Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

При повороте системы на угол ср координаты той же точки становятся равными

Период колебаний пропорционален квадратному корню из момента инер­ ции и обратно пропорционален квадратному корню из массы системы. Возьмем в качестве тела BD металлический стержень. Выведем его из положения равно­ весия и заставим совершать крутильные колебания. Они будут сравнительно медленными. Прикрепим затем в точке О' тяжелый груз и снова заставим систему колебаться. Колебания станут значительно более быстрыми. Дело в том, что груз прикреплен на оси вращения, а потому он, значительно увеличивая массу си­ стемы, практически не влияет на ее момент инерции. Уменьшение периода коле­ баний можно объяснить также следующим образом. В положение равновесия система возвращается под действием горизонтальных составляющих сил натя­ жения нитей. Подвешивая груз, мы сильно увеличиваем натяжение нитей, а мо­ мент инерции увеличивается незначительно. Это и приводит к тому, что колебания становятся более быстрыми.

2. Формулой (42.1) определяется также период колебаний трифилярного подвеса (трифиляра). Он схематически изображен на рис. 90. Точки подвеса А, С и М расположены на окружности радиуса а, точки В, D, N — на окружности радиуса Ь. Нижний диск может совершать крутильные колебания вокруг верти­ кальной оси ОО'. Вывод формулы (42.1) применим без всяких изменений и к трифилярному подвесу. Это видно уже из того, что при выводе было использовано

условие постоянства длины только одной нити АВ. Постоянство длины другой нити CD при этом условии выполняется автоматически.

Трифилярный подвес дает удобный метод измерения моментов инерции тел. Сначала измеряется период колебаний Т0 ненагруженного трифиляра. По этому периоду вычисляется его момент инерции

m0gab

Затем на нижний диск трифиляра кладется тело массы пг, момент инерции / которого требуется измерить. Пусть Т — период крутильных колебаний нагру­ женного трифиляра. Тогда момент инер­ ции системы относительно оси 00' будет

пределах пропорционален углу ср: М = — /ф, где f — постоянная для данной проволоки величина, называемая ее модулем кручения. Поэтому

/ф = —/<р.

Это уравнение-математически тождественно уравнению (40.1). Значит, тело будет совершать гармонические крутильные колебания с периодом

(42.2)

Сняв первое тело, подвесим на той же проволоке другое тело с моментом инер­ ции /'. Тогда-период колебаний будет

Т'=2п

Исключая неизвестный модуль кручения /, найдем

L — (L\2

г~ \Т') •

Если один из моментов инерции, например /, известен, то по этой формуле может быть вычислен момент инерции /' другого тела. Момент инерции / можно вычислить теоретически по геометрическим размерам и массе тела. Для этого надо взять тело правильной геометрической формы, например цилиндр или шар. Формула (42.2) может быть использована также для экспериментального опре­ деления модуля кручения проволоки.

Применяя общий метод, изложенный в § 40, находим

R—a

8

Вчастности, для сплошного цилиндра и сплошного шара

5.На горизонтальной плоскости лежит цилиндр с моментом инерции / (относительно продольной геометрической оси), массой т и радиусом г. К оси цилиндра прикреплены две одинаковые горизонтально расположенные спираль­ ные пружины, другие концы которых закреплены в стене (рис. 95, вид сверху).

Коэффициент упругости' каждой пружины равен k, пружины могут работать как на растяжение, так и на сжатие. Найти период малых колебаний цилиндра, которые возникнут, если вывести его из положения равновесия и дать возмож­ ность кататься без скольжения по горизонтальной плоскости.

О т в е т . Т = ^- 'Г '• ^ л я С П Л 0 Ш Н 0 Г 0 цилиндра T=nV~3m/k.

6. Однородная квадратная плита подвешена за свои углы к потолку зала на четырех параллельных веревках, длина каждой из которых равна I. Опреде­ лить период малых крутильных колебаний плиты, которые возникнут, если по­ вернуть ее на малый угол вокруг вертикальной оси.

О т в е т . Т = 2п В более общем случае, когда плита не однородна, но центр масс ее совпадает

как указано на рис. 96. Нижний стержень поворачивают на малый угол вокруг

вертикальной оси, проходящей через центр системы, и отпускают. Найти период возникших при этом малых колебаний, если массы стержней одинаковы.

От в е т. Т

8.Шарик массы m подвешен на двух последовательно соединенных пружин­

О т в е т . r = 2 n ] / m ( l + ^

У к а з а н и е . Показать, что при растяжениях и сжатиях пружины ведут себя как одна пружина с коэффициентом упругости, определяемым соотношением

1

ki + к

9 . Найти период крутильных колебаний диска, плотно наса­ женного на составной стержень, состоящий из двух различных последовательно соединенных стержней (рис. 98). Верхний конец А стержня неподвижно закреплен. Если бы диск был насажен только на первый стержень, то период колебаний был бы равен Тг. Если бы

он был насажен только на второй стержень, то период колебаний оказался бы равным Т2.

О т в е т . T=-VTi + Ti.

10. Найти период малых колебаний физического маятника массы т , к центру масс С которого прикреплена горизонтальная спиральная пружина с коэффици­ ентом упругости к. Другой конец пружины закреплен в неподвижной стенке

(рис. 99). Момент инерции маятника относительно точки подвеса равен /, рас­

стержня подвешен на пружине с коэффициентом упругости k. Расстояние между центром масс стержня и осью вращения СО = а. Момент инерции стержня отно­ сительно оси О равен /. Найти удлинение пружины х0 (по сравнению с ее длиной в недеформированном состоянии) в положении равновесия, если в этом положении

стержень горизонтален. Определить также период малых колебаний стержня

кая упругая пластинка. Пластинку зажимают в тисках один раз так, что стер­ жень оказывается внизу, а другой раз — вверху (рис. 101). Определить отноше­ ние периодов малых колебаний стержня в этих слу­ чаях. Момент упругих сил пластинки пропорционален углу отклонения стержня от положения равновесия,

эффициентом упругости k. Определить период колеба­ ний шариков относительно центра масс системы, кото­ рые возникнут при растяжении пружинки.

Осью является стержень с модулем кручения f. Определить период крутильных колебаний одного диска относительно другого в предположении, что система свободна. Массой стержня пренебречь.

сами тх и пц лежат на горизонтальном столе и связаны с помощью двух одина^ ковых пружин с жесткостью k каждая, как показано на рис. 102 (вид сверху). Определить период малых колебаний, которые возникнут, если растянуть пру­

тогда, когда их амплитуды малы. Гюй­ генс задался целью построить маятник, который совершал бы строго изохронные

колебания при любых амплитудах. Он показал, что таковым является циклои­ дальный маятник. Циклоидальный математический маятник представляет собой материальную точку, совершающую колебания, двигаясь под действием силы тяжести по дуге циклоиды. Показать, что колебания циклоидального маятни­ ка изохронны, и вывести формулу для его периода.

Р е ш е н и е . Как известно, циклоида представляет собой кривую, описы­ ваемую одной из точек окружности, катящейся по неподвижной прямой. Для наших целей надо взять циклоиду, обращенную выпуклостью вниз. В соответ­ ствии с этим примем, что окружность расположена ниже горизонтальной прямой, по которой она катится (эта прямая на рис. 103 изображена пунктиром). За ось X примем параллельную ей прямую, смещенную вниз на диаметр окружности 2а.

Пусть точка А на катящейся окружности, описывающая циклоиду, в исходном положении находится на оси Y в наивысшей точке. Если окружность при ка­ чении повернется на угол ср, то ее центр С переместится вправо на расстояние ац>. При этом точка А сместится относительно центра влево на расстояние a sin ф и вниз на расстояние а (1 — cos ф). Поэтому прямоугольные координаты точки А станут

Это — уравнение циклоиды в параметрической форме. Пусть теперь х и у озна­ чают координаты материальной точки, совершающей циклоидальные колебания под действием силы тяжести. Параметр ф становится функцией времени. Потен-

т

принята за координату, опреде­ ляющую положение колеблю­ щейся точки, а ее производная q — за соответствующую обоб­ щенную скорость. В этих обоз­ начениях

Потенциальная энергия являет­ ся квадратичной функцией коорРис. 103. динаты q, а кинетическая —

производной q с постоянными

коэффициентами. Отсюда заклю­ чаем, что при любых амплитудах колебания циклоидального маятника будут изохронными и гармоническими с периодом

17. Маятник подвешен на резинке, растянутой настолько сильно, что ее первоначальной длиной можно пренебречь. Возможны ли горизонтальные гармо­ нические изохронные колебания маятника сколь угодно большой амплитуды? Если возможны, то определить период этих колебаний. Возможны ли круговые движения маятника в вертикальной плоскости? Каково будет движение при лю­ бых начальных условиях?

О т в е т. И те и другие движения возможны. Их период

где т — масса маятника, а k — коэффициент упругости резинки. При произ­ вольных начальных условиях движение маятника будет происходить по эллипсу

спериодом обращения Т.

18.По штанге, вращающейся в горизонтальной плоскости с постоянной угловой скоростью со, может скользить без трения груз массы т, удерживаемый на некотором расстоянии от оси вращения пружиной с коэффициентом упругости k

самплитудой а = 10 см. Найти период колебаний тела.

МА-т

спицы неподвижно закреплен. Показать, что если масса спицы пренебрежимо мала по сравнению с массой шарика, то период малых колебаний, возникающих

фициент упругости k спицы будет обратно пропорционален квадрату длины /. 21. Найти период колебаний физического маятника в зависимости от их

угловой амплитуды.

Р е ш е н и е . Закон сохранения энергии дает

/

— ф2 = mga (cos ф — cos ф„),

где ф — угол отклонения маятника из положения равновесия, а ф 0 — макси­ мальное его значение (угловая амплитуда колебаний). Введя приведенную длину маятника (41.4) и выполнив несложные преобразования, получим

Разрешив это уравнение относительно dt и интегрируя по ф, найдем период колебаний маятника Т как учетверенное время прохождения интервала углов

§ 4 3 1 АДИАБАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ 223

дится работа. Но могут встречаться и такие величины, которые остаются постоянными или приблизительно постоянными из-за медленности изменения параметров.

Функции координат, скоростей и параметров системы, остаю­ щиеся постоянными при бесконечно медленных изменениях пара­ метров, называются адиабатическими инвариантами. Это опреде­ ление в дальнейшем будет уточнено, поскольку само понятие «мед­ ленности» нуждается в уточнении. Адиабатические инварианты играли большую роль в старой полу классической теории атома Бора. Но они имеют важное значение и в других разделах физики.

2. Выясним понятие адиабатического инварианта сначала на простейшем, но важном примере гармонического осциллятора, собственная частота которого очень медленно изменяется во вре­ мени. Примером может служить математический маятник, медленно

на пружине, коэффициент упругости которой k является медленно меняющимся параметром. Все эти системы, называемые гармониче­ скими осцилляторами, математически эквивалентны. Для конкрет­ ности будем иметь в виду шарик на пружине. Задача о математиче­

та упругости или величин, ему эквивалентных, — это не имеет значения, пока задача трактуется как чисто математическая.

Полная энергия гармонического осциллятора равна

До сих пор наши вычисления были точными. Используем теперь медленность изменения параметра k и его производной к. Медлен­ ность означает, что и при изменяющемся k движение по-прежнему будет носить характер колебаний. Только «период» этих колебаний Т, а также положение крайних точек, достигаемых осциллятором, будут слегка меняться от колебания к колебанию. Иными словами, за каждое колебание параметр k должен изменяться очень мало.