Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

134 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ [ГЛ. IV

перешла в положение 2 по пути 132. (Мы символически изображаем положение системы точкой на плоскости, а путь перехода — ли­ нией, хотя буквально такой способ применим лишь для системы, состоящей всего из одной материальной точки.) При этом будет

тому пути». Итак, работа консервативных сил по любому замкнутому пути равна нулю. Проведя это рассуждение в обратном порядке, без труда докажем, что из обращения в нуль работы по любому замкнутому пути следует независимость величины работы от пути перехода. Поэтому можно дать еще такое определение консерватив­ ных сил. Консервативными называются силы, зависящие только от конфигурации системы, и работа которых по любому замкнутому пути равна нулю.

направлены всегда против скорости тела (относительно поверх­ ности, по которой оно скользит, или относительно сопротивляю­ щейся среды, в которой оно движется). Поэтому, если тело скользит по неподвижной поверхности или движется в «неподвижной» сопро­ тивляющейся среде, то при любом движении тела работа сил тре­ ния, действующих на него, отрицательна. Но работа сил трения может быть и положительной, когда поверхность или среда сами движутся. Рассмотрим, например, тело В, по поверхности кото­ рого скользит тело С (рис. 42) с относительной скоростью vmH.

направлении, куда действует сила трения. Сила трения ежесе-.

бота сил трения, действующих на все тела системы, всегда отри­

сил. Диссипативными называются такие силы, полная работа которых при любых движениях в замкнутой системе всегда отри­ цательна.

кулярно к этой скорости. Работа таких сил равна нулю при любом перемещении материальной точки, в частности при ее движении по замкнутому пути. От консервативных гироскопические силы отличаются тем, что они определяются не только положением, но и скоростью движущейся материальной точки. Единственным

в магнитном поле. Она пропорциональна векторному произведе­

ханике встречаются гироскопические силы и иного рода. Это так называемые силы Кориолиса. Однако эти силы не являются «настоя­ щими силами» в смысле механики Ньютона. При рассмотрении движений относительно инерциальных систем отсчета (а только такие движения мы сейчас и рассматриваем) такие «силы» вообще не существуют. Они вводятся искусственно при рассмотрении движе­ ний в системах отсчета, вращающихся относительно инерциальных, чтобы придать уравнениям движения в таких системах формально такой же вид, что и в инерциальных системах отсчета (см. гл. IX).

§ 2 5 . Потенциальная энергия. Закон сохранения энергии в механике

1. Если на систему действуют одни только консервативные и гироскопические силы, то можно для нее ввести понятие потен­ циальной энергии. Какое-либо произвольное положение системы, характеризующееся заданием координат ее материальных точек, условно примем за нулевое. Работа, совершаемая консервативными

в нулевое, называется потенциальной энергией системы в первом положении. Работа консервативных сил не зависит от пути пере­ хода, а потому потенциальная энергия системы при фиксированном нулевом положении зависит только от координат материальных точек системы в рассматриваемом положении. Иными словами,

потенциальная энергия системы U является функцией только ее координат.

Значение потенциальной энергии зависит от того, какое поло­ жение системы условно принято за нулевое. Если за нулевое при­ нять положение О (рис. 43, а), то в положении 1 система будет обладать потенциальной энергией U = Л 1 0 , равной работе консер­ вативных сил при переходе системы из положения / в положение О.

Рис. 43.

Если же за нулевое принять положение О', то потенциальная энер­ гия будет равна U' — А\о>- Вследствие консервативности сил, действующих в системе, работа вдоль пути 10' равна работе вдоль пути 100': Aw = Aw + А0о; или U' = U + А0о-- Работа А0о'

постоянна, т. е. не зависит от координат системы в рассматривае­ мом состоянии 1. Она полностью определяется выбором нулевых положений О я О'. Мы видим, что при замене одного нулевого поло­ жения другим потенциальная энергия системы меняется на постоян­ ную величину. Неопределенность можно усилить еще больше, если условиться считать потенциальную энергию в нулевом положении равной не нулю, а какому-либо постоянному произвольному значе­ нию. Тогда в приведенном выше определении вместо потенциальной энергии следует говорить о ее разности в двух положениях. Разно­ стью потенциальных энергий в рассматриваемом и нулевом положе­ ниях называется работа, совершаемая консервативными силами при переходе системы из рассматриваемого в нулевое положение. Таким образом, потенциальная энергия системы определена не одно­ значно, а с точностью до произвольной постоянной. Этот произвол не может отразиться на физических выводах, так как ход физических явлений может зависеть не от абсолютных значений самой потен­ циальной энергии, а лишь от ее разностей в различных состояниях. Эти же разности от выбора произвольной постоянной не зависят.

ными силами при таком переходе, можно выразить через потен­

жена через приращение кинетической энергии по формуле (22.9).

В системе с одними только консервативными (и гироскопическими) силами полная энергия остается неизменной. Могут происходить лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и об­ ратно, но полный запас энергии системы измениться не может. Это положение называется законом сохранения энергии в механике.

3. Вычислим потенциальную энергию в некоторых простейших случаях.

а) Потенциальная энергия тела в однородном поле тяжести.

Если материальная точка, находящаяся на высоте h, упадет на нулевой уровень (т. е. уровень, для которого h — 0), то сила тя­ жести совершит работу Л = mgh. Поэтому на высоте h материаль­ ная точка обладает потенциальной энергией V = mgh + С. За нулевой можно принять произвольный уровень, например, уровень пола (если опыт производится в лаборатории), уровень моря и т. д. Постоянная С равна потенциальной энергии на нулезом уровне. Полагая ее равной нулю, получим

б) Потенциальная энергия растянутой пружины. Упругие силы, возникающие при растяжении или сжатии пружины, являются центральными силами. Поэтому они консервативны, и имеет смысл говорить о потенциальной энергии деформированной пружины.

Ее называют упругой энергией. Обозначим через х растяжение

пружины, т. е. разность х = I — 10 длин пружины в деформи­ рованном и недеформированном состояниях. Упругая сила F зави­ сит только от растяжения. Если растяжение х не очень велико, то она пропорциональна ему: F = kx (закон Гука, см. § 11). При возвращении пружины из деформированного в недеформированное состояние сила F совершает работу

оо

Если упругую энергию пружины в недеформированном состоянии условиться считать равной нулю, то

в) Потенциальная энергия гравитационного притяжения двух материальных точек. По закону всемирного тяготения Ньютона гравитационная сила притяжения двух точечных тел пропорцио­ нальна произведению^их масс Mm и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

вижной, а другую — перемещающейся в ее гравитационном поле. При перемещении массы т из бесконечности гравитационные силы совершают работу

Величина (25.6) отрицательна. Это имеет простое объяснение. Мак­ симальной энергией притягивающиеся массы обладают при бес­

конечном расстоянии между ними. В этом положении потенциаль-

§ 25] ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ 139

ная энергия считается равной нулю. Во всяком другом положении она меньше, т. е. отрицательна.

4. Допустим теперь, что в системе наряду с консервативными и гироскопическими силами действуют также диссипативные силы. Работа всех сил Л 1 2 при переходе системы из положения / в поло­ жение 2 по-прежнему равна приращению ее кинетической энергии Кг — К\- Но в рассматриваемом случае эту работу можно предста­

Приравнивая это выражение приращению кинетической энергии, получим

где Е = К + U — полная энергия системы. Таким образом, в рас­ сматриваемом случае механическая энергия Е системы не остается постоянной, а уменьшается, так как работа диссипативных сил Лд2 ис отрицательна.

Уравнение (25.7) можно обобщить. Разделим все действующие силы на две группы. К первой группе отнесем силы, учитываемые посредством потенциальной энергии U, ко второй — все остальные силы, как внутренние, так и внешние, действующие в системе. Обозначим Л 1 2 работу сил второй группы. Тогда, рассуждая так же, как и при выводе формулы (25.7), получим

5 . Допустим снова, что диссипативные силы в системе не дей­ ствуют. Тогда справедлив закон сохранения энергии в форме (25.2). Поскольку кинетическая энергия К по своему смыслу не может быть отрицательной, из формулы (25.2) следует, что Е U. Этим соотношением определяется область изменения всех координат системы, в которой она может находиться при заданной полной энергии Е. В область, где V > Е, система попасть не может, так как потенциальная энергия не может превышать полную.

Рассмотрим в качестве примера одномерное движение частицы, когда она движется вдоль определенной прямой линии. Примем эту линию за координатную ось X. На оси X величина U будет функцией только х: U = U (х). Если Е — полная энергия ча­ стицы, то частица может находиться только в тех местах оси X, где U (х) ^ Е. Допустим, что график функции U (х) имеет вид, изображенный на рис. 44. Проведем на этом рисунке горизонталь-

Для уяснения качественного характера движения частицы в си­ ловом поле с потенциальной энергией U (х) полезна следующая иллюстрация. Изготовим идеально твердую и идеально гладкую дорожку, форма которой точно совпадает с профилем потенциаль-

ной кривой U = U (х) (например, кривой, изображенной на рис. 44). Поместим такую дорожку в однородное поле тяжести и положим на нее на некоторой высоте маленький шарик. Тогда движение шарика под действием силы тяжести будет почти точно воспроиз­ водить движение материальной точки в рассматриваемом силовом поле U = U (х), если только надлежащим образом подобрать ее полную энергию. Некоторая неточность иллюстрации связана с тем, что при движении шарика по дорожке возникает вращение, на что расходуется часть энергии. Иллюстрация совершенно точно передавала бы все черты искомого движения, если бы шарик не катался по дорожке, а скользил по ней без трения. Если такой ша­ рик поместить без начальной скорости в точку А (рис. 44), то он будет совершать колебания по дуге АМВ между крайними точ­ ками А и В. Если его поместить в точку D, то он сможет преодолеть потенциальный барьер BNC и «уйти на бесконечность».

6. Для финитных движений справедлива так называемая теорема вириала, имеющая многочисленные применения в различных отделах физики. Она была сформулирована и доказана Клаузиусом (1822—1888). Для произвольной си­ стемы материальных точек можно написать

w2pr=lirF+2ipv'

так как р — F, г = v (суммирование ведется по всем материальным точкам системы). Последнее слагаемое в правой части есть удвоенная кинетическая энергия системы: 2К. = Y>p"0 = Y,mv2, и предыдущее соотношение можно пере писать в виде

t

Если функция f (t) периодична, то в качестве времени Т обычно берут ее период. Если же /(г) не периодична, но ограничена, то время Т берут достаточно большим и переходят к пределу