Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

ляется уравнением (50.2). Отсюда следует, что рассматриваемое движение гиро­ скопа возможно, т. е. совместимо с уравнениями механики, если Q = Й п р е ц . При­ веденное рассуждение является вполне точным. Оно показывает, что вынужден­ ная регулярная прецессия под действием постоянной силы F является одним из возможных точных видов движения, которые может совершать гироскоп. Однако такое движение может возникнуть только при вполне определенных начальных условиях. В начальный момент надо, очевидно, сообщить вершине гироскопа начальную скорость v0 = [Qs], т. е. привести ось фигуры гироскопа в равномер­ ное вращение с угловой скоростью Q. Энергия, потребная для этого, сообщается внешним толчком, и никакого противоречия с законом сохранения не возникает. После прекращения действия толчка прецессионное движение гироскопа будет

Поведение гироскопа при вынужденной регулярной прецессии в известном смысле аналогично поведению шарика, привязанного на нити, при равномерном вращении по окружности. Сила натяжения нити тянет шарик к центру окружно­ сти, но шарик все время движется перпендикулярно к ней, непрерывно «уходит вбок». Сила натяжения нити не создает, а лишь поддерживает равномерное вра­ щение по окружности. Для создания такого вращения шарику необходимо сооб­ щить дополнительный толчок в боковом направлении. Сила натяжения меняет только направление, но не величину скорости. Если иметь в виду эту аналогию, то явление «ухода вбок» оси фигуры гироскопа при вынужденной регулярной пре­ цессии представится, быть может, не таким уж странным, каким кажется оно на первый взгляд.

7. Приведенное исследование, однако, не отвечает на поставленный выше вопрос, касающийся сохранения энергии. Когда, например, мы вешаем грузик (см. рис. 150), то никакого начального толчка гироскопу при этом не сообщается.

сионное движение вершины гироскопа накладываются мелкие вращения и дро­ жания ее. Они называются нутациями. В результате наложения нутаций на пре­ цессионное движение вершина гироскопа описывает траектории петлеобразного,

нутации легко демонстрируются на опыте. Повесим на один из концов оси не очень быстро вращающегося гироскопа грузик (см. рис. 150). Если грузик отпустить без начального толчка, то траектория вершины будет циклоидального типа (см. рис. 169, б). Если же сообщить гироскопу боковой толчок против направле­ ния прецессии, вызываемой грузиком, то на траектории появятся петли (см. рис. 169, а). При сообщении бокового толчка в направлении прецессии траектория вершины становится синусообразной (см. рис. 169, в). В последнем случае при надлежащей силе толчка траектория может стать круговой, а сама прецессия — регулярной.

Когда мы вешаем грузик, то в первый момент он начинает опускаться под действием силы тяжести. Конец же вектора момента количества движения L при­ обретает скорость в боковом направлении в соответствии с уравнением L = М. В результате вектор L перестает быть направленным вдоль оси фигуры гироскопа. Траектория вершины при опускании начинает загибаться вбок. Это и ведет к по­ явлению нутаций. Работа силы тяжести при опускании грузика идет на прира­ щение кинетической энергии прецессионно-нутационного движения. Достигнув нижнего положения, грузик начинает подниматься вверх, кинетическая энергия прецессионно-нутационного движения переходит в потенциальную энергию под­ нятого грузика. Таким образом, идет непрерывное превращение потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Никакого нарушения закона сохранения энер­ гии не получается,

этому принципу, установленному его автором в результате рас­ смотрения отдельных примеров, на всякое внешнее воздействие си­ стема отвечает такими изменениями, которые стремятся ослабить это воздействие. Когда мы подвешиваем грузик к оси фигуры вра­ щающегося гироскопа, последний отвечает на это воздействие пре­ цессией. Такая прецессия с точки зрения принципа Ле Шателье и должна рассматриваться как реакция гироскопа, ослабляющая внешнее воздействие, т. е. не позволяющая грузику опускаться. Ясно, что если такую реакцию усилить, т. е. вынудить гироскоп прецессировать быстрее, то этот эффект только усилится. Иными словами, грузик должен подниматься. Наоборот, искусственное замедление прецессионного вращения гироскопа эквивалентно ос­ лаблению реакции его на воздействие грузика. В результате такого замедления грузик должен опускаться. Изложенная точка зрения оказывается полезной, например, при рассмотрении различного рода стабилизирующих гироскопических приборов, когда надо быстро получить ответ на вопрос, как надо воздействовать на гиро­ скоп, чтобы усилить его стабилизирующее действие.

11. В свете изложенного становится ясным и поведение гиро­ скопа с двумя степенями свободы. Для того чтобы свободный гиро­ скоп обладал устойчивостью, а гироскоп под действием внешних сил мог совершать вынужденную прецессию в том виде, как она описана выше, необходимо, чтобы он обладал тремя степенями свободы, т. е. мог свободно вращаться вокруг всех трех осей, про­ ходящих через точку опоры О. Одной из таких осей является ось фигуры гироскопа. Вращение вокруг такой оси должно быть воз­ можно во всех случаях. Иначе ни о каких гироскопических эффек­ тах говорить не приходится. Закрепим гироскоп так, чтобы вра­ щение вокруг одной из остальных двух осей сделалось невозможным.

не может (см. рис. 150). Если повесить грузик Р, то гироскоп начнет вращаться вокруг горизонтальной оси ОХ как обычное твердое тело, а грузик Р — опускаться в направлении действия силы веса F. Это радикальное изменение поведения гироскопа так же объяс­ няется обычным правилом прецессии. Сила F создает момент М, стремящийся вызвать прецессию гироскопа вокруг вертикальной оси OY. Так как гироскоп закреплен, то эта прецессия развиться не может. Она вызовет лишь деформацию кручения вертикальной оси. Со стороны подшипников на эту закрученную ось начнет дей­ ствовать вращающий момент, направленный вниз. Этот момент вызовет прецессию гироскопа — его вращение вокруг горизон­ тальной оси ОХ. Такому вращению ничто не препятствует. Поэтому

указанная прецессия будет действительно происходить. В резуль­ тате груз Р начнет опускаться, что и наблюдается на опыте. Можно сказать, что закрученная ось тормозит прецессию, которая возникла бы под действием груза Р, а такое торможение вызывает опускание груза.

Если, не вешая груза, толкнуть один из концов оси фигуры гиро­ скопа вверх или вниз, то он будет продолжать по инерции вращаться в направлении сообщенного толчка вокруг горизонтальной оси ОХ. Дело опять в том, что во время действия толчка гироскоп стремится прецессировать вокруг вертикальной оси OY. Это приводит к де­ формации кручения вертикальной оси. Крутящий момент, дейст­ вуя на гироскоп, будет поднимать или опускать его вершину, т. е. вызовет прецессионное вращение гироскопа вокруг оси ОХ в на­ правлении сообщенного толчка. Пока происходит такое вращение, вертикальная ось продолжает оставаться деформированной (за­ крученной).

Таким же путем легко исследовать, как будет вести себя гиро­ скоп, лишенный возможности вращаться вокруг горизонтальной оси ОХ. Рекомендуем читателю разобраться в этом вопросе.

12. Обычно у волчка центр масс располагается выше точки опоры. Чтобы такой волчок не упал, ему надо сообщить достаточно быстрое вращение вокруг оси фигуры. При медленном вращении вертикальное положение оси фигуры ста­ новится неустойчивым, и волчок падает. Если волчок запустить наклонно, то его центр масс начинает подниматься, и волчок принимает вертикальное положе­ ние. Причиной этого являются силы трения, действующие в точке опоры.

Рис. 154.

Посмотрим сначала, как двигался бы волчок, если бы трения не было. Пусть плоскость опоры горизонтальна и абсолютно гладкая. На волчок действуют две силы: сила веса Р и сила нормального давления F со стороны плоскости опоры (рис. 154, а). Момент этих сил направлен горизонтально за плоскость рисунка,

.этот момент вызовет прецессию волчка вокруг вертикальной оси. Для рассмотре­ ния этой прецессии воспользуемся уравнением моментов относительно центра

масс С. Оно имеет обычный вид (49.3). Пусть прецессия — регулярная. Тогда центр масс будет оставаться неподвижным, а потому F + Р = 0 в силу теоремы о движении центра масс. Момент силы нормального давления F заставит вершину волчка уходить за плоскость рисунка. Волчок будет прецессировать в том же направлении, в каком происходит его вращение вокруг оси фигуры. А так как центр масс С остается неподвижным, то точка опоры О будет описывать окружность в направлении, обозначенном стрелками.

Учтем теперь силы трения скольжения, возникающие при движении точки опоры по указанной окружности. Существенно, что результирующая этих сил FTD направлена в ту же сторону, куда движется точка опоры волчка. Это станет ясно, если учесть, что конец ножки волчка, которым он опирается на плоскость опоры, не идеально острый, а закруглен. На рис. 154, б такой конец изображен в увеличенном масштабе. Если закрутить волчок вокруг оси фигуры, а затем поставить его на плоскость опоры, то в точке касания А возникнет скольжение. Ясно, что сила трения скольжения, действующая на ножку волчка, будет направ­ лена против ее вращения, т. е. в ту же сторону, что и перемещение при прецессии точки опоры волчка. Заметим, что отмеченная особенность силы трения совершенно не зависит от того, как расположен центр масс относительно точки опоры. Сила трения скольжения FTp всегда действует в направлении прецессии, вызванной весом волчка и давлением опоры, она стремится ускорить эту прецессию. Согласно общему правилу это должно привести к поднятию центра массы волчка. Если центр масс расположен выше точки опоры, то при таком поднятии ось фигуры волчка будет приближаться к вертикали.

Конечно, можно рассуждать и более детально. Предположим опять, что центр масс расположен выше точки опоры. Момент сил трения FTp имеет вер­ тикальную составляющую, направленную вверх. Он стремится вызвать прецес­

опоры О. Но такому опусканию препятствует плоскость опоры, и оно про­ исходить не может. Стремление к опусканию точки опоры проявится в воз­ растании силы нормального давления F. Последняя начнет превосходить силу веса Р. Результирующая этих двух сил становится отличной от нуля. Она на­

явлениях. Она не только замедляет осевое вращение волчка, но и заставляет дви­ гаться его центр масс. Волчок начинает бегать по плоскости опоры. Если бы не было других тормозящих сил (например, сопротивления воздуха и пр.), то такое движение непрерывно ускорялось бы. (Это лишний раз подтверждает, что направление силы Fxp совпадает с направлением движения волчка.) При этом скольжение постоянно уменьшается, и движение волчка в конце концов переходит в чистое качение. К этому моменту осевое вращение волчка обычно замедляется настолько сильно, что он теряет устойчивость и падает под действием силы тяжести.

13.Поднятие оси волчка можно объяснить и с помощью уравнения моментов относительно точки опоры О. Надо только принять во внимание, что точка опоры движется ускоренно, и брать уравнение моментов в виде (49.8). Короче говоря, надо учесть действие «сил инерции» (см. §§ 63 и 64), возникающих из-за ускорен­ ного движения точки опоры. В разбираемом нами вопросе играет роль сила инер­ ции, обусловленная касательным ускорением. Эта «сила» приложена к центру масс С и направлена противоположно касательному ускорению, т. е. на рис. 154, а — от читателя. Ее момент относительно точки опоры О имеет вертикальную состав­ ляющую, направленную вверх. Этот момент вызывает прецессию, в результате которой вершина волчка поднимается.

14.Случай, когда центр масс лежит ниже точки опоры, рассматривается совер­ шенно аналогично. Силы трения скольжения, возникающие в точке опоры, и в этом случае приводят к поднятию центра масс. Однако здесь оно сопровождается опу­ сканием вершины волчка. Волчок, запущенный наклонно, наклоняется еще больше.

15. Любопытным примером может служить китайский волчок, который имеет форму гриба (рис. 155). Из-за действия сил трения центр масс волчка непрерывно поднимается, а ось фигуры все более и более наклоняется. В конце концов это при­ водит к опрокидыванию волчка. Волчок становится на ножку. Ось фигуры все более и более приближается к вертикальному положению, если только волчок не потеряет устойчивость из-за замедления осевого вращения.

16. Для того чтобы повернуть ось фигуры гироскопа, к нему надо приложить силы, момент которых М определяется уравнением (50.2), в котором под Я сле­ дует понимать угловую скорость вынужденного вращения. Такие силы создаются, например, давлением подшипников на ось фигуры гироскопа. Ось фигуры гиро­ скопа действует на подшипники с равными и противоположно направленными силами противодавления. Эти силы противодавления и создаваемые ими вращаю­ щие моменты называются гироскопическими *). Гироскопические силы легко по­ чувствовать, если взять за ось быстро вращающееся велосипедное колесо и по­ пытаться повернуть эту ось. Колесо будет стремиться «вы­ рваться из рук» в перпендикулярном направлении. При быстром повороте требуется значительное усилие, чтобы удержать ось в руках.

скостью рисунка изображено заштрихованным кружком. Предполагается, что стержень перпендикулярен к плоскости рисунка.) Возникает сила трения сколь­ жения, Frp, параллельная стержню и, следовательно, перпендикулярная к плос­ кости рисунка. Она изображена пунктирной стрелкой. Момент этой силы отно­ сительно точки опоры МТр = [г/^тр] лежит в плоскости рисунка и направлен перпендикулярно к стержню и радиусу-вектору г. Он будет стремиться вызвать прецессию оси гироскопа в том же направлении. Но эта прецессия возникнуть не может, так как ей препятствует стержень. Она проявится только в том, что ось гироскопа будет прижиматься к стержню. В результате возникает сила давления Рлав, действующая со стороны стержня на ось гироскопа. Действие этой силы про­ явится, во-первых, в увеличении силы FTp. Во-вторых, она вызовет прецессию оси фигуры гироскопа, заставляя эту ось перемещаться вдоль стержня в ту же

сторону, куда направлена сила FTp,raK как момент силы давления МЯ!1В= [гРлав] направлен в ту же сторону. Возрастание силы FTp в свою очередь приведет к воз­

растанию силы FRm и к ускорению прецессионного перемещения оси фигуры гироскопа вдоль стержня. Это ускорение прекратится, когда движения оси фигуры со скольжением перейдет в чистое качение. (В описываемом нами опыте для этого может не хватить времени из-за изменения наклона оси фигуры гиро­ скопа при движении.) Начиная с этого момента сила F^p практически обратится в нуль, сила /^дад станет постоянной, а прецессионное движение оси фигуры гироскопа вдоль стержня — равномерным.

*) Термин «гироскопические силы» употребляется здесь в ином смысле, чем в § 24.

Вместо стержня можно взять какой-либо замкнутый или незамкнутый кон­ тур произвольной формы из толстой проволоки. Для демонстрационных опытов может служить контур, изображенный на рис. 156, б. Контур закрепляется на штативе в горизонтальном положении вблизи оси фигуры гироскопа. Если ось фигуры своим верхним концом привести в соприкосновение с контуром, то она начинает бегать по этому контуру, переходя последовательно из положения /

U

ЗА Д А Ч И

1.Герой романа Жюля Верна «Вверх дном» предлагал повернуть земную ось, выпустив с Земли тяжелый снаряд. Оценить, с какой минимальной скоростью

v нужно выпустить на полюсе Земли снаряд массы т = 1000 т, чтобы повернуть

направлении. При этом вектор угловой скорости вращения Земли ш откло­

2 . Симметричный волчок, ось фигуры которого наклонена под углом « к вер­ тикали (см. рис. 154), совершает регулярную прецессию под действием силы

3. Гироскопический маятник, используемый в качестве авиагоризонта, характеризуется параметрами, приведенными в п. 4 этого параграфа. Когда са­ молет двигался равномерно, ось фигуры маятника была вертикальна. Затем в те­ чение времени т = 10 с самолет двигался с горизонтальным ускорением v0 = = 1 м/с2 . Определить угол а, на который отклонится от вертикали ось фигуры гироскопического маятника за время ускорения.

ростью со0 (рис. 157). В него ударяет второй, в точности такой же шар. Происходит абсолютно упругий удар без передачи вращения.

Р е ш е н и е . После удара центр ударяемого шара начнет двигаться с на­ чальной скоростью v0. По теореме о движении центра масс его скорость в момент времени t будет v = vn — kgt. Пусть со — мгновенное значение вектора угловой скорости. Момент силы трения относительно центра шара будет kmgri, где / — единичный вектор, направленный за плоскость рисунка и перпендикулярный к ней.

= bkgtl (2/-<мп). Определим теперь момент начала чистого качения. Скорость поступательного движения шара зависит только от горизонтальной составляющей вектора со. Момент начала чистого качения найдется из условий 5l%kgt = v0 — kgt.

фиксированного диаметра неустойчиво. Поэтому найденное решение определяет поворот оси вращения относительно внешнего пространства, а не внутри самого

мом случае она движется по поверхности кругового конуса с вершиной в точке опоры О.) Найти силу FWB, с которой стержень гироскопа давит на металличе­ ское кольцо.

Р е ш е н и е . В установившемся режиме периметрическое движение оси фигуры гироскопа есть чистое качение. Если г <^ R, то угловая скорость пре­ цессии найдется из условия QR — ыг. Пользуясь этим, легко найти искомую силу:

ный цилиндрический каток (бегун), могущий вращаться вокруг своей геометри­ ческой оси, приводится во вращение вокруг вертикальной оси (с угловой ско­ ростью Q) и катится по горизонтальной опорной плите (рис. 158). Такое вращение можно рассматривать как вынужденную прецессию гироскопа, каковым является бегун. При вынужденной прецессии возрастает сила давления бегуна на гори­

зонтальную плиту, по которой он катится. Эта

следний момент остается неизменным при вращении катка, а потому при реше­ нии задачи его можно не принимать во внимание.

7. Диск радиуса г, вращающийся вокруг собственной оси с угловой скоро­ стью со, катится без скольжения в наклонном положении по горизонтальной плоскости, описывая окружность за время Т. Определить Т и радиус окружности R, если R ^> г, а угол между горизонтальной плоскостью и плоскостью диска равен а.

§51. Применения гироскопов

1.Научно-технические применения гироскопов весьма разнообразны. В курсе физики о них можно дать лишь общее представление. Рассмотрим принципы дей­ ствия некоторых гироскопических приборов, совершенно отвлекаясь от деталей конструктивного или технического характера. Будем предполагать, что все при­ боры и условия, в которых они работают, являются идеальными. Так, будем считать, что сил трения и прочих вредных сил нет, что моменты инерции и моменты импульса кардановых колец пренебрежимо малы и т.% В действительности все эти факторы оказывают существенное, иногда решающее, влияние на поведение реального гироскопа. Однако мы ограничиваем свою задачу выяснением лишь основных идей и принципов, на которых основано действие гироскопических при­ боров.

2.Начнем с уравновешенного (астатического) гироскопа с тремя степенями свободы. Пусть он быстро вращается вокруг своей оси фигуры. На направление

оси фигуры гироскопа не оказывают влияния сила тяжести, вращение Земли, а также любые ускоренные движения точки опоры. В отсутствие сил, создающих вращающие моменты относительно точки опоры, ось фигуры уравновешенного гироскопа сохраняла бы неизменное направление относительно звезд. Если ось фигуры гироскопа направить на какую-либо звезду, то при перемещении последней по небесному своду она будет поворачиваться относительно Земли, оставаясь все время направленной на ту же звезду. Такой гироскоп позволяет обнаружить суточное вращение Земли, что и было впервые качественно продемонстрировано французским физиком Леоном Фуко (1819—1868). Трудности подобных опытов очень велики. Они связаны с тем, что невозможно полностью освободиться от

§ 51] ПРИМЕНЕНИЯ ГИРОСКОПОВ 2 8 3

неизбежного трения в подшипниках карданова подвеса и других вредных сил, создающих вращающие моменты относительно центра подвеса.

3. Свойство уравновешенного гироскопа сохранять неизменным направление оси своей фигуры используется для автоматического управления движением самодвижущихся мин (торпед), самолетов, судов, ракет и прочих аппаратов. Момент импульса гироскопа L = /ц<в должен быть достаточно большим, чтобы уменьшить влияние трения в подшипниках карданова подвеса и прочих вредных сил. Ось фигуры вращающегося гироскопа задает курс движения аппарата. При всяком отклонении аппарата от курса (например, вследствие удара волн или действия порывов ветра) направление оси фигуры гироскопа в пространстве сохраняется. Значит, ось фигуры гироскопа вместе с рамами карданова подвеса поворачивается относительно движущегося аппарата. Поворот рам карданова подвеса с помощью тех или иных приспособлений включает двигатели, приводя­ щие в действие рули управления. Последние и возвращают движение аппарата к заданному курсу. В случае торпеды, поскольку ее движение совершается в го­ ризонтальной плоскости (по поверхности моря), достаточно одного гироскопа, с осью фигуры, ориентированной в направлении движения. В случае самолета требуются два гироскопа. Один, с вертикальной осью, задает горизонтальную плоскость, в которой должен оставаться самолет. Другой, с горизонтальной осью, ориентированной вдоль оси самолета, задает его курс. Такими аавтопилотами», освобождающими летчика от необходимости непрерывного управления самолетом, оборудованы почти все современные самолеты, предназначенные для длительных полетов.

4. Важным применением неуравновешенного гироскопа с тремя степенями свободы является создание искусственных горизонта и вертикали. Это необхо­ димо в навигации в условиях отсутствия видимости линии горизонта. Направление вертикали в каждом месте земного шара можно просто определить с помощью обыкновенного маятника, применяемого в качестве отвеса. Однако такой способ не годится на корабле или самолете ввиду неизбежных ускорений, которые они получают при наборе скорости, поворотах, качке и пр. В этих случаях вместо обыкновенного маятника используется гироскопический маятник (гирогоризонт)

с очень большой приведенной длиной (см. § 50, п. 4). При отсутствии ускорений ось гироскопического маятника устанавливается вертикально. Если аппарат движется ускоренно, то появляется прецессия, уводящая ось маятника от верти­ кального положения. Однако если период прецессии Т очень велик, а время ускорения мало по сравнению с Т, то за это время прецессия, ввиду ее медленности, не успеет заметно отклонить ось гиромаятника от вертикали (см. задачу 3 к § 50). Эти условия соблюдаются, например, при поворотах движущегося аппарата. Время поворота всегда мало по сравнению с периодом Т. Еще менее чувствителен гиромаятник к качке корабля. Период качки всегда много меньше периода пре­ цессии Т, а главное, при качке ускорение за время Т многократно и периодически меняет знак. Качка приводит лишь к малозаметным колебаниям оси гироскопи­ ческого маятника около вертикального положения. Наиболее неблагоприятно на направление оси гиромаятника влияет увеличение или уменьшение скорости, которые могут длиться значительное время и вызывать, хотя и не очень большие, но все же заметные отклонения оси фигуры гироскопа.

5. Важнейшим применением гироскопа является гироскопический компас, получивший широкое распространение на кораблях. Обычный магнитный компас подвержен действию разнообразных возмущений земного магнитного поля (ма­ гнитные бури). На его показания влияют возмущения магнитного поля, вызы­ ваемые большими массами железа на корабле, а также различные электроди­ намические воздействия со стороны сложного электротехнического оборудова­ ния корабля. В этих условиях использование магнитного компаса на корабле и становится практически невозможным. Гироскопический компас свободен от этих недостатков.

Идея гироскопического компаса впервые была высказана Фуко в 1852 г. Он предложил для этой цели использовать гироскоп с двумя степенями свободы