Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

Таким образом, элементарная работа результирующей двух или нескольких сил равна сумме элементарных работ этих сил. Оче­ видно, то же утверждение справедливо и для работ на конечных перемещениях:

Единицей работы в системе СИ является джоуль (Дж). Джоуль есть работа силы в один ньютон на перемещении в один метр при условии, что направление силы совпадает с направлением переме­ щения. В системе СГС единицей работы является эрг. Эрг есть работа силы в одну дину на перемещении в один сантиметр при том же условии, т. е. в предполо­ жении, что направления силы и перемещения сов­

падают. Очевидно,

2. Чтобы вычислить интеграл, надо знать связь между скоро­ стью материальной точки © и ее импульсом р. По определению

на самого себя, а оно равно квадрату длины вектора, как это непо­ средственно следует из определения скалярного произведения. Диф­

Его нельзя смешивать с длиной элементарного приращения вектора, т. е. с величиной | dv |. Последняя величина по самому ее смыслу существенно положительна, в то время как приращение do может

быть как положительным, так и отрицательным. На рис. 37 dv — AB, dv = АС. По определению скалярного произведения v dv = = vAB cos a = v AC = vdv. Это дает другое доказательство со­ отношения vdv = vdv. Разумеется, такое соотношение справед­ ливо не только для вектора v, но и для любого другого вектора. Используя его в нашей задаче и вынося постоянный множитель т из-под знака интеграла, получим

о работе при перемещении материальной точки из начального по­

Таким образом, работа силы при перемещении материальной точки равна приращению кинетической энергии этой точки. Связь между работой и кинетической энергией, выражаемая этой теоремой, и оправдывает введение обоих этих понятий.

3. Полученный результат без труда обобщается на случай произвольной системы материальных точек. Кинетической энергией системы называется сумма кинетических энергий материальных точек, из которых эта система состоит или на которые ее можно мысленно разделить. Напишем соотношение (22.9) для каждой мате­ риальной точки системы, а затем все такие соотношения сложим. В результате снова получится формула (22.9), но уже не для одной материальной точки, а для системы материальных точек. Под Л 1 а надо понимать сумму работ всех сил, как внутренних, так и внеш­ них, действующих на материальные точки системы. Таким обра­

в которой говорится о связи между импульсом силы и изменением количества движения системы (§ 18). Внутренние силы вследствие равенства действия и противодействия не меняют количества дви­ жения всей системы. Приращение количества движения системы определяется только внешними силами. Не так обстоит дело в слу­ чае кинетической энергии. Работа внутренних сил, вообще говоря, не обращается в нуль. Представим себе, например, замкнутую

§ 22] РАБОТА И К И Н Е Т И Ч Е С К А Я ЭНЕРГИЯ 127

В частном случае, когда частица покоится, ее релятивистская

и называется энергией покоя. Кинетическая энергия есть часть реля­ тивистской энергии, обусловленная движением частицы. Она пред­ ставляется разностью j

импульсом частицы и ее полной энергией. Она справедлива не только для элементарных частиц, о структуре которых при совре­ менном уровне наших знаний ничего сказать нельзя, но и для со­ ставных частиц или систем, состоящих из нескольких частиц. Под

в релятивистской механике. При медленных движениях она пере­ ходит в привычную формулу (22.8). Действительно, пользуясь фор­

В ядерной физике, а также в ускорительной технике употребляются более крупные единицы: мегаэлектронвольт (МэВ), равный 106 эВ,

2 . Вывести формулу (21.6), являющуюся релятивистским обобщением фор­ мулы Циолковского для движения ракеты. Считать, что скорости ракеты и газо­ вой струи направлены вдоль одной прямой.

Р е ш е н и е . Решение основано на релятивистских законах импульса и энергии (релятивистской массы). Они нами были сформулированы. Кроме того, требуется знать релятивистский закон сложения скоростей, который нами не фор­ мулировался. Читатель, желающий разобрать решение, приводимое ниже, должен обратиться к руководствам по теории относительности или принять на веру формулу (22.22), приводимую ниже.

Пусть л и » — масса покоя и скорость ракеты в произвольный момент време­ ни t, а т г а з и у г а з — те же величины для газов, образовавшихся из топлива ракеты к этому моменту времени. Так как газы, уже покинувшие ракету, не оказывают

Дифференцируя уравнение (22.20) с учетом (22.21) и полагая в окончательном

т\ 1 - Р

§23. Связь между кинетическими энергиями в различных

системах отсчета. Теорема Кёнига

Как ясно из формулы (22.8), кинетическая энергия тела зависит от выбора системы отсчета, относительно которой рассматривается его движение. Можно поставить вопрос, как преобразуется кинети­ ческая энергия при переходе от одной системы отсчета к другой.

§ 24] К О Н С Е Р В А Т И В Н Ы Е И Н Е К О Н С Е Р В А Т И В Н Ы Е СИЛЫ 131

вдоль прямолинейного отрезка 12 (рис. 38). Примером может слу­ жить скольжение без трения материальной точки по гладкой наклон­

в начале и конце пути, отсчитанные от какого-либо произвольного уровня, например от земной поверхности или от уровня моря. Формула (24.1) остается справедливой и при перемещении вдоль

произвольной кривой, например по пути 132 (рис. 39). Это станет очевидным, если разбить весь путь 132 горизонтальными плоско­ стями на малые участки, каждый из которых может быть принят за прямолинейный. Применив к каждому участку формулу (24.1) и сложив полученные работы, мы придем к прежнему результату (24.1). Если вместо пути 132 взять любой другой путь 142 между теми же начальным и конечным положениями / и 2, то работа силы тяжести не изменится, так как она определяется только раз­ ностью высот hx — «2 , которая от формы пути не зависит. Таким образом, работа силы тяжести не зависит от формы пути, а опре­ деляется только начальным и конечным положениями перемещаю­ щейся точки.

2. В качестве второго примера рассмотрим работу при переме­ щении материальной точки в поле центральных сил. Сила назы­ вается центральной, если она направлена к одной и той же точке (или от одной и той же точки) и зависит только от расстояния до этой точки, называемой центром сил или силовым центром. При­ мером может служить сила гравитационного притяжения, с кото­ рой Солнце действует на планету, или сила электростатического взаимодействия двух точечных зарядов. По определению элемен­ тарной работы dA = Fds cos (F, ds). Величина ds cos (F, ds) есть проекция элементарного перемещения ds на направление силы, или, что то же самое, на направление радиуса-вектора г (если за поло­ жительное направление силы принять направление от силового

Значит, при вычислении элементарной, а с ней и полной работы точка / может считаться неподвижной, а точка 2 — перемещаю­ щейся относительно нее. Можно было бы, конечно, считать непод­ вижной точку 2, а точку 1 движущейся. Результат получился бы

§ 24] КОНСЕРВАТИВНЫЕ И НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИЛЫ 133

тот же самый. Вообще, как и раньше, выражение (24.3) может быть преобразовано к виду

Сюда входят только расстояние между взаимодействующими точ­ ками г и его приращение dr. Отсюда немедленно получается фор­ мула (24.2), что и доказывает наше утверждение.

Отметим одно следствие формулы (24.2). Допустим, что мате­ риальные точки 1 н 2 соединены абсолютно жестким стержнем. При такой идеализации расстояние между взаимодействующими точками будет оставаться неизменным при любых их перемеще­ ниях: dr = 0. Поэтому всегда будет равен нулю интеграл в формуле (24.2), а с ним и работа сил взаимодействия материальных точек / и 2 на любом перемещении. Так называемые абсолютно твердые тела могут рассматриваться как системы материальных точек, расстоя­ ния между которыми не меняются при любых движениях. Такая неизменяемость обеспечивается внутренними силами или силами связей, действующими между материальными точками системы. Всю систему можно мысленно разбить на пары взаимодействующих точек и применить к ним доказанное выше следствие. Отсюда сле­ дует, что работа внутренних сил, действующих в абсолютно твер­ дых телах, равна нулю при любых движениях. Реальные тела не яв­ ляются абсолютно твердыми. Действующие в них силы обусловлены связями, которые могут быть очень жесткими, но не бесконечно жесткими. Работа таких сил, вообще говоря, отлична от нуля. Од­ нако по мере увеличения жесткости работа становится все меньше и меньше и в пределе для бесконечно жестких связей обращается в нуль.

Результаты, полученные для двух материальных точек, обоб­ щаются на случай произвольной системы материальных точек, между которыми действуют центральные силы. Если задать положение каждой материальной точки, то этим определится и положение всей системы или ее конфигурация. Работа центральных сил не зависит от способа (или «пути») перехода системы из началь­ ной конфигурации в конечную — она определяется исключительно самими конфигурациями.

4. Если силы взаимодействия зависят только от конфигурации материальных точек системы (т. е. от их координат) и работа этих сил при перемещении системы из произвольного начального поло­ жения в произвольное конечное положение не зависит от пути перехода, а определяется только начальной и конечной конфигу­ рациями системы, то такие силы называются консервативными. Рассмотренные нами примеры показывают, что сила тяжести и все центральные силы являются силами консервативными.

Можно дать другое определение консервативных сил, эквива­ лентное приведенному. Пусть система из положения 1 (рис. 41)