Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

2 . Система состоит из двух шариков с массами т и М, соединенных между собой невесомой пружиной с коэффициентом упругости k (рис. 53). Третий шарик с массой т, движущийся вдоль оси пружины со скоростью v, претерпевает упругое столкновение с шариком т, как указано на рис. 53. Считая шарики абсолютно жесткими, найти после столкновения: 1) кинетическую энергию К движения системы как целого; 2) внутреннюю энергию системы £ Ш 1 ; 3) амплитуду колебаний одного шарика относительно другого А. До удара система покоилась, а пружина не была деформирована. Какие шарики могут рассматриваться как абсолютно жесткие?

3. Ядра дейтерия D и трития Т могут вступать в реакцию D + T->-He4 + n+17,6 МэВ,

в результате которой образуются нейтроны п и а-частицы, т. е. ядра гелия Не4 . При каждой реакции выделяется энергия 17,6 МэВ. Определить, какую энергию уносит электрон и какую а-частица. Кинетические энергии, которыми обладали

изотоп водорода с атомным весом 3, Не4 — обычный гелий с атомным весом 4. О т в е т , а-частица уносит 3,5 МэВ, нейтрон — 14,1 МэВ.

4 . Ядра дейтерия D могут вступать друг с другом в реакцию, в результате которой образуется протон и ядро трития Т. Каждый протон уносит кинетическую энергию 3 МэВ. Какую кинетическую энергию уносит ядро атома трития и каков общий энергетический выход реакции? Кинетические энергии, которыми обладали частицы До реакции, пренебрежимо малы.

О т в е т . Ядро трития уносит энергию 1 МэВ; общий энергетический выход реакции 4 МэВ.

5. Ядра дейтерия могут вступать также в реакцию D + D-*-He3 + n + 3,25 МэВ.

Какую энергию уносит нейтрон и какую ядро гелия Не3 с атомным весом 3? Кинетические энергии, которыми обладали частицы до реакции, пренебрежимо малы.

О т в е т . Нейтрон уносит энергию 2,44 МэВ, ядро Не3 — 0,81 МэВ. 6. В реакции

He3 + D - > H e 4 + p

получаются протоны с энергией 14,6 МэВ. Какую энергию уносит ядро гелия-4 (Не4 ) и какой общий энергетический выход реакции? Кинетические энергии, кото­ рыми обладали частицы до реакции, пренебрежимо малы.

О т в е т . Ядро Не 4 уносит энергию 3,7 МэВ, общий энергетический выход реакции 18,3 МэВ.

7. Движущаяся частица претерпевает упругое столкновение с покоящейся частицей такой же массы. Доказать, что после столкновения, если оно не было лобовым, частицы разлетятся под прямым углом друг к другу. Как будут двигаться

с невозбужденным неподвижным атомом массы М, после чего она отскакивает и летит в прямо противоположном направлении с половинной скоростью V/2, а атом

переходит в возбужденное состояние, т. е. состояние с более высокой внутрен­ ней энергией. Определить скорость атома v после столкновения и энергию £, которая пошла на возбуждение атома. Для каких невозбужденных атомов опи­

что центр масс этих частиц остается неподвижным. Суммарная кинетическая энергия обеих частиц равна Е — 15 кэВ. До какой энергии £ д надо ускорить ядро дейтерия, оставляя тритий неподвижным, чтобы получить тот же выход

Рассматриваемая реакция, а также реакция, о которой говорится в сле­ дующей задаче, являются основными реакциями, с помощью которых предпола­ гается осуществить управляемую термоядерную реакцию синтеза для исполь­

15. Ядро дейтерия сталкивается и вступает в реакцию с ядром трития. Предполагается осуществить этот процесс, ускорив перед столкновением лишь одну частицу до энергии £ = 20 кэВ, оставляя вторую неподвижной. Что вы­ годнее для осуществления реакции: ускорить легкую или тяжелую частицу? Предполагается, что удар между частицами центральный,

О т в е т . Если ускорять дейтерий, то энергия £ / ( 1 + / я т / т д ) = 8 кэВ,

16. Первая искусственная ядерная реакция №* + He* = Oi' + p

наблюдалась Резерфордомв 1919 г. Она идет с поглощением энергии £ = 1,13 МэВ. Какую минимальную энергию £ 0 надо сообщить в лабораторной системе а-частице (т. е. ядру атома гелия), чтобы при бомбардировке неподвижной мишени из N 1 4 указанная реакция могла пойти?

Р е ш е н и е . Обозначим через р0 импульс а-частицы до столкновения. В результате столкновения импульс не изменяется. С ним связана кинетическая энергия движения центра масс

которая также не изменяется, а потому никак не участвует в ядерных превра* щениях,

158 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ [ГЛ. IV

Следовательно, искомая энергия найдется из условия

ветствует лобовому столкновению, когда все частицы до и после столкновения движутся вдоль одной и той же прямой. Поэтому можно ограничиться только такими столкновениями.

центра масс должны находиться в состоянии покоя, а потому в лабораторной системе двигаться вперед с одинаковыми скоростями. При таком движении они

чаются нейтроны в состоянии покоя, а ядра бериллия летят вперед. Если Рр — импульс протона до реакции, то

£р = Р р / ( 2 т р ) ,

акинетическая энергия образовавшегося ядра бериллия £ве = р*/(2тъ ) .

идет на ядерную реакцию, а потому равна величине (28.7). Приравнивая выра­ жения (28.7) и (28.8), находим

_ w B e ( m B e + m n - m p )

или, пренебрегая различием масс протона и нейтрона,

При больших энергиях появятся, нейтроны, летящие назад.

и, следовательно,

Индексы у, г означают, что при смещении, а следовательно, и при дифференцировании координаты у и г должны оставаться постоян­ ными. Иными словами, U (х, у, г) при дифференцировании должна рассматриваться как функция одного аргумента х; остальные два аргумента, у и г, являются параметрами, которые при дифферен­ цировании по х должны оставаться постоянными. Величины, по­ лучающиеся в результате такого дифференцирования, называются частными производными функции V. Они обозначаются символом д, в отличие от символа й, применяемого при дифференцировании функций одного независимого переменного. Аналогичные сообра­ жения справедливы и для проекций силы вдоль остальных двух осей Y и Z. Таким образом,

нение пружины, a k — постоянная. Направим ось X вдоль оси пружины, закре­ пив один конец ее, а другой будем удерживать рукой. Тогда U будет функцией

Знак минус указывает, что сила F направлена в сторону, противоположную смещению, т. е. является силой притяжения.

3. Три формулы (29.3) можно объединить в одну векторную формулу. С этой целью умножим эти формулы на единичные век­ торы координатных осей /, j , k и сложим. В результате получим

F = — gradU, * (29.4) где символом grad U обозначена сумма

Она, согласно соотношению (29.4), является вектором. Вектор, определяемый соотношением (29.5), называется градиентом ска­ ляра II. Для него, наряду с обозначением grad U, применяется также обозначение V{/. Здесь V («набла») означает символический вектор или оператор

Для уяснения геометрического смысла градиента полезно ввести поверхности уровня, т. е. такие поверхности, на которых скаляр U остается постоянным. Пусть 5 — одна из таких поверхностей и пусть она проходит через точку пространства /, в которой ищется

ничный вектор нормали к поверхности уровня U = const обозна­ чим символом п, а расстояние между двумя бесконечно близкими

няется наиболее быстро. Таким образом, в новых обозначениях формула (29.5) примет вид

к той же поверхности. Преимущество такого определения по срав­ нению с определением (29.5) состоит в том, что оно инвариантно, т. е. содержит только величины и понятия, имеющие непосредствен­ ный геометрический смысл, и не содержит ничего такого, что вно­ сится случайным выбором координатной системы.

Отметим еще одну простую, но важную формулу. Проведем через точку / (см. рис. 55) отрезок прямой 13 под углом а к нормали п. Точку 3 возьмем на поверхности уровня U -\-dil'. Длину этого отрезка обозначим ds. Так как точка 3 лежит на той же поверхности уровня, что и точка 2, то приращения функции U на отрезках 12 и 13 будут одни и те же. Так как сами отрезки бесконечно малы, то участки поверхностей уровня, через которые они проходят, могут считаться

где s — единичный вектор в направлении отрезка 13. Величина

называется производной функции U в том же" направлении. Учтя определение градиента (29.7), получим

Формула эта справедлива независимо от конкретного смысла функции U. Если U является потенциальной энергией материаль­ ной точки, то с учетом (29.4) формула принимает вид

произвольной системы материальных точек с одними только кон­ сервативными силами. В этом случае потенциальная энергия U является функцией координат всех взаимодействующих точек.

может пробегать все возможные значения, так что формулы (29.10) справедливы для каждой точки системы.

5. Закон сохранения энергии в механике является следствием уравнения движения Ньютона. Можно ли наоборот вывести урав-

нение движения Ньютона из механического закона сохранения энергии? На этот вопрос следует ответить отрицательно. Уравнение, выражающее сохранение энергии, является скалярным, в то время как уравнение движения есть векторное и эквивалентно трем независимым числовым уравнениям. Ясно, что одного скалярного уравнения недостаточно для вывода из него трех независимых числовых уравнений. Но если движение одномерное, то при неко­ торых дополнительных предположениях из закона сохранения энергии можно вывести уравнение движения Ньютона. Допустим, что материальная точка движется вдоль какой-то фиксированной линии под действием одних только консервативных сил. По закону сохранения энергии 1 /2 mu2 + U = const. Потенциальная энергия U при таком движении может рассматриваться как функция только расстояния s, измеренного вдоль траектории. Дифференцируя по­ следнее соотношение по времени, получим

• . dU . ~ mvv + ^ s = 0,

или, учитывая соотношения v = s и ^s = — ^-,

Отсюда после сокращения на v получается уравнение движения Ньютона.

Необходимо, однако, отметить, что уравнение Ньютона в ме­ ханике обладает большей общностью, чем закон сохранения энер­ гии. Во-первых, приведенный вывод справедлив только для кон­ сервативных сил. Во-вторых, при выводе в уравнении (29.11) про­ изводилось сокращение на и. Поэтому необходимо ввести дополни­ тельное предположение, не содержащееся в самом законе сохра­ нения энергии, что v =?== 0. Уравнение (29.11) имеет два решения, которые оба удовлетворяют условию сохранения энергии. Одно из них, а именно v = 0, было отброшено. Закон сохранения энер­ гии для этого не дает оснований. Однако решение v = 0 не согла­ суется с уравнением Ньютона, если только сила F не обращается

внуль.

6.Используя понятие потенциальной энергии, можно выразить

условие равновесия механической системы и его устойчивости.

Рассмотрим сначала систему взаимодействующих материальных точек, на которую не наложены никакие связи. Пусть все дейст­ вующие силы консервативны. Тогда их составляющие можно пред­