Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

2. Вычисление момента инерции тела относительно оси часто можно упростить, вычислив предварительно момент инерции его относительно точки. Сам по себе момент инерции тела относительно точки не играет никакой роли в динамике. Он является чисто вспо­ могательным понятием, служащим для упрощения вычислений.

Моментом инерции тела относительно точки О называется сумма произведений масс материальных точек, из которых тело состоит, на квадраты их расстояний R до точки О:

в= HmR2. В случае непрерывного распре­ деления масс эта сумма сводится к интегралу

в= § R2 dm. Само собой понятно, что момент в не следует смешивать с моментом инерции / относительно оси. В случае момента / массы dm умножаются на квадраты расстояний до этой

Это соотношение справедливо не только для одной материальной точки, но и для произвольного тела, так как тело можно рассматри­ вать как совокупность материальных точек. Таким образом, сумма

вообще говоря, изменятся. Однако их сумма останется той же самой, так как она равна 26, а величина 0 не зависит от ориентации коор­

точки и не меняется с изменением ориентации осей. Более глубокая геометрическая природа этого утверждения раскрывается в тен­ зорной алгебре.

3. Другое следствие можно получить для плоского распреде­ ления масс. Допустим, что имеется пластинка произвольной формы с произвольным распределением вещества по ее объему. Если пла­ стинка очень тонкая, то можно считать, что вещество распределено бесконечно тонким слоем по математической плоскости. Примем эту плоскость за координатную плоскость XY. Тогда г-координаты всех материальных точек будут равны нулю, а потому момент инерции в пластинки относительно начала координат О предста­

откуда k = 1/3. В результате находим

(36.5)

(36.6)

7. Момент инерции бесконечно тонкого диска и сплошного цилиндра. Предпо­ лагается, что диск и цилиндр однородны, т. е. вещество распределено в них с по­ стоянной плотностью. Пусть ось Z проходит через центр диска С перпендикулярно к его плоскости (рис. 68). Рассмотрим бесконечно тонкое кольцо с внутренним

Момент инерции диска относительно диаметра вдвое меньше, как это непосредст­

Формула (36.11) дает также момент инерции однородного сплошного цилиндра

Первое слагаемое в правой части формально совпадает с выражением для момента инерции однородного бесконечно тонкого стержня, а потому равно Vs ml2. Второе слагаемое равно 1/4 mR2. Следовательно,

(36.13)

Момент инерции / с относительно поперечной геометрической оси, проходя­ щей через центр масс цилиндра, можно найти по формуле (36.13), если цилиндр разделить на два цилиндра с высотами 1/2 и массами т/2. Получим

10 . Момент инерции сплошного однородного шара. Сплошной шар можно рас­ сматривать как совокупность бесконечно тонких сферических слоев с массами

Формула (36.18) дает также момент инерции однородного эллиптического ци­ линдра относительно его продольной геометрической оси.

направим вдоль главных осей эллипсоида. Длины полуосей эллипсоида обозначим а, Ь, с. Вычислим момент инерции его относительно главной оси Z. Эллипсоид может быть получен из шара равномерным сжатием или растяжением по трем

в бесконечно тонкий круглый диск (конечно, с неравномерным распределением масс). Момент инерции 1г при этом остается неизмененным, а моменты инерции 1х и 1у будут равны между собой ввиду симметрии. На основании соотношения (36.4) lx = Iу — 1/2IZ = Чьтаг. Произведем затем равномерное сжатие круглого диска в направлении оси У, чтобы его размеры в этом направлении сделались

конец, произведем равномерное растяжение эллиптического диска в направлении оси Z, чтобы он превратился в трехосный эллипсоид с полуосями а, Ъ, с. При этом

Моменты инерции относительно остальных двух главных осей равны соответ­ ственно

/ * = J ( 6 2 + c 2 ) , = + а2 )-

§37. Уравнение моментов относительно движущегося начала

идвижущейся оси

1. Уравнение моментов (30.5) справедливо для того случая,

к моментам относительно неподвижной оси. В некоторых случаях, однако, целесообразно рассматривать движущиеся начала или движущиеся оси. Исследуем, как меняется в этом случае уравнение моментов. Особый интерес представляют случаи, когда уравнение моментов относительно движущегося начала сохраняет прежний вид (30.5).

2. Рассмотрим сначала одну материальную точку. Будем по­

О. Движение начала О может быть как равномерным, так и не­ равномерным. Скорость этого движения обозначим через Vo- Момент импульса движущейся точки относительно начала О опре­

грузе. Среднее натяжение нити во время рывка ГрЬ 1 в можно оценить следующим образом. Надо вычислить максимальную скорость груза М в нижнем положении.

Обозначим ее v. За время полоборота шкива Дг = — количество движения груза М

^1,42 Г0 .

3.Монета массы m и радиуса г, вращаясь в горизонтальной плоскости во­ круг своей геометрической оси с угловой скоростью со, вертикально падает на горизонтальный диск и прилипает к нему. В результате диск приходит во враще­ ние вокруг своей оси. Возникающий при этом момент сил трения в оси диска

постоянен и равен М0. Через каиое время вращение диска прекратится? Сколько оборотов N сделает диск до полной остановки? Момент инерции диска относи­ тельно его геометрической оси /0 . Расстояние между осями диска и монеты равно d.

О т в е т . / = _ ш ; N = ^ t-, где / = /„ + т ( * + у

4. Сплошной однородный короткий цилиндр радиуса г, вращающийся во круг своей геометрической оси со скоростью п об/с, ставят в вертикальном поло­ жении на горизонтальную поверхность. Сколько оборотов N сделает цилиндр, прежде чем вращение его полностью прекратится? Коэффициент трения скольже­ ния между основанием цилиндра и поверхностью, на которую он поставлен, не зависит от скорости вращения и равен к.

., Зяля'-

N = — г , — .

4kg

5. Тонкий стержень массы m и длины L (рис. 73) подвешен за один конец и может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси. К той же оси под­ вешен на нити длины / шарик такой же массы т. Шарик отклоняется на неко­ торый угол и отпускается. При какой длине нити шарик после удара о стержень остановится? Удар абсолютно упругий.

О т в е т . l=-^rz.

КЗ

6. Математический маятник массы т и стержень массы М (рис. 74) подве­ шены к одной и той же точке А, вокруг которой они могут свободно колебаться. Длина нити маятника равна длине стержня. Шарик маятника отклоняют в сто­ рону, так что он приподнимается на высоту Н относительно своего нижнего шло-

жения. Затем шарик отпускают, и он сталкивается неупруго с палкой. Как будут двигаться шарик и нижний конец палки после удара и на какие высоты они поднимутся?

Р е ш е н и е . Скорость шарика в нижнем положении до удара v a—\f2gH. Так как удар неупругий, то непосредственно после удара шарик и нижний конец стержня в нижнем положении будут иметь одну и ту же скорость v. Она найдется

Теперь надо решить, будут ли шарик и стержень после столкновения дви­ гаться вместе или при дальнейшем движении они разойдутся. С этой целью вы­ числим скорость шарика vx и нижнего конца стержня v2 при поднятии на какую-то одну и ту же высоту hlt если бы при этом они двигались независимо друг от друга. Эти скорости найдутся из уравнений сохранения энергии

Преобразовав второе уравнение к виду

v'i — vi = 3ghx,

видим, что vx > щ. Поэтому в любом положении шарик будет стремиться обог­ нать стержень. А так как шарик движется позади стержня, то он все время будет прижиматься к стержню. Отсюда следует, что после удара шарик и стержень будут подниматься как единое тело. Высоту поднятия h легко определить из закона сохранения энергии. Она равна

7. Решить предыдущую задачу в предположении, что до удара был отклонен стержень (нижний конец его был поднят на высоту Я).

математический маятник такой же длины / и массы т. Первоначально стержень занимает горизонтальное по­

ложение, а затем отпускается. В нижнем положении происходит идеально упру­ гий удар, в результате которого шарик и стержень деформируются, и часть кинетической энергии переходит в потенциальную энергию деформации. Затем деформация уменьшается, и запасенная потенциальная энергия вновь перехо-