Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

возникающих в телах. Так, в примере, рассмотренном в конце предыдущего параграфа, нить действует на тела А и В (см. рис. 23) потому, что она растянута. В приведенных там расчетах мы отвле­ кались от этого обстоятельства, так как предполагали, что растя­ жение нити мало, так что скорости связанных тел А и В можно было считать одинаковыми. В этом случае результаты расчета не зависят от степени растяжения нити. Это было бы, вообще говоря, не так, если вместо нити взять мягкую пружину. Мы не можем также отвлечься от растяжения нити, если хотим понять происхож­ дение сил Ft и F2, с которыми нить действует на тела А и В. Точно так же надо рассмотреть деформации тел А я В, если мы хотим понять, почему эти тела растягивают нить. Ведь тела А я В дей­ ствуют на нить только потому, что они деформированы. Камень, привязанный на веревке, заставляют вращаться по окружности. При этом неизбежно возникнут деформации. Если бы камень не был деформирован, то он не мог бы двигаться с ускорением. Всякая мысленно вырезанная малая часть камня движется с ускорением потому, что на нее действуют окружающие части камня. А это возможно только тогда, когда камень деформирован.

Помимо сил, зависящих от деформации тел, возможны и более сложные случаи. Например, силы взаимодействия могут зависеть не только от величины деформаций, но и от скоростей деформаций. Примером могут служить силы трения. Но и эти силы возникают лишь при непосредственном соприкосновении взаимодействующих тел. Во всех этих случаях говорят, что силы взаимодействия явля­ ются силами близкодействия.

2. Помимо сил, развивающихся при соприкосновении тел, в при­ роде существуют силы, которые, во всяком случае при непосредст­ венном созерцании, воспринимаются нами как силы, непосредственно действующие на расстоянии без какого бы то ни было участия про­ межуточной среды. Они существуют даже тогда, когда взаимодейст­ вующие тела разделены «пустым» пространством. К силам такого рода относятся, например, гравитационные силы, а также силы взаимодействия наэлектризованных и намагниченных тел.

Согласно основным представлениям механики Ньютона силы, действующие на всякое тело в какой-либо момент времени, зависят от положений и скоростей остальных тел в тот же момент времени. Когда взаимодействующие тела не соприкасаются, такое представ­ ление предполагает либо непосредственное действие на расстоянии, либо передачу взаимодействий с бесконечно большой скоростью. Ньютоновская механика принципиально допускала взаимодейст­ вия, передающиеся с бесконечно большими скоростями. Логически против такого допущения возразить ничего нельзя. Вопрос должен быть решен опытом. Опытные факты привели к заключению, что мгновенных взаимодействий не существует. Скорость распрост­ ранения взаимодействий ограничена (она не превосходит скорости

§ 13] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТЕЛ 85

света в вакууме). Отсюда следует, что описание взаимодействий, даваемое ньютоновской механикой, может привести и действительно приводит к практически верным результатам только тогда, когда скорости всех тел рассматриваемой системы пренебрежимо малы по сравнению со скоростью распространения взаимодействий (ско­ ростью света). Но принципиально такое описание неверно. Для ил­ люстрации рассмотрим третий закон Ньютона. Из-за наличия конечной скорости распространения взаимодействий этот закон не может быть всегда верным для взаимодействий, осуществляющихся на расстоянии. Действительно, пусть две материальные точки дли­ тельно находятся в покое в положениях А и В (рис. 24). Допустим, что силы их взаимодействия в этих положениях подчиняются треть­ ему закону Ньютона. Если первая точка перейдет в новое положе­

закона Ньютона и механического закона сохранения импульса яв­ ляется кажущимся. В действительности нет непосредственного дей­ ствия тел на расстоянии. Непосредственное действие на расстоянии предполагает, что тело может оказывать действие в тех местах, где оно не находится и от которых оно отделено пустым простран­ ством. По этой причине такое действие невозможно. Все взаи­ модействия осуществляются посредством промежуточной среды. Те­ ло А, действуя на окружающую среду, вызывает в ней какие-то изменения, например, напряжения и давления, распространяющиеся с конечными скоростями. Когда эти изменения доходят до тела В, они проявляются в виде сил, действующих на него. Но как быть в тех случаях, когда взаимодействующие тела отделены друг от друга совершенно пустым пространством? На это физик XIX века отве­ чал бы, что абсолютно пустого пространства не существует. Все пространство заполнено какой-то средой, например мировым эфи­ ром, через которую и осуществляются взаимодействия. Такую гипотетическую среду физик XIX века наделял свойствами, анало­ гичными свойствам привычных нам твердых, жидких или газооб­ разных тел. Третий закон Ньютона всегда справедлив — сказал

бы он, — но его надо применять не к силам взаимодействия непо­ средственно между удаленными телами А я В (таких сил просто не существует, они кажущиеся), а к силам взаимодействия между этими телами и окружающей средой. Закон сохранения импульса также всегда справедлив. Однако полный импульс слагается не только из импульсов тел, входящих в систему, но и из импульса промежуточной среды, через которую передаются взаимодействия^

Физик нашего времени рассуждает аналогично, но более осто­ рожно и абстрактно. Он также не признает непосредственного действия тел на расстоянии. Однако он не признает и промежу­ точной среды, через которую якобы передаются взаимодействия. Он говорит, что все взаимодействия осуществляются полями — гра­

дения тела В проявляется в виде действующих на него сил. В свою очередь тело В возбуждает аналогичное силовое поле, действую­ щее на тело А. Никаких других силовых взаимодействий, помимо полевых, современная физика не признает. Взаимодействия при­ косновением являются частными случаями полевого взаимодейст­ вия. Они осуществляются молекулярными полями. Молекулярные поля быстро убывают с расстоянием и проявляются, когда рас­ стояние между взаимодействующими телами не превышает примерно 10~7 см. Вот почему такие полевые взаимодействия макроскопически воспринимаются как «взаимодействия прикосновением».

4. Возникает вопрос, не является ли различие между точками зрения современного физика и физика прошлого века чисто тер­ минологическим: раньше говорили о промежуточной среде, теперь говорят о поле. Дело, конечно, не в терминологии, а в существе, в реальных физических свойствах поля и гипотетической среды —

приписывались свойства, аналогичные свойствам обычных тел. Можно было говорить о покое и движении эфира, о его упругости, плотности, силах, действующих на эфир. Можно было говорить о движении тел относительно эфира, с эфиром можно было связать систему отсчета и т. д. О всем этом не имеет смысла говорить, когда речь идет о поле. На поле современная физика смотрит как на неко­ торую объективную реальность, посредством которой передаются взаимодействия. Поле может существовать и самостоятельно, незави­ симо от возбудивших его тел. Таковы, например, электромагнитные волны, излучаемые радиостанциями. Радиостанция может пре­ кратить работу, а излученное ею электромагнитное поле продол­ жает существовать и распространяться в пространстве. Достигнув удаленного приемника, оно доставляет информацию, которую не­ сколько ранее передала радиостанция. Нет абсолютно пустого пространства, оно заполнено полями. Поле, наряду с веществом,

к механическим силам, возникающим при соприкосновении тел, например, к силам упругости. Современная физика отрицает такую постановку вопроса.

- Упругие силы, силы давления и натяжения, мускульная сила и прочие силы издавна были привычны человеку. Он считал эти силы чем-то простым и понятным. Электрические и магнитные силы, с ко­ торыми он столкнулся позднее, были восприняты им как нечто таин­ ственное и непонятное. Возникло естественное стремление свести эти таинственные силы к более простым и привычным силам упругости, к силам давления и натяжения. Однако в действительности дело обстоит как раз наоборот. Более простыми и «понятными» являются силы электромагнитных взаимодействий, а упругие и прочие силы —

нием сил всемирного тяготения, являются не чем иным, как про­ явлением электромагнитных сил. Поэтому задача сведения элек­ тромагнитных сил к силам упругости просто бессмысленна.

Поле действует на тела с определенными силами. Однако не имеет смысла говорить о механических силах, действующих на поля. Поэтому с точки зрения полевого взаимодействия третий закон Ньютона может нарушаться: на тело действует сила, но нет силы противодействия, действующей на другое тело. Закон сохра­ нения импульса, однако, остается верным, так как импульсом могут обладать не только тела, но и поля. Импульс поля проявляется в изменении импульса тела, излучившего или поглотившего энер­ гию поля. При излучении тело теряет импульс, уносимый полем, при поглощении оно приобретает импульс за счет поглощенной энергии поля.

5. Примером проявления импульса электромагнитного поля мо­ жет служить давление света. Опытами П. Н. Лебедева (1866—1912) было показано, что свет оказывает давление на тела, на которые он падает. Рассмотрим изолированную систему из двух тел А я В (рис. 25). Пусть тело А излучило кратковременный световой сигнал по направлению к телу В. Дойдя до тела В, свет поглощается, оказывая на него давление. В результате тело В приходит в дви­ жение, его импульс меняется. Закон сохранения импульса, оче­ видно, был бы нарушен, если бы свет, направлявшийся к телу В, не обладал импульсом. Мы должны приписать ему импульс, вели­ чина которого равна импульсу, приобретенному телом В после

88 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА [ГЛ. II

поглощения света. Но если свет обладает импульсом, то при его излучении излучающее тело А должно испытывать отдачу. Иначе процесс излучения света сопровождался бы нарушением закона сохранения импульса.

Эти рассуждения можно облечь в количественную форму и прийти к важным соотношениям. Допустим, что на полностью поглощающее тело В нормально к его поверхности падает парал­ лельный пучок света. Опытами Лебедева было показано, что дав­ ление я, оказываемое светом на единицу площади тела В, равно объемной плотности энергии падающего пучка. Обозначим / длину,

Итак, свет, распространяющийся в определенном направлении, обладает импульсом

Поскольку распространение идет со скоростью с, целесообразно представить импульс в виде р = тс, рассматривая величину т как

массу света. Она равна

Соотношение (13.2) получено здесь для энергии света. Теория относительности показала, что оно справедливо для любых видов энергии. В таком расширенном понимании соотношение (13.2) выра­ жает фундаментальный закон Эйнштейна о взаимосвязи между массой и энергией.

6. В механике нам не придется сталкиваться с явлениями, в которых проявляются импульсы полей. Мы ограничимся изуче­

§14. Роль начальных условий

1.Векторное уравнение движения материальной точки (11.3) можно записать в координатной форме:

Одно векторное уравнение (11.3) эквивалентно трем числовым урав­ нениям (14.1). Все эти уравнения являются дифференциальными, а потому их недостаточно для однозначного определения движения

§ И ] РОЛЬ Н А Ч А Л Ь Н Ы Х УСЛОВИЙ 89

материальной точки. Каждое из них есть уравнение второго по­ рядка. (Порядок дифференциального уравнения определяется про­ изводной высшего порядка, входящей в это уравнение.) По этой причине для однозначного определения движения точки к уравне­ ниям движения надо присоединить дополнительные данные, опре­ деляющие значения двух векторных или шести числовых постоян­ ных. В качестве таковых обычно берут значения радиуса-вектора г и скорости v или каких-либо двух функций их в момент времени / = 0. Эти значения называются начальными условиями. Выясним этот вопрос на примере свободного движения материальной точки

вполе тяжести Земли.

2.Галилеем было установлено, что все тела в пустоте падают

содинаковым ускорением. Для качественного подтверждения этого положения может служить стеклянная трубка длиной около одного метра, из которой можно откачивать воздух. В трубку помещены различные тела, например, дробинка, кусочек пробки, перышко, кусочки бумаги. Пока трубка не откачана, бумажки и перышко падают во много раз медленнее остальных тел, что объясняется сопротивлением воздуха. Но если воздух из трубки откачать, то все тела начнут падать одинаково быстро. Более точное доказатель­ ство дают наблюдения за качаниями маятника: опыт показывает, что период качаний маятника не зависит от материала, из кото­ рого он изготовлен. Ускорение g при свободном падении меняется

сгеографической широтой; на полюсе оно максимально и состав­ ляет 9,83 м/с3 , на экваторе — минимально и равно 9,78 м/с2 . Ве­ личина g уменьшается с высотой над земной поверхностью: при

поднятии на один метр она убывает приблизительно на 3 • 10- 6 м/с2 . Для средних широт можно принять, что вблизи земной поверхности g = 9,80 м/с2 . В расчетах, не требующих особой точности, ускоре­ ние свободного падения g может считаться одним и тем же для всей земной поверхности.

Мы пренебрегли всеми силами и учли только силу тяжести. Зави­ симостью g от географической широты и высоты над земной поверх­ ностью также будем пренебрегать. Короче, ускорение g будем счи­ тать постоянным. Уравнение (14.2) эквивалентно двум уравнениям:

Простым дифференцированием нетрудно убедиться, что этим урав­ нениям удовлетворяют следующие решения:

ния (14.2) может быть представлено в виде (14.4). Общее решение—

Придавая этим постоянным какие-либо конкретные значения, мы выделяем из этого семейства определенное частное решение. По­ стоянная ©о есть начальная скорость движущейся точки, г 0 — радиус-вектор ее в начальный момент времени. В этом легко убе­

ного уравнения движения (14.2), так как при любых значениях этих постоянных выражения (14.4) являются решениями этого

чаться друг от друга. Тело может подниматься вверх или вниз по прямой линии; оно может описывать параболу, достигая или не достигая ее вершины; дуга параболы может быть изогнута сильнее или слабее и т. д. Получается довольно разнообразный и запутан­ ный класс движений. Заслуга Ньютона, между прочим, и состоит в том, что он подметил, что вся эта сложность исчезает, а все

3. Полученные результаты допускают обобщение. Допустим, что имеется система N материальных точек, взаимодействующих между собой и с внешними телами, положение которых предпола­ гается заданным в любой момент времени. Записав математически второй закон Ньютона для каждой материальной точки, мы по­ лучим систему N векторных или ЗА/ эквивалентных им числовых дифференциальных уравнений второго порядка. Можно показать, что для однозначного решения этих уравнений надо задать 2А/ векторных или 6А/ числовых величин, определяющих начальные значения координат и скоростей материальных точек системы.

З А Д А Ч А

Тело брошено вверх под углом а к "горизонту с начальной скоростью v0.

Исследовать его движение, пренебрегая сопротивлением воздуха. Найти урав­ нение траектории, дальность полета и максимальную высоту подъема, считая земную поверхность горизонтальной. При каком угле а дальность полета мак­ симальна?

Р е ш е н и е . Точку земной поверхности, откуда брошено тело, примем за начало координат (г0 = 0). Тогда, как видно из (14.4), движение будет происхо­

дить в вертикальной плоскости, в которой лежат векторы g и v0. Примем ее за координатную плоскость XY, направив ось X горизонтально в сторону движения,

Это уравнение параболы. Отсюда находим дальность полета

v

х= ~ sin 2a

имаксимальную высоту поднятия

v\ sin3 a

Ушке '•— 2g

Максимальная дальность достигается при a = 45° и равна

__v%

*макс — •

в

§15. Принцип относительности Галилея

1.Уравнение, выражающее второй закон Ньютона

говоря, имеет разные значения в различных системах отсчета, движущихся относительно друг друга с ускорением. Сила же F не может зависеть от выбора системы отсчета, так как она опреде­ ляется только взаимными расположениями и относительными ско­ ростями материальных точек системы, а эти величины согласно нерелятивистской кинематике от выбора системы отсчета не за­ висят. Отсюда следует, что если второй закон Ньютона справедлив в какой-либо системе отсчета, то он не может оставаться справед­ ливым в другой системе отсчета, движущейся относительно первой с ускорением.

дача в дорелятивистской ее постановке сводится к нахождению

момент времени. Начало координат и направления координатных осей можно выбрать произвольно как в системе S, так и в системе S'. Если координатные системы неподвижны друг относительно друга и отличаются одна от другой только положениями начал и направлениями координатных осей, то преобразование координат есть чисто геометрическая задача. Ее решение известно из аналити­ ческой геометрии. Остается только выяснить, что нового вносит

переход к общим формулам может быть совершен дополнитель­ ным переносом начал координат и поворотом координатных осей.

Пусть в момент времени t движущаяся точка находится в поло­ жении М (рис. 26). Тогда ОМ = 00' -f О'М. За время t начало координат системы S' переходит из положения О в положение О',

причем 00' = Vt. Ввиду этого предыдущее соотношение принимает вид

Эти формулы и дают решение поставленной задачи. Они назы­ ваются преобразованием Гадилея. Мы присоединили к формулам