Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

Опыт показывает, что колебания тела, подвешенного на пру­ жине, постепенно затухают и в конце концов прекращаются. Отсюда следует, что уравнение движения (11.5) является приближенным. Оказывается, что тело, движущееся в газообразной или жидкой среде, встречает сопротивление, зависящее от скорости тела. Если скорость тела (относительно окружающей среды) не очень велика, то эта сила приблизительно пропорциональна первой степени ско­ рости. Так, в случае шара на пружине затухание его колебаний в газе довольно точно описывается уравнением

где b — постоянный коэффициент, зависящий от размеров шара и рода газа, в котором он колеблется. Здесь мы имеем пример силы, которая зависит не только от положения, но и от скорости шара.

3. Для решения задач на движение материальных точек и их систем нужны дифференциальные уравнения движения. Способ полу­ чения таких уравнений не имеет значения. В частности, их можно было бы получать и строить всю механику без введения понятия силы.

При рассмотрении различных динамических задач механика ставит и решает два вопроса: 1) по заданному движению тел вычис­ лить силы, действующие на них; 2) по заданным силам определить движение тел. Задачи первого типа сравнительно просты. Они сводятся к вычислению ускорений материальных точек, из которых состоит система. Примером таких задач может служить разобран­ ная нами задача о силе, действующей на колеблющееся тело, под­ вешенное на пружине. Задачи второго типа много сложнее и яв­ ляются основными в механике. Здесь прежде всего надо написать

и скоростей взаимодействующих точек. В результате получится система дифференциальных уравнений, решение которой (при определенных начальных условиях) даст полное представление о всех деталях движения. Таким образом, при решении таких задач требуется интегрирование дифференциальных уравнений, а это зна­ чительно сложнее дифференцирования.

Могут быть и задачи смешанного типа. Сюда относятся, напри­ мер, такие задачи, когда на движение системы наложены определен­ ные ограничения, например, движущаяся точка должна находиться на какой-то линии или поверхности. Такого рода ограничения называются связями. Действие таких линий или поверхностей, как и всяких связей, ограничивающих свободу движения, сводится к тому, что они воздействуют на движущиеся тела с определенными силами, называемыми реакциями связей. Во всех подобных случаях задача сводится не только к определению движения каждой мате­ риальной точки системы, но и к нахождению реакций связей.

4. Остановимся на вопросе о соотношении между первым и вто­ рым законами Ньютона. Если в уравнении (11.1) положить F — О,

то получится ^ = 0. Отсюда следует, что р = const, т . е . им­ пульс, а с ним и скорость свободно движущейся материальной точки постоянны. Таким образом, формально первый закон Нью­ тона является следствием второго. Почему же тогда он выделяется в самостоятельный закон? Дело в том, что уравнение (11.1), выра­ жающее второй закон Ньютона, только тогда имеет смысл, когда указана система отсчета, в которой оно справедливо. Выделить же такую систему (или такие системы) отсчета позволяет первый закон. Он утверждает, что существует система отсчета, в которой свобод­ ная материальная точка движется без ускорения. В такой си­ стеме отсчета (и в этом состоит второй закон) движение всякой материальной точки подчиняется уравнению (11.1). Таким обра­ зом, по существу, первый закон нельзя рассматривать какпростое логическое следствие второго. Связь между этими законами более глубокая.

5. Уравнение (11.2) предопределяет выбор единицы силы. Поскольку единицы длины, массы и времени уже установлены, это уравнение вынуждает нас за единицу силы принять такую силу, которая единице массы сообщает ускорение, равное единице.

В1960 г. XI Генеральная конференция по мерам и весам приняла так называемую Международную систему единиц (сокращенно СИ).

Воснову этой системы положены шесть независимых единиц *): единица длины метр (м), единица времени секунда (с), единица массы килограмм (кг), единица разности температуры кельвин (К), единица силы тока ампер (А) и единица силы света кандела (кд). Остальные единицы являются их производными. Смысл термина «производная единица» легко уясняется на примере единицы силы.

Всистеме СИ за единицу силы принимается ньютон (Н). Ньютон есть такая сила, которая массе в один килограмм сообщает ускоре­ ние в 1 м/с2 . Наряду с системой СИ в физике сохранена также применявшаяся длительное время система СГС. Основными еди­ ницами в этой системе являются: сантиметр (см) — единица длины, секунда (с) — единица времени, грамм (г) — единица массы. Еди­ ницей силы в системе СГС является дина (дин). Дина есть сила,

сообщающая массе в 1 г ускорение в 1 см/с2 . Очевидно, 1 Н = 105 дин.

В механике обе системы одинаково удобны. Ни одна из них не обладает преимуществом по сравнению с другой, так как между

*) Здесь для сокращения наименований физических единиц (дается в скоб­ ках) мы используем обозначения нового ГОСТа, согласно которому сокращен­ ные наименования единиц набираются прямым шрифтом, а в случае, если назва­ ние единиц произошло от имени ученых, — с прописной буквы.

ними нет разницы по существу. Обе системы в механике отличаются друг от друга только масштабами основных единиц — единицы длины и единицы массы. Все понятия механики имеют один и тот же смысл, а формулы пишутся совершенно одинаково в обеих системах единиц. Не так обстоит дело в учении об электрических, оптических и атомных явлениях. Для изучения таких явлений система СГС значительно лучше приспособлена, чем система СИ. Поэтому в на­ шем курсе отдается предпочтение системе СГС.

6. В заключение этого параграфа остановимся на вопросе о сло­ жении сил. Как уже было сказано выше, сила является вектором.

Этим мы хотим сказать только то, что при повороте координатных осей составляющие силы преобразуются как составляющие вектора. Как и для всякого вектора, для сил можно ввести операцию сло­ жения в математическом смысле (см. § 7). По определению каждым двум силам Fx и F2 приводится в соответствие новый объект, изобра­ жающийся диагональю параллелограмма, построенного на векто­

такого сложения имеет столько же смысла, что и проверять на опыте правильность арифметического равенства 2 + 3 = 5. Ре­ зультат верен по самому определению сложения векторов. Однако сложение сил понимают иногда и в другом (физическом) смысле. И именно о нем идет речь, когда в элементарной физике впервые говорят о сложении сил. При этом самый вопрос формулируется недостаточно ясно. Говорят, что на тело (материальную точку) одновременно действуют две силы F± и F2. После этого спрашивают, какой одной силой F их можно заменить, чтобы получить тот же результат? Неясность заключается в том, что не указывается, в каком смысле следует понимать выражение: «На тело одновре­ менно действуют две силы». На всякую материальную точку в дан­ ных конкретных условиях действует всегда только одна сила, вели­ чина и направление которой определяется расположением этой точки относительно всех окружающих тел. Какой же смысл вкла­ дывается в содержание поставленного вопроса? Разъясним это на двух примерах.

величине сил Fx и F2 мы судим по направлениям осей пружин и степени их растяжения. Прикрепим теперь к материальной точке А обе пружины вместе, направив и растянув их по-преж­ нему. Вопрос заключается в том, чтобы определить силу F, дей­ ствующую на материальную точку А, когда ее тянут обе пружины вместе.

§ 111 ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. СИЛА 77

В качестве второго примера рассмотрим неподвижный точечный

они вместе действуют на заряд q с силой F. Уберем второй из них и обозначим через Fx силу, с которой на q будет действовать заряд qx:

Вообще, пусть Ft означает силу, действующую на рассматривае­ мую материальную точку со стороны какого-то другого t'-го тела

источников действуют одновременно? Это физический вопрос, на который нельзя дать ответ путем определения. Обычно говорят,

что сила F равна геометрической сумме сил Flt F2 Fn. Однако такой ответ не является логическим следствием законов Ньютона или каких-либо других законов. Он может быть верным, но может быть и неверным. Это может решить только опыт. Опыт показывает, например, что для растянутых пружин или электрических сил, возбуждаемых точечными зарядами, ответ верен. Если это имеет место, то говорят, что силы Flt F2, ... подчиняются принципу суперпозиции. В основе принципа суперпозиции лежит представле­ ние о независимости действия сил. Говорят, что силы действуют

только один i-й источник сил или все п источников одновременно. Так как ускорение является вектором, то результирующее ускорение найдется векторным сложением всех щ. Поэтому и результирующая сила F — та также найдется векторным сложением независимо действующих сил Ft = mat. Следовательно, применимость правила параллелограмма для сложения сил в рассматриваемом физическом смысле эквивалентна предположению о независимости действия сил. Но когда тела, являющиеся источниками сил, влияют друг на друга и вследствие этого меняют свое состояние, то результат вычисления силы F по указанной схеме может оказаться неверным. Это полу­ чится, например, когда во втором примере вместо точечных зарядов qt и q2 взять протяженные тела, заряженные электричеством. При сближении таких тел распределение электричества на них изме­ нится из-за индукции, а это отразится на величине действующей силы. Но и в этом случае можно воспользоваться принципом супер­ позиции, если заряды на телах в их окончательных положениях мысленно разделить на достаточно малые части. Считая такие части точечными зарядами, можно вычислить создаваемые ими электри­ ческие поля по закону Кулона, а затем воспользоваться принципом суперпозиции. Такое утверждение следует рассматривать как обобщение опытных фактов.

2. К пружине прикреплено тело, которое может смещаться вдоль опреде­ ленной прямой (например, вдоль стержня, на который оно надето). Эта система может служить акселерометром, т. е. прибором для измерения ускорения тела, на котором такой прибор установлен (автомобиля, самолета, поезда и пр.). Опи­ шите принцип действия такого акселерометра.

3.Самолет совершает вираж, двигаясь по окружности с постоянной скоростью

vна одной и той же высоте. Определить радиус г этой окружности, если плоскость

крыла самолета наклонена к горизонтальной плоскости под постоянным углом а.

У к а з а н и е . Когда самолет летел прямолинейно, плоскость крыла была горизонтальна. Подъемная сила в этом случае направлена вертикально вверх, т. е. перпендикулярна к плоскости крыла. При повороте корпуса самолета вокруг продольной оси подъемная сила поворачивается на тот же угол, т. е. продолжает оставаться перпендикулярной к плоскости крыла, так как силы взаимодействия самолета с окружающей средой зависят лишь от относительного движения само­ лета и среды.

§12. Третий закон Ньютона и закон сохранения импульса

1.Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух взаимо­ действующих материальных точек. В этом случае справедлив закон сохранения импульса

Pi + />2 = COnst.

Дифференцируя это соотношение по времени, получим

точки действуют друг на друга. Привлечем сюда опытный факт, согласно которому силы Fx и F2 направлены вдоль прямой, соеди­ няющей взаимодействующие точки. Тогда мы придем к третьему закону Ньютона:

Силы взаимодействия двух материальных точек равны по ве­ личине, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти материальные точки.

Одну из сил, Fx или F2, согласно Ньютону иногда называют

действием, а другую — противодействием, и формулируют тре-

ничем не отличается от «противодействия». Если действующая сила обусловлена деформацией, всемирным тяготением или нали­ чием электрического поля, то и противодействующая сила обус­ ловлена тем же самым. Так, тяжелое тело, лежащее на столе, давит на стол, испытывая со стороны стола противоположно направ­

если лошадь тянет телегу, то активным телом, производящим действие, будет лошадь, а пассивным телом, оказывающим проти­ водействие, — телега. Однако подразделение тел на активные и пассивные можно провести далеко не всегда. Например, когда Солнце и планета притягиваются друг к другу силами всемирного тяготения, то в этом взаимодействии они выступают совершенно равноправно, и нельзя указать, какое из этих взаимодействующих

точек. Постулируем теперь его справедливость для системы из произвольного числа материальных точек. Мы исходим из пред­ ставления, что и в этом случае взаимодействие сводится к силам

утверждает, что обе эти силы направлены вдоль прямой, соединя­

числа п взаимодействующих материальных точек. Рассмотрим этот вопрос, а также другие связанные с ним важные вопросы.

Силы, действующие на материальные точки системы, можно разделить на внутренние и внешние. Внутренние силы — это силы взаимодействия между материальными точками самой системы. Выше мы обозначили их символами Fik с двумя индексами i и k, которые указывают, какие точки взаимодействуют. Внешние силы — это такие силы, с которыми на материальные точки системы

ская сумма всех внутренних сил, действующих в системе, равна нулю. Запишем этот результат в виде соотношения

снабдив каждую силу верхним индексом (i), который указывает, что речь идет о внутренних силах. Нижний индекс обозначает номер материальной точки, на которую действует сила. Таким образом, F[^, например, обозначает полную внутреннюю силу, действующую на первую материальную точку. Обозначим далее символами F^, F?\ ... внешние силы, действующие на материальные точки системы. Тогда на основании второго закона Ньютона можно написать

Сложив почленно эти уравнения и приняв во внимание соотношение (12.2), найдем

где р — импульс всей системы, F(e> — равнодействующая всех внешних сил, действующих на нее. Таким образом, производная по времени от импульса системы материальных точек равна гео­ метрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Внутренние силы исключаются третьим законом Ньютона. Уравне­ ние (12.3) является обобщением соответствующего уравнения для одной материальной точки.

Допустим теперь, что геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю (это имеет место, например, для замкнутой системы).

Тогда = 0. Производная постоянной величины равна нулю. Справедливо и обратное утверждение: если производная некоторой

Допустим теперь, что F<e> ф О, однако равна нулю проекция силы / г ( е ) на какое-либо направление, например, на направление оси X. Тогда из уравнения (12.3) следует, что для этой проекции

= 0, а потому рх = const. Таким образом, полный импульс

системы не сохраняется, но сохраняется проекция импульса на направление оси X. Например, импульс свободно падающего тела не может сохраняться, так как на тело действует вниз сила тяжести. Под действием этой силы вертикальная составляющая импульса непрерывно изменяется. Однако горизонтальная составляющая импульса при свободном падении остается неизменной. (Мы учи­ тываем действие только силы тяжести и отвлекаемся от силы сопро­ тивления воздуха и прочих сил.) ~~~~~

3. Относительно приведенного вывода закона сохранения им­ пульса надо сделать следующее замечание. Вывод предполагает, что материальные точки замкнутой системы взаимодействуют между собой попарно, и это взаимодействие подчиняется третьему закону Ньютона. Для справедливости результата достаточно потребовать выполнения более слабого условия (12.2). Достаточно, чтобы обращалась в нуль геометрическая сумма внутренних сил, дейст­ вующих в системе. Соблюдение этого условия, как будет показано в § 38, является следствием весьма общего свойства пространства — его однородности. Возможно, что и это более слабое условие не является необходимым. Возможно, что закон сохранения импульса останется справедливым даже в тех случаях, когда теряет смысл разделение системы на части и нельзя пользоваться представлением о силах взаимодействия между ними, а также другими представле­ ниями и понятиями классической механики. Возможно, что такая ситуация встречается внутри атомных ядер или при превращениях «элементарных» частиц. Опыт показывает, что закон сохранения импульса, надлежащим образом обобщенный, является фундамен­ тальным законом природы, не знающим никаких исключений. Од­ нако в таком широком понимании он уже не может рассматриватьсякак следствие законов Ньютона.

4. В нашем изложении закон сохранения импульса для замкну­ той системы из двух взаимодействующих материальных точек был постулирован. Его доказательством служил опыт. Это было сделано для того, чтобы ввести понятие массы. Но можно ввести это по­ нятие иначе, а именно определить отношение масс сравниваемых тел по обратному отношению ускорений, сообщаемых им равными силами. Этот способ не требует предварительного измерения сил.

Достаточно лишь располагать критерием равенства сил. Например, если на два тела последовательно подействовать одной и той же пружиной, растянутой на одну и ту же длину, то можно утверждать, что действующие на них силы одинаковы. В сущности, способ определения массы, использованный нами в § 10, является частным

§ 13] В З А И М О Д Е Й С Т В ИЕ Т Е Л 83

Это рассуждение неполно, и может привести к неправильному результату. Из рассуждения выпало третье тело — нить, которая также движется ускоренно. Тела Л и В не взаимодействуют непо­ средственно между собой. Они взаимодействуют с нитью, и третий закон Ньютона надо применять именно к таким взаимодействиям. Вот более подробное рассуждение, в котором учитывается ускоре­ ние, сообщаемое нити. В нем под Fx и F2 следует понимать силы, с которыми на тела А и В действует натянутая нить. Силы, с ко­

Теперь Fx Ф F2, поскольку т ф 0. Допустим, однако, что масса нити пренебрежимо мала по сравнению с массами тел А я В. Тогда отбрасывая член та, получим приближенно Fx = F2. В этом при­ ближении результат получается такой же, как если бы тела Л и й непосредственно взаимодействовали между собой. Идеализируя задачу, говорят, что взаимодействие между телами Л и В осущест­ вляется посредством «безмассового» тела (нити). Подобные случаи встречаются очень часто. Безмассовые тела просто выбрасывают из рассмотрения. Однако безмассовых тел в действительности не существует, они являются идеализированными абстракциями. Надо отдавать себе отчет, когда можно и когда нельзя пользоваться такими идеализированными абстракциями. В приведенном примере было бы грубой ошибкой пользоваться соотношением Fx = F2 в тех случаях, когда масса нити сравнима с массами тел А я В,

§13. Взаимодействие на расстоянии

иполевое взаимодействие

1.Взаимодействие тел может происходить либо при их непос­ редственном соприкосновении, либо на расстоянии. В первом случае взаимодействующие тела тянут или толкают друг друга. Возникающие при этом силы обычно вызываются деформациями тел. Деформации могут быть малы и не представлять непосредственного интереса в изучаемом явлении. Тогда от них можно отвлечься, учтя их влияние введением соответствующих сил натяжения я давления. Но если нас интересует происхождение и механизм действия сил, то надо подробно рассмотреть картину деформаций,