс может еще двигаться прямолинейно и равномерно с произвольной ско­ ростью, а само тело может вращаться с сохранением вращатель­ ного импульса. Так как при равновесии результирующая внешних сил FBBein равна нулю, то момент этих сил Л 1 в н е ш в состоянии рав­ новесия не зависит от положения неподвижного начала О, относи­ тельно которого он берется [см. формулу (30.7)]. Поэтому при ре­ шении любой задачи на равновесие твердого тела начало О можно выбирать произвольно, что можно использовать для упрощения самого решения.

4. Не всегда можно заменять реальные твердые тела идеализированными абсолютно твердыми моделями даже в тех случаях, когда деформации пренебре. жимо малы. В качестве примера рассмотрим задачу о равновесии твердой балки. Пусть однородная балка веса Р лежит на двух опорах 1 а 2 (рис, 108). Центр

масс балки находится посередине между опорами. Найдем силы Ft и F2, с которыми балка давит на опоры. Механика твердого тела дает два условия рав­ новесия:

где I — расстояние между опорами. Второе из них означает, что должен обра­ щаться в нуль момент действующих сил относительно опоры 1. Из этих условий получаем Fx = F2= Я/2. Это —- разумный результат. Деформации балки в рас­ сматриваемой задаче не играют существенной роли. Идеализация абсолютно твердого тела допустима.

ifi

р

Рассмотрим теперь балку на трех опорах (рис. 109). Механика твердого тела по-прежнему дает два условия равновесия:

где I — расстояние между опорами 1 и 2, а х — между опорами / и 3. (Второе уравнение (44.5) получится, если приравнять нулю момент внешних сил отно­ сительно опоры 1.) Двух уравнений недостаточно для определения трех неизвест­ ных сил Fi, F2, Fs. Одной из этих сил можно придать произвольное значение, тогда из уравнений (44.5) найдутся остальные две. Задача о распределении веса абсолютно твердой балки между тремя опорами, на которых она лежит, оказалась неопределенной. Механические системы, подобные абсолютно твердой балке на трех опорах, называют статически неопределенными.

Аналогичная ситуация встречается также в задаче о равновесии стола, стоящего на горизонтальной плоскости. Механика твердого тела дает в этом случае три независимых уравнения равновесия. Если число ножек стола три, то из этих трех уравнений можно однозначно определить три силы, с которыми ножки давят на плоскость опоры. Но если стол стоит на четырех ножках, то трех уравнений мало для определения четырех сил давления ножек на плоскость опоры. Идеально твердый стол с четырьмя ножками, стоящий на идеально твер­ дой горизонтальной плоскости, является также статически неопределенной системой.

Конечно, вес реальной балки, лежащей на трех опорах, вполне определен­ ным образом распределяется между ними. Точно так же вполне определенным образом распределяется сила давления реального стола между четырьмя нож­ ками, на которых он стоит. Неопределенность, к которой мы пришли, указывает просто на то, что в рассматриваемых задачах балку на трех опорах или стол на

5. Следующее простое рассуждение выясняет, почему деформации могут оказаться существенными. Допустим, что идеально твердая балка лежит на трех опорах (см. рис. 109). Сместим среднюю опору немного вниз. Так как идеально твердая балка не может деформироваться, то между ней и опорой 3 сразу же воз­ никнет зазор — балка перестанет опираться на опору 3 и давить на нее. Сила давления на опору 3 скачком обратится в нуль, а вес балки вполне определен­ ным образом и тоже скачком распределится между оставшимися опорами / и 2. То же произойдет, если у твердого стола бесконечно мало укоротить одну из четырех ножек. Не то будет в случае реальной балки или реального стола. При бесконечно малом опускании опоры 3 балка прогнется и по-прежнему будет на нее опираться. Сила давления на опору 3 не обратится в нуль, а умень­ шится бесконечно мало. Аналогично, когда стол стоит на четырех ножках, то все ножки деформируются, укора­ чиваясь под действием силы веса. Если подпилить одну из ножек, укоротив ее бесконечно мало, то деформация ножки

уменьшится, ножка удлинится и снова будет касаться плоскости опоры. Таким образом, и в этом случае давление на ножку изменяется бесконечно мало, т. е. непрерывно.

Допустим теперь, что реальная балка лежит на двух опорах, 1 и 2 (рис. 110). Под действием силы веса балка прогнется. Будем подводить под балку третью опору 3, непрерывно поднимая ее. Как только опора 3 коснется балки, с балкой не произойдет еще никаких изменений. Но дальнейшее поднятие опоры 3 будет связано с выпрямлением балки, а для этого опора должна действовать на балку с некоторой силой. По мере поднятия опоры 3 эта сила будет непрерывно возра­ стать, принимая вполне определенное значение при каждом положении опоры 3. Приведенное рассуждение ясно показывает, почему при решении задачи о распре­ делении веса балки между тремя опорами надо учитывать ее упругие свойства. Эта задача будет решена в гл. X (см. задачу 3 к § 80). Аналогичное рассуждение можно провести и для стола на четырех ножках.

§45. Мгновенная ось вращения

1.Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси. Чтобы получить представление о распределении скоростей в нем, достаточно рассмотреть движение точек тела, лежащих в какойлибо одной плоскости, перпендикулярной к оси вращения. Это значит, что тело можно считать как бы плоским. Соответствующее распределение скоростей показано на схематическом рис. 111. Точка О тела, через которую проходит ось вращения, неподвижна. Все другие точки тела движутся по окружностям с центром в О. Их скорости пропорциональны радиусам соответствующих окруж­ ностей. Величины скоростей могут меняться с течением времени, но ось вращения остается одной и той же.

2.Рассмотрим теперь более общее движение плоского твердого тела. Плоскость вращения совпадает с плоскостью самого тела. Никакой неподвижной оси, вокруг которой происходило бы вра­ щение тела, не предполагается. Если Л и В — две произвольные